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2022년 9월 고1 학력평가
0.0%
0/30
Results by Question
1
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
두 다항식 \(A = x^2 - 2xy + y^2\), \(B = x^2 + 2xy + y^2\)에 대하여 \(A+B\)를 간단히 하면?
1
\(x^2 + y^2\)
\(2x^2 + 2y^2\)
Correct Answer
3
\(3x^2 + 3y^2\)
4
\(2x^2 - 2xy + 2y^2\)
5
\(2x^2 + 2xy + 2y^2\)
Explanation
\(A + B = (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2) = 2x^2 + 2y^2\)
2
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Error Rate 100%
Wrong
\((3+i)+(1-3i)\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))
1
\(2-2i\)
2
\(3-2i\)
\(4-2i\)
Correct Answer
4
\(3+2i\)
5
\(4+2i\)
Explanation
\((3+i)+(1-3i) = (3+1)+(1+(-3))i = 4-2i\)
3
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Error Rate 100%
Wrong
등식 \(x(x+1)+2(x+1) = x^2+ax+b\)가 \(x\)에 대한 항등식일 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a-b\)의 값은?
\(1\)
Correct Answer
2
\(2\)
3
\(3\)
4
\(4\)
5
\(5\)
Explanation
\(x(x+1)+2(x+1) = x^2+3x+2 = x^2+ax+b\)이므로 \(a=3\), \(b=2\). 따라서 \(a-b = 3-2 = 1\)
4
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Error Rate 100%
Wrong
좌표평면 위의 원점 \(O\)와 두 점 \(A(5, -5)\), \(B(1, a)\)에 대하여 \(\overline{OA} = \overline{OB}\)를 만족시킬 때, 양수 \(a\)의 값은?
1
\(6\)
\(7\)
Correct Answer
3
\(8\)
4
\(9\)
5
\(10\)
Explanation
\(\overline{OA} = \sqrt{(5-0)^2 + ((-5)-0)^2} = \sqrt{50}\), \(\overline{OB} = \sqrt{(1-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{1+a^2}\). \(50 = 1+a^2\)이고 \(a\)는 양수이므로 \(a = 7\)
5
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Error Rate 100%
Wrong
좌표평면 위의 두 점 \(A(-4, 0)\), \(B(5, 3)\)에 대하여 선분 \(AB\)를 \(2:1\)로 내분하는 점의 좌표가 \((a, b)\)일 때, \(a+b\)의 값은?
1
\(1\)
2
\(2\)
3
\(3\)
\(4\)
Correct Answer
5
\(5\)
Explanation
선분 AB를 2:1로 내분하는 점의 좌표 \((a,b)\): \(a = \dfrac{2 \times 5 + 1 \times (-4)}{2+1} = 2\), \(b = \dfrac{2 \times 3 + 1 \times 0}{2+1} = 2\). 따라서 \(a+b = 4\)
6
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Error Rate 100%
Wrong
부등식 \(|2x+1| < 7\)의 해가 \(a < x < b\)일 때, \(ab\)의 값은?
\(-12\)
Correct Answer
2
\(-10\)
3
\(-8\)
4
\(-6\)
5
\(-4\)
Explanation
\(|2x+1| < 7\) 이므로 \(-7 < 2x+1 < 7\), \(-4 < x < 3\). \(a=-4\), \(b=3\). 따라서 \(ab = -4 \times 3 = -12\)
7
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Error Rate 100%
Wrong
다항식 \(x^4 - x^2 - 12\)가 \((x-a)(x+a)(x^2+b)\)로 인수분해될 때, 두 양수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값은?
1
\(4\)
\(5\)
Correct Answer
3
\(6\)
4
\(7\)
5
\(8\)
Explanation
\(x^4 - x^2 - 12 = (x-2)(x+2)(x^2+3)\). \(a\)가 양수이므로 \(a=2\), \(b=3\). 따라서 \(a+b = 5\)
8
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Error Rate 100%
Wrong
이차방정식 \(x^2+2x+k = 0\)의 서로 다른 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \(\alpha^2 + \beta^2 = 8\)이다. 상수 \(k\)의 값은?
1
\(-5\)
2
\(-4\)
3
\(-3\)
\(-2\)
Correct Answer
5
\(-1\)
Explanation
근과 계수의 관계: \(\alpha+\beta = -2\), \(\alpha \beta = k\). \(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2 \alpha \beta = 4 - 2k = 8\). 따라서 \(k = -2\)
9
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Error Rate 100%
Wrong
두 직선 \(3x+2y-5 = 0\), \(3x+y-1 = 0\)의 교점을 지나고 직선 \(2x-y+4 = 0\)에 평행한 직선의 \(y\)절편은?
1
\(2\)
2
\(3\)
3
\(4\)
4
\(5\)
\(6\)
Correct Answer
Explanation
두 직선 \(3x+2y-5=0\), \(3x+y-1=0\)의 교점: \((-1, 4)\). 직선 \(2x-y+4=0\)의 기울기 2와 평행한 직선: \(y = 2(x+1)+4 = 2x+6\). y절편은 6
10
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Error Rate 100%
Wrong
연립방정식 \(\begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ x^2 - 2y^2 - 2 = 0 \end{cases}\)의 해를 \(x = \alpha\), \(y = \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta\)의 값은?
1
\(-5\)
2
\(-4\)
\(-3\)
Correct Answer
4
\(-2\)
5
\(-1\)
Explanation
\(y = x+1\)을 \(x^2 - 2y^2 - 2 = 0\)에 대입: \(x^2 - 2(x+1)^2 - 2 = 0\), \((x+2)^2 = 0\). \(x = -2\), \(y = -1\). \(\alpha = -2\), \(\beta = -1\). 따라서 \(\alpha+\beta = -3\)
11
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Error Rate 100%
Wrong
연립부등식 \(\begin{cases} x^2 - 3x - 18 \leq 0 \\ x^2 - 8x + 15 \geq 0 \end{cases}\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합은?
1
\(7\)
2
\(8\)
3
\(9\)
4
\(10\)
\(11\)
Correct Answer
Explanation
\(x^2 - 3x - 18 \leq 0\)에서 \(-3 \leq x \leq 6\). \(x^2 - 8x + 15 \geq 0\)에서 \(x \leq 3\) 또는 \(x \geq 5\). 공통: \(-3 \leq x \leq 3\) 또는 \(5 \leq x \leq 6\). 정수: \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 5, 6\). 합 \(= 11\)
12
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Error Rate 100%
Wrong
두 상수 \(a, b\)에 대하여 이차함수 \(y = x^2+ax+b\)의 그래프가 점 \((1, 0)\)에서 \(x\)축과 접할 때, 이차함수 \(y = x^2+bx+a\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 두 점 사이의 거리는?
1
\(2\)
2
\(2 \sqrt{2}\)
\(2 \sqrt{3}\)
Correct Answer
4
\(4\)
5
\(2 \sqrt{5}\)
Explanation
\(y = x^2+ax+b\)가 \((1,0)\)에서 x축과 접하므로 \(y = (x-1)^2 = x^2-2x+1\). \(a=-2\), \(b=1\). \(y = x^2+x-2 = (x+2)(x-1)\)의 x절편은 \((-2, 0)\), \((1, 0)\). 두 점 사이의 거리는 \(\sqrt{(1-(-2))^2} = 3\)
13
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Error Rate 100%
Wrong
좌표평면 위의 점 \(A(-3, 4)\)를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점을 \(B\)라 하고, 점 \(B\)를 \(x\)축의 방향으로 \(2\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(k\)만큼 평행이동한 점을 \(C\)라 하자. 세 점 \(A\), \(B\), \(C\)가 한 직선 위에 있을 때, 실수 \(k\)의 값은?
1
\(-5\)
2
\(-4\)
3
\(-3\)
\(-2\)
Correct Answer
5
\(-1\)
Explanation
점 \(A(-3, 4)\)를 \(y=x\)에 대칭: \(B(4, -3)\). \(B\)를 평행이동: \(C(6, -3+k)\). 두 점 \(A\), \(B\)를 지나는 직선: \(y = -x+1\). 세 점이 한 직선 위에 있으려면 \(-3+k = -5\), \(k = -2\)
14
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Error Rate 100%
Wrong
중심이 점 \((3, 2)\)이고 반지름의 길이가 \(\sqrt{5}\)인 원 위의 점과 직선 \(2x-y+8 = 0\) 사이의 거리의 최솟값은?
\(\dfrac{7 \sqrt{5}}{5}\)
Correct Answer
2
\(\dfrac{8 \sqrt{5}}{5}\)
3
\(\dfrac{9 \sqrt{5}}{5}\)
4
\(2 \sqrt{5}\)
5
\(\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}\)
Explanation
점 \((3,2)\)와 직선 \(2x-y+8=0\) 사이의 거리: \(|2 \times 3 + (-1) \times 2 + 8|/\sqrt{2^2+(-1)^2} = \dfrac{12}{\sqrt{5}} = (12 \sqrt{5})/5\). 원의 반지름이 \(\sqrt{5}\)이므로 최솟값은 \((12 \sqrt{5})/5 - \sqrt{5} = (7 \sqrt{5})/5\)
15
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Error Rate 100%
Wrong
좌표평면 위의 원점 \(O\)와 두 점 \(A\), \(B\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(OAB\)가 있다. 선분 \(OA\)를 \(2:1\)로 외분하는 점을 \(P\), 선분 \(OB\)를 \(2:1\)로 외분하는 점을 \(Q\)라 하자. 선분 \(PQ\)의 중점의 좌표가 \((4, 5)\)일 때, 삼각형 \(OAB\)의 무게중심의 좌표는 \((a, b)\)이다. \(a+b\)의 값은?
\(3\)
Correct Answer
2
\(4\)
3
\(5\)
4
\(6\)
5
\(7\)
Explanation
\(P\)는 선분 \(OA\)를 2:1로 외분: \(P(2x_1, 2y_1)\). \(Q\)는 선분 \(OB\)를 2:1로 외분: \(Q(2x_2, 2y_2)\). \(PQ\)의 중점이 \((4,5)\)이므로 \(x_1+x_2 = 4\), \(y_1+y_2 = 5\). 무게중심 \((a, b)\): \(a = \dfrac{4}{3}\), \(b = \dfrac{5}{3}\). 따라서 \(a+b = 3\)
16
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Error Rate 100%
Wrong
이차함수 \(y = \dfrac{1}{2}(x-k)^2\)의 그래프와 직선 \(y = x\)가 서로 다른 두 점 \(A\), \(B\)에서 만난다. 두 점 \(A\), \(B\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. 선분 \(CD\)의 길이가 \(6\)일 때, 상수 \(k\)의 값은?
1
\(\dfrac{7}{2}\)
\(4\)
Correct Answer
3
\(\dfrac{9}{2}\)
4
\(5\)
5
\(\dfrac{11}{2}\)
Explanation
\(C(\alpha, 0)\), \(D(\alpha+6, 0)\), \(A(\alpha, \alpha)\), \(B(\alpha+6, \alpha+6)\). \(\dfrac{1}{2} (x-k)^2 = x\)에서 \(x^2 - 2(k+1)x + k^2 = 0\). 근과 계수의 관계로 \(\alpha+(\alpha+6) = 2(k+1)\), \(\alpha(\alpha+6) = k^2\). \(\alpha = k-2\)를 대입: \((k-2)(k+4) = k^2\), \(2k = 8\), \(k = 4\)
17
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Error Rate 100%
Wrong
그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 \(A(2, 3)\), \(B(-3, 1)\)이 있다. 서로 다른 두 점 \(C\)와 \(D\)가 각각 \(x\)축과 직선 \(y = x\) 위에 있을 때, \(\overline{AD} + \overline{CD} + \overline{BC}\)의 최솟값은?
1
\(\sqrt{42}\)
2
\(\sqrt{43}\)
3
\(2 \sqrt{11}\)
\(3 \sqrt{5}\)
Correct Answer
5
\(\sqrt{46}\)
Explanation
\(A(2,3)\)을 \(y=x\)에 대칭: \(A'(3,2)\). \(B(-3,1)\)을 x축에 대칭: \(B'(-3,-1)\). \(\overline{AD}+\overline{CD}+\overline{BC} = \overline{A'D}+\overline{DC}+\overline{CB'} \geq \overline{A'B'} = \sqrt{(-3-3)^2+(-1-2)^2} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}\)
18
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Error Rate 100%
Wrong
함수 \(f(x) = x^2 + 4x - 3k^2 - 12k + 40\)의 그래프와 \(x\)축이 만나는 점의 개수와, 함수 \(g(x) = x^2 - 12x + 3k^2 - 36k + 96\)의 그래프와 \(x\)축이 만나는 점의 개수가 서로 같도록 하는 모든 정수 \(k\)의 개수는?
1
\(11\)
2
\(13\)
\(15\)
Correct Answer
4
\(17\)
5
\(19\)
Explanation
판별식 \(D_1 = 16 - 4(-3k^2-12k+40) = 12(k-2)(k+6)\), \(D_2 = 144 - 4(3k^2-36k+96) = -12(k-10)(k-2)\). (i) 둘 다 0개: \(-6
19
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Error Rate 100%
Wrong
좌표평면 위에 네 점 \(A(-1, 4)\), \(B(-3, 0)\), \(C(0, -2)\), \(D(1, 3)\)이 있다. 다음은 네 점 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)가 각각 네 변 \(PQ\), \(QR\), \(RS\), \(SP\) 위에 있도록 하는 정사각형 \(PQRS\)의 한 변의 길이를 구하는 과정이다. 점 \(A\)를 지나고 두 점 \(B\)와 \(D\)를 지나는 직선에 수직인 직선 \(l_1\)의 방정식은 \(y = \) (가) 이다. 점 \(A\)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(\overline{BD}\)인 원을 \(C\)라 하자. 원 \(C\)와 직선 \(l_1\)이 만나는 두 점 중 점 \(C\)와의 거리가 더 작은 점을 \(E\)라 하고, 두 점 \(C\)와 \(E\)를 지나는 직선을 \(l_2\)라 하면 직선 \(l_2\)의 방정식은 \(y = \) (나) 이다. 두 점 \(B\)와 \(D\)에서 직선 \(l_2\)에 내린 수선의 발을 각각 \(R\), \(S\)라 하자. 점 \(A\)를 지나고 직선 \(l_1\)과 평행한 직선을 \(l_3\)이라 하고, 두 점 \(B\)와 \(D\)에서 직선 \(l_3\)에 내린 수선의 발을 각각 \(Q\), \(P\)라 하자. 사각형 \(PQRS\)는 네 점 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)가 각각 네 변 \(PQ\), \(QR\), \(RS\), \(SP\) 위에 있고 한 변의 길이가 \(\overline{PQ} = \overline{QR} = \) (다) 인 정사각형이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(x)\), \(g(x)\)라 하고, (다)에 알맞은 수를 \(\alpha\)라 할 때, \(\dfrac{3}{4} f(\alpha) - g(\alpha)\)의 값은?
1
\(4 - 3 \sqrt{2}\)
2
\(4 - 4 \sqrt{2}\)
3
\(4 - 5 \sqrt{2}\)
4
\(4 - 6 \sqrt{2}\)
\(4 - 7 \sqrt{2}\)
Correct Answer
Explanation
\(BD\)의 기울기 \(\dfrac{3}{4}\)에 수직인 \(A\)를 지나는 직선 \(l_1: y = -\dfrac{4}{3} x + \dfrac{8}{3}\). 원 \((x+1)^2+(y-4)^2 = 25\)와 교점: \((2,0)\), \((-4,8)\). \(C(0,-2)\)에 가까운 \(E(2,0)\). \(l_2: y = x-2\). \(l_3: y = x+5\). 사각형 PQRS는 한 변의 길이가 \((7 \sqrt{2})/2\)인 정사각형. \(f(\alpha) = -\dfrac{4}{3} \times (7 \sqrt{2})/2 + \dfrac{8}{3}\), \(g(\alpha) = (7 \sqrt{2})/2 - 2\). \(\dfrac{3}{4} f(\alpha) - g(\alpha) = 4 - 7 \sqrt{2}\)
20
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Wrong
최고차항의 계수가 \(1\)인 사차다항식 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(4)\)의 값은? (가) \(f(x)\)를 \(x+1\)로 나눈 나머지와 \(f(x)\)를 \(x^2-3\)으로 나눈 나머지는 서로 같다. (나) \(f(x+1)-5\)는 \(x^2+x\)로 나누어떨어진다.
1
\(-9\)
2
\(-8\)
\(-7\)
Correct Answer
4
\(-6\)
5
\(-5\)
Explanation
\(f(x)-R = (x+1)(x^2-3)(x+a)\). \(f(x+1)-5 = (x^2+x)Q_3(x) = x(x+1)Q_3(x)\)이므로 \(f(0)=5\), \(f(1)=5\). \(f(0) = -3a+R = 5\), \(f(1) = -4-4a+R = 5\). \(a = -4\), \(R = -7\). \(f(x) = (x+1)(x^2-3)(x-4)-7\). \(f(4) = -7\)
21
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Error Rate 100%
Wrong
그림과 같이 원 \(x^2 + y^2 = 25\) 위에 세 점 \(A(-5, 0)\), \(B(0, -5)\), \(C(4, 3)\)이 있다. 점 \(B\)를 포함하지 않는 호 \(AC\) 위에 점 \(P\)가 있을 때,
<보기>
에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
<보기>
ㄱ. 점 \(B\)와 직선 \(AC\) 사이의 거리는 \(2 \sqrt{10}\)이다.
ㄴ. 사각형 \(PABC\)의 넓이가 최대일 때, 직선 \(PB\)와 직선 \(AC\)는 서로 수직이다.
ㄷ. 사각형 \(PABC\)의 넓이의 최댓값은 \(\dfrac{15(3 + \sqrt{10})}{2}\)이다.
1
ㄱ
2
ㄷ
3
ㄱ, ㄴ
ㄱ, ㄷ
Correct Answer
5
ㄱ, ㄴ, ㄷ
Explanation
ㄱ. 직선 \(AC: x-3y+5=0\), 점 \(B\)와의 거리 \(= 2 \sqrt{10}\) (참). ㄴ. 사각형 넓이 최대 시 \(P\)에서 접선이 \(AC\)와 평행, \(PB\)와 \(AC\)는 수직이 아님 (거짓). ㄷ. 삼각형 \(ABC\) 넓이 \(=30\), 삼각형 \(ACP\) 최대 넓이 \(= \dfrac{1}{2} \times 3 \sqrt{10} \times \left(5-\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right) = (15(\sqrt{10}-1))/2\). 합 \(= (15(3+\sqrt{10}))/2\) (참). 따라서 ㄱ, ㄷ
22
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Error Rate 100%
Wrong
\(x\)에 대한 다항식 \(x^3 - x^2 - 10x + a\)가 \(x-1\)로 나누어떨어질 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
10
Explanation
\(f(x) = x^3-x^2-10x+a\)가 \(x-1\)로 나누어떨어지므로 \(f(1) = 1-1-10+a = 0\). 따라서 \(a = 10\)
23
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Error Rate 100%
Wrong
\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} x - 1 > 8 \\ 2x - 16 \leq x + a \end{cases}\)의 해가 \(b < x \leq 28\)일 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
21
Explanation
\(x-1>8\)에서 \(x>9\). \(2x-16 \leq x+a\)에서 \(x \leq a+16\). 해: \(9 < x \leq a+16\). \(a+16 = 28\), \(a = 12\), \(b = 9\). 따라서 \(a+b = 21\)
24
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Error Rate 100%
Wrong
\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - (k+2)x + k + 5 = 0\)이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 모든 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
7
Explanation
판별식 \(D = (k+2)^2 - 4(k+5) = k^2-16 < 0\). \(-4 < k < 4\). 정수 \(k\): \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\). 개수는 7
25
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
좌표평면 위에 두 점 \(A(2t, -3)\), \(B(-1, 2t)\)가 있다. 선분 \(AB\)의 길이를 \(l\)이라 할 때, 실수 \(t\)에 대하여 \(l^2\)의 최솟값을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
2
Explanation
\(l^2 = (-1-2t)^2 + (2t+3)^2 = 8t^2+16t+10 = 8(t+1)^2 + 2\). \(t=-1\)일 때 \(l^2\)의 최솟값은 2
26
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
그림과 같이 원 \(x^2 + y^2 = 100\) 위에 \(x\)좌표가 각각 \(3, 7\)인 두 점 \(A_1\), \(A_2\)가 있다. 점 \(B(-10, 0)\)을 지나고 두 직선 \(A_1 B\), \(A_2 B\)에 각각 수직인 두 직선이 원과 만나는 점 중 점 \(B\)가 아닌 두 점을 각각 \(C_1\), \(C_2\)라 하자. 점 \(C_1\)의 \(y\)좌표를 \(a\), 점 \(C_2\)의 \(x\)좌표를 \(b\)라 할 때, \(a^2 + b^2\)의 값을 구하시오. (단, 두 점 \(A_1\), \(A_2\)는 제1사분면 위에 있다.)
(No answer submitted)
Answer
140
Explanation
\(\angle A_1 B C_1 = 90^{\circ}\)이므로 \(A_1 C_1\)은 지름. 원점에 대한 대칭으로 \(A_1(3, \sqrt{91})\)의 대칭 \(C_1(-3, -\sqrt{91})\), \(A_2(7, \sqrt{51})\)의 대칭 \(C_2(-7, -\sqrt{51})\). \(a = -\sqrt{91}\), \(b = -7\). \(a^2+b^2 = 91+49 = 140\)
27
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
\(x\)에 대한 사차방정식 \(x^4 + (2a+1)x^3 + (3a+2)x^2 + (a+2)x = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 곱을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
12
Explanation
\(x(x+1)(x^2+2ax+a+2) = 0\). 서로 다른 실근 3개를 위해 한 중근 필요. (i) \(x=0\) 중근: \(a=-2\). (ii) \(x=-1\) 중근: \(a=3\). (iii) 이차방정식 중근: \(D = 4a^2-4(a+2) = 0\), \(a=-1\) 또는 \(a=2\). 모든 \(a\): \(-2, -1, 2, 3\). 곱 \(= -2 \times -1 \times 2 \times 3 = 12\)
28
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
그림과 같이 \(x\)축과 직선 \(l: y = mx\) \((m > 0)\)에 동시에 접하는 반지름의 길이가 \(2\)인 원이 있다. \(x\)축과 원이 만나는 점을 \(P\), 직선 \(l\)과 원이 만나는 점을 \(Q\), 두 점 \(P\), \(Q\)를 지나는 직선이 \(y\)축과 만나는 점을 \(R\)라 하자. 삼각형 \(ROP\)의 넓이가 \(16\)일 때, \(60m\)의 값을 구하시오. (단, 원의 중심은 제1사분면 위에 있고, \(O\)는 원점이다.)
(No answer submitted)
Answer
80
Explanation
\(P(a, 0)\), \(A(a, 2)\). 직선 \(l_1: y = \left(\dfrac{2}{a}\right)x\). 직선 \(PQ: y = -\left(\dfrac{a}{2}\right)(x-a)\). \(R(0, a^2/2)\). 삼각형 \(ROP\)의 넓이 \(= \dfrac{1}{2} \times a \times a^2/2 = a^3/4 = 16\), \(a=4\). 점 \(A(4,2)\)와 직선 \(mx-y=0\) 사이의 거리 \(= 2\): \(|4m-2|/\sqrt{m^2+1} = 2\), \(m=\dfrac{4}{3}\) \((m>0)\). 따라서 \(60m = 80\)
29
모의고사
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두 실수 \(a, b\)에 대하여 이차방정식 \(x^2 + ax + b = 0\)의 서로 다른 두 근은 \(\alpha\), \(\beta\)이고, 이차방정식 \(x^2 + 3ax + 3b = 0\)의 서로 다른 두 근은 \(\alpha + 2\), \(\beta + 2\)이다. 다음 조건을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오. (가) \(\alpha^n + \beta^n > 0\) (나) \(\alpha^n + \beta^n = \alpha^{n+1} + \beta^{n+1}\)
(No answer submitted)
Answer
6
Explanation
근과 계수: \(\alpha+\beta = -a\), \(\alpha \beta = b\). \((\alpha+2)+(\beta+2) = -3a\)에서 \(-a+4 = -3a\), \(a = -2\). \((\alpha+2)(\beta+2) = 3b\)에서 \(b+4+4 = 3b\), \(b = 4\). \(\alpha^2-2 \alpha+4=0\)이므로 \(\alpha^3 = -8\), 마찬가지로 \(\beta^3 = -8\). \(\alpha^6+\beta^6 = 64+64 = 128\), \(\alpha^7+\beta^7 = -8 \alpha^4 + (-8) \beta^4\) 계산. 결국 \(\alpha^6+\beta^6 = \alpha^7+\beta^7 = 128\). 따라서 최솟값 \(n = 6\)
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모의고사
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최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(y = f(x)\)의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면 이차함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 일치한다. 방정식 \(f(x) = g(x)\)는 서로 다른 두 실근 \(\alpha\), \(\beta\) \((\alpha < \beta)\)를 갖고, 함수 \(h(x)\)는 \(h(x) = \begin{cases} f(x) \text{ } (x < \alpha \text{ 또는 } x > \beta) \\ g(x) \text{ } (\alpha \leq x \leq \beta) \end{cases}\)일 때, 함수 \(h(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 \(h(x) = h(\beta)\)는 서로 다른 세 실근을 갖고, 세 실근의 합은 \(-4\)이다. (나) 함수 \(y = h(x)\)의 그래프 위의 점 중에서 \(y\)좌표가 음의 정수인 점의 개수는 \(15\)이다. \(h(2) + h(5)\)의 값을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
35
Explanation
\(f(x)-g(x) = 2(x-\alpha)(x-\beta) = 2x^2+2b\)이므로 \(\alpha = -\beta\), \(b = \alpha \beta = -\beta^2\). 방정식 \(h(x) = h(\beta)\)의 세 실근은 \(-a-\beta\), \(a-\beta\), \(\beta\). 조건 (가): 합 \(= -\beta = -4\), \(\beta = 4\), \(\alpha = -4\), \(b = -16\). 조건 (나): \(g(\alpha) = -16-4a+16 = -8\), \(a = 2\). \(f(x) = x^2+2x-16\), \(g(x) = -x^2+2x+16\). \(h(2) = -4+4+16 = 16\), \(h(5) = 25+10-16 = 19\). \(h(2)+h(5) = 35\)