좌표평면 위에 네 점 \(A(-1, 4)\), \(B(-3, 0)\), \(C(0, -2)\), \(D(1, 3)\)이 있다. 다음은 네 점 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)가 각각 네 변 \(PQ\), \(QR\), \(RS\), \(SP\) 위에 있도록 하는 정사각형 \(PQRS\)의 한 변의 길이를 구하는 과정이다. 점 \(A\)를 지나고 두 점 \(B\)와 \(D\)를 지나는 직선에 수직인 직선 \(l_1\)의 방정식은 \(y = \) (가) 이다. 점 \(A\)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(\overline{BD}\)인 원을 \(C\)라 하자. 원 \(C\)와 직선 \(l_1\)이 만나는 두 점 중 점 \(C\)와의 거리가 더 작은 점을 \(E\)라 하고, 두 점 \(C\)와 \(E\)를 지나는 직선을 \(l_2\)라 하면 직선 \(l_2\)의 방정식은 \(y = \) (나) 이다. 두 점 \(B\)와 \(D\)에서 직선 \(l_2\)에 내린 수선의 발을 각각 \(R\), \(S\)라 하자. 점 \(A\)를 지나고 직선 \(l_1\)과 평행한 직선을 \(l_3\)이라 하고, 두 점 \(B\)와 \(D\)에서 직선 \(l_3\)에 내린 수선의 발을 각각 \(Q\), \(P\)라 하자. 사각형 \(PQRS\)는 네 점 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)가 각각 네 변 \(PQ\), \(QR\), \(RS\), \(SP\) 위에 있고 한 변의 길이가 \(\overline{PQ} = \overline{QR} = \) (다) 인 정사각형이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(x)\), \(g(x)\)라 하고, (다)에 알맞은 수를 \(\alpha\)라 할 때, \(\dfrac{3}{4} f(\alpha) - g(\alpha)\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(1\)인 사차다항식 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(4)\)의 값은? (가) \(f(x)\)를 \(x+1\)로 나눈 나머지와 \(f(x)\)를 \(x^2-3\)으로 나눈 나머지는 서로 같다. (나) \(f(x+1)-5\)는 \(x^2+x\)로 나누어떨어진다.

그림과 같이 원 \(x^2 + y^2 = 25\) 위에 세 점 \(A(-5, 0)\), \(B(0, -5)\), \(C(4, 3)\)이 있다. 점 \(B\)를 포함하지 않는 호 \(AC\) 위에 점 \(P\)가 있을 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. 점 \(B\)와 직선 \(AC\) 사이의 거리는 \(2 \sqrt{10}\)이다. ㄴ. 사각형 \(PABC\)의 넓이가 최대일 때, 직선 \(PB\)와 직선 \(AC\)는 서로 수직이다. ㄷ. 사각형 \(PABC\)의 넓이의 최댓값은 \(\dfrac{15(3 + \sqrt{10})}{2}\)이다.

\(x\)에 대한 다항식 \(x^3 - x^2 - 10x + a\)가 \(x-1\)로 나누어떨어질 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} x - 1 > 8 \\ 2x - 16 \leq x + a \end{cases}\)의 해가 \(b < x \leq 28\)일 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값을 구하시오.

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - (k+2)x + k + 5 = 0\)이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 모든 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.

좌표평면 위에 두 점 \(A(2t, -3)\), \(B(-1, 2t)\)가 있다. 선분 \(AB\)의 길이를 \(l\)이라 할 때, 실수 \(t\)에 대하여 \(l^2\)의 최솟값을 구하시오.

그림과 같이 원 \(x^2 + y^2 = 100\) 위에 \(x\)좌표가 각각 \(3, 7\)인 두 점 \(A_1\), \(A_2\)가 있다. 점 \(B(-10, 0)\)을 지나고 두 직선 \(A_1 B\), \(A_2 B\)에 각각 수직인 두 직선이 원과 만나는 점 중 점 \(B\)가 아닌 두 점을 각각 \(C_1\), \(C_2\)라 하자. 점 \(C_1\)의 \(y\)좌표를 \(a\), 점 \(C_2\)의 \(x\)좌표를 \(b\)라 할 때, \(a^2 + b^2\)의 값을 구하시오. (단, 두 점 \(A_1\), \(A_2\)는 제1사분면 위에 있다.)

\(x\)에 대한 사차방정식 \(x^4 + (2a+1)x^3 + (3a+2)x^2 + (a+2)x = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 곱을 구하시오.

그림과 같이 \(x\)축과 직선 \(l: y = mx\) \((m > 0)\)에 동시에 접하는 반지름의 길이가 \(2\)인 원이 있다. \(x\)축과 원이 만나는 점을 \(P\), 직선 \(l\)과 원이 만나는 점을 \(Q\), 두 점 \(P\), \(Q\)를 지나는 직선이 \(y\)축과 만나는 점을 \(R\)라 하자. 삼각형 \(ROP\)의 넓이가 \(16\)일 때, \(60m\)의 값을 구하시오. (단, 원의 중심은 제1사분면 위에 있고, \(O\)는 원점이다.)

두 실수 \(a, b\)에 대하여 이차방정식 \(x^2 + ax + b = 0\)의 서로 다른 두 근은 \(\alpha\), \(\beta\)이고, 이차방정식 \(x^2 + 3ax + 3b = 0\)의 서로 다른 두 근은 \(\alpha + 2\), \(\beta + 2\)이다. 다음 조건을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오. (가) \(\alpha^n + \beta^n > 0\) (나) \(\alpha^n + \beta^n = \alpha^{n+1} + \beta^{n+1}\)

최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(y = f(x)\)의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면 이차함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 일치한다. 방정식 \(f(x) = g(x)\)는 서로 다른 두 실근 \(\alpha\), \(\beta\) \((\alpha < \beta)\)를 갖고, 함수 \(h(x)\)는 \(h(x) = \begin{cases} f(x) \text{ } (x < \alpha \text{ 또는 } x > \beta) \\ g(x) \text{ } (\alpha \leq x \leq \beta) \end{cases}\)일 때, 함수 \(h(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 \(h(x) = h(\beta)\)는 서로 다른 세 실근을 갖고, 세 실근의 합은 \(-4\)이다. (나) 함수 \(y = h(x)\)의 그래프 위의 점 중에서 \(y\)좌표가 음의 정수인 점의 개수는 \(15\)이다. \(h(2) + h(5)\)의 값을 구하시오.