2025학년도 9월 모의평가 (확률과 통계)

\(\dfrac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[8]{4}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 5\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은?

모든 항이 실수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_2 a_3 = 2, \quad a_4 = 4\) 일 때, \(a_6\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0^-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1^+} f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x+1)(x^2 + x - 5)\)에 대하여 \(f'(2)\)의 값은?

\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\cos(\pi + \theta) = \dfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)일 때, \(\sin \theta + \cos \theta\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} (x-a)^2 \quad (x < 4) \\ 2x - 4 \quad (x \geq 4) \end{cases}\) 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 \(a\)의 값의 곱은?

\(a > 2\)인 상수 \(a\)에 대하여 두 수 \(\log_2 a\), \(\log_a 8\)의 합과 곱이 각각 \(4\), \(k\)일 때, \(a + k\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 + x\)에 대하여 \(5 \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x - \displaystyle\int_{0}^{1} (5x + f(x)) d x\) 의 값은?

\(\angle A > \dfrac{\pi}{2}\)인 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라 하자. \(\overline{A B} : \overline{A C} = \sqrt{2} : 1, \quad \overline{A H} = 2\) 이고, 삼각형 ABC의 외접원의 넓이가 \(50 \pi\)일 때, 선분 BH의 길이는?

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 위치가 각각 \(x_1 = t^2 + t - 6, \quad x_2 = -t^3 + 7 t^2\) 이다. 두 점 P, Q의 위치가 같아지는 순간 두 점 P, Q의 가속도를 각각 \(p\), \(q\)라 할 때, \(p - q\)의 값은?

수열 \(\{a_n\}\)은 등차수열이고, 수열 \(\{b_n\}\)은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_k\) 를 만족시킨다. \(b_2 = -2\), \(b_3 + b_7 = 0\)일 때, 수열 \(\{b_n\}\)의 첫째항부터 제9항까지의 합은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2x + 6 \quad (x < 0) \\ -x^2 + 2x + 6 \quad (x \geq 0) \end{cases}\) 의 그래프가 \(x\)축과 만나는 서로 다른 두 점을 P, Q라 하고, 상수 \(k\) \((k > 4)\)에 대하여 직선 \(x = k\)가 \(x\)축과 만나는 점을 R이라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 PQ로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\), 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(x = k\) 및 선분 QR로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\)라 하자. \(A = 2 B\)일 때, \(k\)의 값은? (단, 점 P의 \(x\)좌표는 음수이다.)

자연수 \(n\)에 대하여 곡선 \(y = 2^x\) 위의 두 점 \(A_n\), \(B_n\)이 다음 조건을 만족시킨다. <보기> (가) 직선 \(A_n B_n\)의 기울기는 \(3\)이다. (나) \(\overline{A_n B_n} = n \times \sqrt{10}\) 중심이 직선 \(y = x\) 위에 있고 두 점 \(A_n\), \(B_n\)을 지나는 원이 곡선 \(y = \log_2 x\)와 만나는 두 점의 \(x\)좌표 중 큰 값을 \(x_n\)이라 하자. \(x_1 + x_2 + x_3\)의 값은?

두 다항함수 \(f(x)\), \(g(x)\)는 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. <보기> (가) \(\displaystyle\int_{1}^{x} t f(t) d t + \displaystyle\int_{-1}^x t g(t) d t = 3 x^4 + 8 x^3 - 3 x^2\) (나) \(f(x) = x g'(x)\) \(\displaystyle\int_{0}^{3} g(x) d x\)의 값은?

방정식 \(\log_3 (x + 2) - \log_{\dfrac{1}{3}} (x - 4) = 3\) 을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x)\)이고 조건이 주어질 때, \(f\)의 값을 구하시오.

수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k a_k = 36, \quad \displaystyle\sum_{k=1}^9 k a_{k+1} = 7\) 일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 + a x^2 - 9 x + b\)는 \(x = 1\)에서 극소이다. 함수 \(f(x)\)의 극댓값이 \(28\)일 때, \(a + b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)와 \(b\)는 상수이다.)

닫힌구간 \([0, 2 \pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} \sin x - 1 \quad (0 \leq x < \pi) \\ -\sqrt{2} \sin x - 1 \quad (\pi \leq x \leq 2 \pi) \end{cases}\) 가 있다. \(0 \leq t \leq 2 \pi\)인 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) = f(t)\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 \(t\)의 값의 합은 \(\dfrac{q}{p} \pi\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 모든 정수 \(k\)에 대하여 \(2 k - 8 \leq \dfrac{f(k+2) - f(k)}{2} \leq 4 k^2 + 14 k\) 를 만족시킬 때, \(f'(3)\)의 값을 구하시오.

양수 \(k\)에 대하여 \(a_1 = k\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 다음 조건을 만족시킨다. <보기> (가) \(a_2 \times a_3 < 0\) (나) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\left(a_{n+1} - a_n + \dfrac{2}{3} k\right)(a_{n+1} + k a_n) = 0\)이다. \(a_5 = 0\)이 되도록 하는 서로 다른 모든 양수 \(k\)에 대하여 \(k^2\)의 값의 합을 구하시오.

다섯 개의 숫자 \(1\), \(2\), \(2\), \(3\), \(3\)을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는?

두 사건 A, B는 서로 독립이고 \(P(A) = \dfrac{2}{3}, \quad P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}\) 일 때, \(P(A \cup B)\)의 값은?

\(1\)부터 \(11\)까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 \(2\)개의 수를 선택한다. 선택한 \(2\)개의 수 중 적어도 하나가 \(7\) 이상의 홀수일 확률은?

정규분포 \(N(m, 6^2)\)을 따르는 모집단에서 크기가 \(9\)인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 \(\overline{X}\), 정규분포 \(N(6, 2^2)\)을 따르는 모집단에서 크기가 \(4\)인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 \(\overline{Y}\)라 하자. \(P(\overline{X} \leq 12) + P(\overline{Y} \geq 8) = 1\)이 되도록 하는 \(m\)의 값은?

이산확률변수 \(X\)가 가지는 값이 \(0\)부터 \(4\)까지의 정수이고 \(P(X = k) = P(X = k + 2) \quad (k = 0, 1, 2)\) 이다. \(E(X^2) = \dfrac{35}{6}\)일 때, \(P(X = 0)\)의 값은?

집합 \(X = \{1, 2, 3, 4\}\)에 대하여 \(f : X \rightarrow X\)인 모든 함수 \(f\) 중에서 임의로 하나를 선택하는 시행을 한다. 이 시행에서 선택한 함수 \(f\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(4)\)가 짝수일 확률은? \(a \in X\), \(b \in X\)에 대하여 \(a\)가 \(b\)의 약수이면 \(f(a)\)는 \(f(b)\)의 약수이다.

수직선의 원점에 점 A가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 이하이면 점 A를 양의 방향으로 만큼 이동시키고, 이상이면 점 A를 음의 방향으로 만큼 이동시킨다. 이 시행을 번 반복하여 이동된 점 A의 위치가 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 라 하자. \(\times\)의 값을 구하시오.

흰 공 개와 검은 공 개를 세 명의 학생 A, B, C에게 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않고, 공을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) <보기> (가) 학생 A가 받는 공의 개수는 이상 이하이다. (나) 학생 B가 받는 공의 개수는 이상이다.