KMO 중등부 1차 2016

다음 두 조건을 모두 만족하도록 좌표 평면의 제1 사분면에 있는 각 정수격자점에 수를 하나씩 쓸 때, \((2016, 1050)\)의 위치에 쓰는 수를 구하여라. (단, 정수 격자점은 \(x\)좌표와 \(y\)좌표가 모두 정수인 점) (i) 점 \((x, x)\)의 위치에는 \(x\)를 쓴다. (ii) 점 \((x, y)\), \((y, x)\), \((x, x+y)\)에는 모두 같은 수를 쓴다.

열 개의 수 \(0, 1, 2, \ldots, 9\) 중 다섯 개를 사용하여 5자리 수 \(A\)를 만들고, 나머지 다섯 개를 사용하여 5자리 수 \(B\)를 만든다고 하자. \(|A - B|\)가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 것을 구하여라.

2부터 9까지의 정수 중 서로 다른 여섯 개를 선택하여 만들 수 있는 6자리 수 중 99의 배수인 것의 개수를 구하여라.

원 \(O\)에 내접하는 사각형 \(ABCD\)가 다음 조건을 모두 만족한다. \( overline{BC} = overline{CD}, \quad overline{AB} = overline{AC}, \quad \\angle BCD = 120^{\circ} \) 점 \(A\)에서 \(BD\)에 내린 수선의 발을 \(E\)라 하면, \(DE = 6\sqrt{3} - 6\)이다. 원 \(O\)의 반지름의 길이를 구하여라.

다음 식을 만족하는 양의 정수의 순서쌍 \((x, y)\)의 개수를 구하여라. \( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{2016} \)

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(n\)의 개수를 구하여라. \(n\)은 \(k\)자리 수이고, \(n\)의 각 자리의 수의 합이 \(12(k-1)\)이다.

다음 두 조건을 모두 만족하는 정수의 순서쌍 \((a_1, a_2, a_3, a_4)\)의 개수를 구하여라. (i) \(0 < a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < 11\) (ii) \(a_{k+1} - a_k \leq 3\) \((k = 1, 2, 3)\)

삼각형 \(ABC\)에서 \(AB = AC\)이고 \(\\angle ABC > \\angle CAB\)이다. 점 \(B\)에서 삼각형 \(ABC\)의 외접원에 접하는 직선이 직선 \(AC\)와 점 \(D\)에서 만난다. 선분 \(AC\) 위의 점 \(E\)는 \(\\angle DBC = \\angle CBE\)를 만족하는 점이다. \(BE = 40\), \(CD = 50\)일 때, \(AE\)의 값을 구하여라.

양의 정수 \(k\)에 대하여 \( a_k = (1 + \sqrt{k})(1 + \sqrt{k+1})(\sqrt{k} + \sqrt{k+1}) \) 라 하자. 양의 정수 \(m\), \(n\)이 \( 10\left(\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \ldots + \dfrac{1}{a_{10}}\right) = m - \sqrt{n} \) 을 만족할 때 \(m + n\)의 값을 구하여라.

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(m\) 중 가장 큰 것을 구하여라. \(m^2 = p^n + 3600\)인 소수 \(p\)와 양의 정수 \(n\)이 존재한다.

좌표평면에서 \((-3, 3)\), \((3, 3)\), \((3, -3)\), \((-3, -3)\)를 꼭짓점으로 하는 정사각형의 내부 또는 변 위에 있고 \(x\)좌표, \(y\)좌표가 모두 정수인 49개의 점을 생각하자. 이 중 3개의 점을 꼭짓점으로 하는 모든 삼각형 중에서 무게중심이 원점인 것의 개수를 구하여라.

출제취소

다음 식의 값이 정수의 세제곱이 되도록 하는 가장 작은 양의 정수 \(n\)을 구하여라. \( 6n^2 - 192n + 1538 \)

양의 정수 \(n\)을 100으로 나눈 몫을 \(q\), 나머지를 \(r\)이라 하자. \(q^2 + r + 1\)을 74로 나눈 몫이 \(r + 1\)이고 나머지는 \(q\)일 때, \(n\)을 1000으로 나눈 나머지를 구하여라.

다음 세 조건을 모두 만족하는 정수의 순서쌍 \((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6)\)의 개수를 구하여라. (i) \(4 \leq a_1 \leq 6\)이고, \(1 \leq a_k \leq 6\) \((k = 2, 3, 4, 5, 6)\) (ii) \(a_1, a_2, \ldots, a_6\)이 모두 다르다. (iii) \(a_1 > a_2\), \(a_2 < a_3\), \(a_3 > a_4\), \(a_4 < a_5\), \(a_5 > a_6\)

삼각형 \(ABC\)는 각 \(A\)의 크기가 \(50^{\circ}\)이고 \(AB = AC\)인 이등변삼각형이다. 변 \(BC\)의 중점 \(D\)에서 변 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(E\), 점 \(A\)와 선분 \(DE\)의 중점을 지나는 직선이 변 \(BC\)와 만나는 점을 \(F\), 선분 \(CE\)와 \(AD\)의 교점을 \(G\)라 하자. \(\\angle FGD = x^{\circ}\)일 때, \(x\)의 값을 구하여라.

2016보다 작은 양의 정수 \(n\) 중에서 \( \dfrac{(2016 - n)! \times (n!)^2}{6^n} \) 의 값을 가장 작게 만드는 \(n\)을 구하여라. (단, \(n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n\))

양의 정수 \(n\)이 \( [\dfrac{n}{10}] + [\dfrac{n}{100}] + [\dfrac{n}{1000}] + [\dfrac{n}{10000}] = 2016 \) 을 만족하고 \(n\)의 각 자리의 수의 합이 20일 때, \(n\)을 1000으로 나눈 나머지를 구하여라. (단, \([x]\)는 \(x\)를 넘지 않는 가장 큰 정수)

25개의 수 \( 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \ldots, \dfrac{1}{25} \) 중 짝수개(2개 이상)의 서로 다른 수를 선택하는 경우의 수를 \(N\)이라 하자. 각 경우마다 선택한 수를 모두 곱한다. 이렇게 하여 얻은 \(N\)개의 수를 모두 더한 값을 구하여라.

삼각형 \(ABC\)의 꼭짓점 \(A\)에서 변 \(BC\)에 내린 수선의 발을 \(D\), 변 \(BC\)의 중점을 \(M\)이라 하자. \(MD = 30\)이고 \(\\angle BAM = \\angle CAD = 15^{\circ}\)일 때, 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 구하여라. (단, \(\\angle A > 30^{\circ}\))