시각 \(t = 0\)일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)가 있다. 실수 \(k\)에 대하여 시각이 \(t\) \((t \geq 0)\)일 때 점 \(P\)의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = t^2 - k t + 4\)이다. <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(k = 0\)이면, 시각 \(t = 1\)일 때 점 \(P\)의 위치는 \(\dfrac{13}{3}\)이다. ㄴ. \(k = 3\)이면, 출발한 후 점 \(P\)의 운동 방향이 한 번 바뀐다.

수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. · \(a_1 = 7\) · 2 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k = \dfrac{2}{3} a_n + \dfrac{1}{6} n^2 - \dfrac{1}{6} n + 10\)이다. 다음은 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} a_k + \displaystyle\sum_{k=1}^{5} a_{2k+1}\)의 값을 구하는 과정이다. 2 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} a_k - \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\)이므로 \(a_{n+1} = \dfrac{2}{3} (a_{n+1} - a_n) + (가)\)이고, 이 식을 정리하면 \(2 a_n + a_{n+1} = 3 \times (가)\) ··· ㉠ 이다. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k = \dfrac{2}{3} a_n + \dfrac{1}{6} n^2 - \dfrac{1}{6} n + 10\) \((n \geq 2)\)에서 양변에 \(n = 2\)를 대입하면 \(a_2 = (나)\)이다. ㉠과 ㉡에 의하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} a_k + \displaystyle\sum_{k=1}^{5} a_{2k+1} = a_1 + a_2 + \displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2 a_{2k+1} + a_{2k+2}) = (다)\)이다.

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} -f(x) \text{ (}x < t\text{)} \\ f(x) \text{ (}x \geq t\text{)} \end{cases}\)는 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow a+} \dfrac{g(x)}{x(x-2)}\)의 값이 존재한다. (나) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow m+} \dfrac{g(x)}{x(x-2)}\)의 값이 음수가 되도록 하는 자연수 \(m\)의 집합은 \(\{g(-1), -\dfrac{7}{2} g(1)\}\)이다.