2024년 10월 고3 학력평가

\(\left(\dfrac{4}{\sqrt[3]{2}}\right)^{\dfrac{6}{5}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{f(x)+5}{x-1}\)의 값은?

\(\dfrac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\sin^2 \theta = \dfrac{4}{5}\)일 때, \(\dfrac{\tan \theta}{\cos \theta}\)의 값은?

\(\displaystyle\int_{1}^{2} (3x+4) d x + \displaystyle\int_{1}^{2} (3x^2 - 3x) d x\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} (x-a)^2 - 3 & \quad \quad x < 1 \\ 2x - 1 & \quad \quad x \geq 1 \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 \(a\)의 값의 합은?

공비가 양수인 등비수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(4(S_4 - S_2) = S_6 - S_4\), \(a_3 = 12\)일 때, \(S_3\)의 값은?

상수 \(k\)에 대하여 함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k\)의 극솟값이 \(-17\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값은?

함수 \(f(x) = x^2 + 1\)의 그래프와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = 0\), \(x = 1\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 점 \((1, f(1))\)을 지나고 기울기가 \(m (m \geq 2)\)인 직선이 이등분할 때, 상수 \(m\)의 값은?

좌표평면 위에 두 점 \(A(4, \log_3 a)\), \(B\left(\log_2 2\sqrt{2}, \log_3 \dfrac{3}{2}\right)\)이 있다. 선분 AB를 \(3:1\)로 외분하는 점이 직선 \(y = 4x\) 위에 있을 때, 양수 \(a\)의 값은?

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((x-1)g(x) = |f(x)|\)를 만족시킨다. 함수 \(g(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속이고 \(g(3) = 0\)일 때, \(f(4)\)의 값은?

모든 항이 자연수인 두 등차수열 \({a_n}\), \({b_n}\)에 대하여 \(a_5 - b_5 = a_6 - b_7 = 0\)이다. \(a_7 = 27\)이고 \(b_7 \leq 24\)일 때, \(b_1 - a_1\)의 값은?

시각 \(t = 0\)일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 속도가 각각 \(v_1(t) = -3t^2 + a t\), \(v_2(t) = -t + 1\)이다. 출발한 후 두 점 P, Q가 한 번만 만나도록 하는 양수 \(a\)에 대하여 점 P가 시각 \(t = 0\)에서 시각 \(t = 3\)까지 움직인 거리는?

그림과 같이 한 원에 내접하는 사각형 ABCD에 대하여 \(\overline{A B} = 4\), \(\overline{B C} = 2\sqrt{30}\), \(\overline{C D} = 8\)이다. \(\angle B A C = \alpha\), \(\angle A C D = \beta\)라 할 때, \(\cos(\alpha + \beta) = -\dfrac{5}{12}\)이다. 두 선분 AC와 BD의 교점을 E라 할 때, 선분 AE의 길이는? (단, \(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}\), \(0 < \beta < \dfrac{\pi}{2}\))

최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} f(x) & \quad \quad x \leq 1 \\ f(x-1) + 2 & \quad \quad x > 1 \end{cases}\)은 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((0, g(0))\)에서의 접선의 방정식이 \(y = 2x + 1\)이다. \(g'(t) = 2\)인 서로 다른 모든 실수 \(t\)의 값의 합은?

모든 항이 자연수인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{n} & \quad \quad n \text{이} a_n \text{의 약수일 때} \\ a_n + n & \quad \quad n \text{이} a_n \text{의 약수가 아닐 때} \end{cases}\)를 만족시킬 때, \(a_6 = 2\)가 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합은?

방정식 \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^x = 27^{x-8}\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = (x^2 + 3x)(x^2 - x + 2)\)에 대하여 \(f'(2)\)의 값을 구하시오.

수열 \({a_n}\)과 상수 \(c\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^9 c a_n = 16\), \(\displaystyle\sum_{n=1}^9 (a_n + c) = 24\)일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^9 a_n\)의 값을 구하시오.

두 상수 \(a, b (a > 0)\)에 대하여 함수 \(f(x) = |\sin a \pi x + b|\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(60(a+b)\)의 값을 구하시오. (가) \(f(x) = 0\)이고 \(|x| \leq \dfrac{1}{a}\)인 모든 실수 \(x\)의 값의 합은 \(\dfrac{1}{2}\)이다. (나) \(f(x) = \dfrac{2}{5}\)이고 \(|x| \leq \dfrac{1}{a}\)인 모든 실수 \(x\)의 값의 합은 \(\dfrac{3}{4}\)이다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \({f(x)}^2 = 2 \displaystyle\int_{3}^{x} (t^2 + 2t) f(t) d t\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\int_{-3}^0 f(x) d x\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 하자. \(M - m\)의 값을 구하시오.

두 자연수 \(a, b\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{4}{x-3} + a & \quad \quad x < 2 \\ |5 \log_2 x - b| & \quad \quad x \geq 2 \end{cases}\)이다. 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) = t\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\)라 하자. 함수 \(g(t)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(a + b\)의 최솟값을 구하시오. (가) 함수 \(g(t)\)의 치역은 \({0, 1, 2}\)이다. (나) \(g(t) = 2\)인 자연수 \(t\)의 개수는 6이다.

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \begin{cases} f(x) + x & \quad \quad f(x) \geq 0 \\ 2 f(x) & \quad \quad f(x) < 0 \end{cases}\)이라 할 때, 함수 \(g(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)가 \(x = t\)에서 불연속인 실수 \(t\)의 개수는 1이다. (나) 함수 \(g(x)\)가 \(x = t\)에서 미분가능하지 않은 실수 \(t\)의 개수는 2이다. \(f(-2) = -2\)일 때, \(f(6)\)의 값을 구하시오.