KMO 중등부 2차 2017 (제31회)

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(n\)과 음이 아닌 정수 \(a_1, \ldots, a_n\)을 모두 구하여라. 각 \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(a_1, \ldots, a_n\) 중 \(i\)의 배수는 정확히 \(a_i\)개 있다. 단, \(0\)은 모든 정수의 배수이다.

이등변 삼각형이 아닌 삼각형 \(ABC\)의 내접원이 변 \(BC\), \(CA\), \(AB\)와 만나는 점을 각각 \(D\), \(E\), \(F\)라 하자. 변 \(BC\)의 수직이등분선이 삼각형 \(ABC\)의 외접원과 만나는 두 점 중 직선 \(BC\)에 대하여 점 \(A\)와 같은 쪽에 있는 점을 \(P\), 다른 쪽에 있는 점을 \(Q\)라 하자. 점 \(D\)를 지나고 직선 \(AQ\)와 평행한 직선이 직선 \(EF\)와 만나는 점을 \(R\), 직선 \(PQ\)와 만나는 점을 \(T\)라 하자. 네 점 \(B\), \(R\), \(C\), \(T\)가 한 원 위에 있음을 보여라.

다음 세 조건을 모두 만족하는 \(1\)보다 큰 정수 \(n\)과 정수 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)을 모두 구하여라. (i) \(2 < a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n\) (ii) \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)은 모두 \(15^{25}+1\)의 약수이다. (iii) \(2 - \dfrac{2}{15^{25}+1} = \left(1 - \dfrac{2}{a_1}\right) + \left(1 - \dfrac{2}{a_2}\right) + \cdots + \left(1 - \dfrac{2}{a_n}\right)\)

양의 실수 \(a \ge b \ge c \ge d > 0\)에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라. \( \dfrac{b^3}{a} + \dfrac{c^3}{b} + \dfrac{d^3}{c} + \dfrac{a^3}{d} + 3(ab + bc + cd + da) \ge 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \)

양의 정수 \(n \ge 2\)이 주어졌을 때, 다음 조건을 만족하는 정수 \(a\), \(b\)가 존재함을 보여라. 모든 정수 \(m\)에 대하여 \(m^3 + am + b\)는 \(n\)의 배수가 아니다.

이등변삼각형이 아닌 예각삼각형 \(ABC\)의 변 \(BC\), \(CA\), \(AB\)의 중점을 각각 \(D\), \(E\), \(F\)라 하자. 세 점 \(D\), \(E\), \(F\)를 지나는 원을 \(O_1\)이라 하고, 그 중심을 \(N\)이라 하자. 삼각형 \(BCN\)의 외접원을 \(O_2\)라 하고, 원 \(O_1\)과 \(O_2\)의 두 교점을 \(P\), \(Q\)라 하자. 원 \(O_2\)가 직선 \(AB\)와 점 \(K\) (\(\ne B\))에서 만나고 직선 \(AC\)와 점 \(L\) (\(\ne C\))에서 만난다. 세 직선 \(EF\), \(PQ\), \(KL\)이 한 점에서 만남을 보여라.

다음을 만족하는 함수 \(f: \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}\)이 존재하지 않음을 보여라. 음이 아닌 모든 실수 \(x\), \(y\)에 대하여 \(f(x + y^2) \ge f(x) + y\) (단, \(\mathbb{R}_{\ge 0}\)은 음이 아닌 실수 전체의 집합이며, \(\mathbb{R}\)은 실수 전체의 집합이다.)

양의 정수 \(n\)에 대하여, 총 \(n\)명의 학생이 있는 학교가 있다. 이 학교 학생들로 이루어진 집합 \(X\)에 대하여, \(X\)에 속한 임의의 서로 다른 두 학생이 서로 아는 사이이면 그 집합 \(X\)를 잘 짜인 집합이라 부르자. 잘 짜인 집합의 학생 수의 최댓값이 \(k\)이면, 이 학교에서 만들 수 있는 잘 짜인 집합의 개수는 \(3^{(n+k)/3}\) 이하임을 보여라. 단, 공집합이나 학생 \(1\)명의 집합 역시 잘 짜인 집합이다.