KMO 중등부 1차 2014

숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6이 하나씩 적혀 있는 카드 여섯 장이 있다. 이 중 다섯 장의 카드를 나열하여 만들 수 있는 다섯 자리 수 중 6의 배수의 개수를 구하여라.

소수 \(p\)와 정수 \(x, y\)가 \(4xy = p(p + 2x + 2y)\)를 만족할 때, \(p^2 + x^2 + y^2\)의 값이 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라.

실수 \(a, b, c\)가 다음 부등식을 만족할 때, \(\dfrac{1}{abc}\)의 값을 구하여라. \( a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} + b^{2}c^{2} + 1 \le 2(abc + b + c) \)

각 \(C\)가 \(90^\circ\)인 직각삼각형 \(ABC\)가 있다. 변 \(AB\) 위의 점 \(M\)을 중심으로 하고 두 변 \(AC, BC\)와 모두 접하는 원의 반지름이 12이다. 변 \(AB\)의 \(B\) 쪽으로의 연장선 위의 점 \(N\)을 중심으로 하고 점 \(B\)를 지나며 직선 \(AC\)와 접하는 원이 직선 \(AB\)와 만나는 점을 \(D\) (\(\neq B\))라 하자. \(AM = 15\)일 때, 선분 \(BD\)의 길이를 구하여라.

집합 \(\{1, 2, 3, \ldots, 7\}\)의 부분집합 중에서 연속한 4개의 수를 포함한 것의 개수를 구하여라.

양의 정수 \(a, b, c\)가 \(a + b + c + 9 = ab + bc + ca\)를 만족할 때, \(abc\)의 값이 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라.

다음 등식을 만족하는 정수의 순서쌍 \((a, b, c)\)의 개수를 구하여라. \( (a^{2} + b^{4} + c^{6})(a^{4} + b^{6} + c^{2})(a^{6} + b^{2} + c^{4}) = 27a^{4}b^{4}c^{4} \)

볼록사각형 \(ABCD\)가 \(AB = 15\), \(BC = 16\), \(CD = 17\), \(DA = 18\)을 만족한다. 삼각형 \(ABC\), \(BCD\), \(CDA\), \(DAB\)의 무게중심을 각각 \(I, J, K, L\)이라 할 때, 사각형 \(IJKL\)의 둘레의 길이를 구하여라.

삼각형 \(ABC\)의 각 \(B\)는 둔각이고 \(BC = 90\)이다. 변 \(AC\)의 중점을 \(M\)이라 할 때, 선분 \(BM\)을 지름으로 하는 원이 직선 \(AB\), \(BC\)와 각각 점 \(K\) (\(\neq B\)), \(L\) (\(\neq B\))에서 만난다. \(BL = 30\), \(ML = 20\)일 때, 선분 \(AK\)의 길이를 구하여라. (단, \(L\)은 선분 \(BC\) 위에 있다.)

평면 위에 평행한 서로 다른 10개의 직선이 주어져 있다. 10개의 직선을 더 그려서 만들 수 있는 삼각형의 최대 개수를 구하여라. (예를 들어, 아래 그림에서 삼각형의 갯수는 3이다.)

다음 정수를 107로 나눈 나머지를 구하여라. \( 106! \times \left(\dfrac{1}{3 \times 104} + \dfrac{1}{4 \times 103} + \dfrac{1}{5 \times 102} + \cdots + \dfrac{1}{102 \times 5} + \dfrac{1}{103 \times 4} + \dfrac{1}{104 \times 3}\right) \) (단, \(106! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 106\))

총 합이 80인 10개의 실수 \(a_1, a_2, \ldots, a_{10}\) 중 5보다 큰 수들의 합이 60일 때 \( a_1 + 2a_2 + \cdots + 10a_{10} \) 의 최댓값과 최솟값의 차를 구하여라.

내심이 \(I\)인 삼각형 \(ABC\)의 내접원이 변 \(BC\), \(AC\)와 접하는 점을 각각 \(D\), \(E\)라 하고, 삼각형 \(IBC\)와 \(IAC\)의 외심을 각각 \(U\), \(V\)라 하자. 점 \(D\)가 선분 \(UV\) 위에 있고 선분 \(BV\)와 변 \(AC\)가 점 \(K\)에서 만난다. \(BD = 32\), \(KE = 18\)일 때, 삼각형 \(ABC\)의 내접원의 반지름을 구하여라.

갑과 을이 게임을 반복해서 한다. 어느 한 사람의 이긴 횟수가 진 횟수보다 3만큼 크면 그 사람이 우승하고 더 이상 게임을 하지 않는다. 예를 들어 을이 4승 2패인 상태에서 을이 다음 게임을 이기면 을이 우승한다. 0승 0패에서 게임을 시작하여 7승 4패로 을이 우승하는 경우의 수를 구하여라. 단, 각 게임에서 비기는 경우는 없다.

양의 정수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(2m^{2} + mn + 3n^{2}\)이 1017의 배수일 때, \(m + n\)의 값이 될 수 있는 수 중 가장 작은 것을 구하여라.

실수 \(x\), \(y\), \(z\)가 \(0 \le x, y, z \le 30\)을 만족할 때, \( xy - 3y^2 - xz + 5yz - 2z^2 \) 의 값이 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라.

정수 \((m+4 \times 41)(m^{2}+4^{2} \times 41^{2})\)이 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 양의 홀수 \(m\) 중 가장 작은 것을 구하여라.

실수 \(a, b, c\)가 \(a + b + c = 0\), \(abc \neq 0\)을 만족할 때, \( -8abc\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right)^3 \) 의 값이 될 수 있는 수 중 가장 작은 것을 구하여라.

숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6으로 만들 수 있는 7자리 양의 정수 중 \(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\)에 대해 왼쪽에서 \(i\)번째 자리의 숫자는 \(i + 1\) 이하이면서, 숫자 1은 항상 짝수 개씩 연이어 나타나는 것의 개수를 구하여라. 예를 들어 2323232, 2111133, 1111211은 세지만, 6543222, 2111113, 1113114는 세지 않는다.

삼각형 \(ABC\)에서 변 \(BC\)의 점 \(B\) 쪽으로의 연장선 위에 점 \(D\)를 \(AB = BD\)가 되도록 잡자. 각 \(C\)의 외각의 이등분선이 직선 \(AD\)와 점 \(K\)에서 만나고, \(AK = AB + BC + CA\)이다. 변 \(AC\)의 점 \(C\) 쪽으로의 연장선 위에 점 \(E\)를 \(BC = CE\)가 되도록 잡자. 직선 \(AD\)와 삼각형 \(ABC\)의 외접원의 교점을 \(L\)(\(\neq A\))이라 할 때, 세 점 \(B\), \(E\), \(L\)이 일직선 위에 있다. \(\\angle CAB = x^\circ\) \((0 < x < 180)\)라 할 때, \(x\)를 넘지 않는 가장 큰 정수를 구하여라.