오답 노트

KMO 중등부 2차 2016 (제30회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-28 3번 틀림 미응답

양의 실수 \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\)이 다음 두 조건을 모두 만족한다. (i) 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = a_1^2 \times a_2^2 \times \cdots \times a_n^2 - 3\) (ii) \(\dfrac{1}{2}(a_1 + \sqrt{a_2 - 1})\)은 양의 정수 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(\dfrac{1}{2}(a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n + \sqrt{a_{n+1} - 1})\)은 양의 정수임을 보여라.

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KMO 중등부 2차 2016 (제30회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-28 3번 틀림 미응답

이등변삼각형이 아닌 삼각형 \(ABC\)의 내접원이 변 \(BC\), \(CA\), \(AB\)와 접하는 점을 각각 \(D\), \(E\), \(F\)라 하고, 내심을 \(I\)라 하자. 직선 \(AD\)와 내접원의 교점을 \(G\) (\(\neq D\))라 하고, 점 \(G\)에서의 내접원의 접선이 변 \(AC\)와 만나는 점을 \(H\)라 하고, 직선 \(IH\)와 \(AD\)의 교점을 \(K\)라 하자. 점 \(I\)에서 직선 \(AD\)에 내린 수선의 발을 \(L\)이라 할 때, \(overline{IE} \cdot overline{IK} = overline{IC} \cdot overline{IL}\)임을 보여라.

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KMO 중등부 2차 2016 (제30회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-28 3번 틀림 미응답

총 \(n\)명의 선수가 참가한 대회에서, 각각의 선수가 다른 모든 선수와 정확히 한 번씩 경기를 하여 무승부없이 승패를 결정하였다. 어떤 \(k\) (\(\leq n\))명의 선수에 대하여 각 선수가 자기보다 뒤쪽에 있는 모든 선수에게 이긴 경우가 되도록 한 줄에 세울 수 있으면 그 \(k\)명의 선수의 집합을 서열이 정해진 집합이라고 부르자. 대회에 참가한 각 선수에 대하여 그 선수에게 진 선수들의 집합이 모두 서열이 정해진 집합이라 하자. 이때, 선수 전체의 집합을 서열이 정해진 집합 3개 이하로 나눌 수 있음을 보여라.

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KMO 중등부 2차 2016 (제30회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-28 3번 틀림 미응답

다음 식의 값이 정수가 되는 모든 양의 정수 \(n\)을 구하여라. \( \dfrac{n(n+2016)(n+2 \cdot 2016)(n+3 \cdot 2016) \cdots (n+2015 \cdot 2016)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 2016} \)

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KMO 중등부 2차 2016 (제30회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-28 3번 틀림 미응답

양의 정수 \(n\)에 대하여, 다음 식을 \(n\)에 대한 다항식으로 표현할 수 있음을 보여라. \( [\sqrt[2]{1}] + [\sqrt[2]{2}] + [\sqrt[2]{3}] + \cdots + [\sqrt[2]{n^2}] \) (단, 실수 \(x\)에 대하여 \([x]\)는 \(x\)를 넘지 않는 최대 정수)

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KMO 중등부 2차 2016 (제30회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-28 3번 틀림 미응답

원 \(O_1\)이 삼각형 \(ABC\)의 변 \(AC\), \(BC\)와 각각 점 \(D\), \(E\)에서 접하고, 원 \(O_1\)을 포함하는 원 \(O_2\)가 변 \(BC\), \(AB\)와 각각 점 \(E\), \(F\)에서 접한다. 직선 \(DE\)와 원 \(O_2\)의 교점 \(P\) (\(\neq E\))에서의 원 \(O_2\)의 접선이 직선 \(AB\)와 만나는 점을 \(Q\)라 하자. 점 \(O_1\)을 지나고 직선 \(BO_2\)와 평행한 직선이 직선 \(BC\)와 만나는 점을 \(G\), 직선 \(EQ\)와 \(AC\)의 교점을 \(K\), 직선 \(KG\)와 \(EF\)의 교점을 \(L\), 직선 \(EO_2\)와 원 \(O_2\)의 교점을 \(N\) (\(\neq E\)), 직선 \(LO_2\)와 \(FN\)의 교점을 \(M\)이라 하자. 점 \(N\)이 선분 \(FM\)의 중점일 때, \(overline{BG} = 2overline{EG}\)임을 보여라.

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KMO 중등부 2차 2016 (제30회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-28 3번 틀림 미응답

양의 정수 \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\), \(a_9\)가 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_9 = 90\)을 만족할 때, 다음 식의 최댓값을 구하여라. \( \dfrac{1^{a_1} 2^{a_2} \cdots 9^{a_9}}{a_1! a_2! \cdots a_9!} \) (단, \(n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n\))

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KMO 중등부 2차 2016 (제30회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-28 3번 틀림 미응답

좌표평면에서 한 움직이는 점이 오른쪽 또는 위로 1씩 움직일 수 있다고 할 때, 이 점이 좌표 \((0,0)\)에서 출발하여 \((1,0)\), \((2,1)\), \(\cdots\), \((n, n-1)\) 어느 점도 거치지 않고 \(2n\)번 움직여서 좌표 \((n,n)\)에 이르는 모든 경로의 수를 \(N\)이라 하자. 이러한 \(N\)개의 경로 중 \(k\)번째에는 오른쪽으로 움직이고 \(k+1\)번째에는 위로 움직인 경로의 수를 \(a_k\)라 할 때 \( \dfrac{1}{N}(a_1 + a_2 + \cdots + a_{2n-1}) \) 의 값을 구하여라.

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6이 하나씩 적혀 있는 카드 여섯 장이 있다. 이 중 다섯 장의 카드를 나열하여 만들 수 있는 다섯 자리 수 중 6의 배수의 개수를 구하여라.

정답: 120

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

소수 \(p\)와 정수 \(x, y\)가 \(4xy = p(p + 2x + 2y)\)를 만족할 때, \(p^2 + x^2 + y^2\)의 값이 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라.

정답: 017

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

실수 \(a, b, c\)가 다음 부등식을 만족할 때, \(\dfrac{1}{abc}\)의 값을 구하여라. \( a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} + b^{2}c^{2} + 1 \le 2(abc + b + c) \)

정답: 016

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

각 \(C\)가 \(90^\circ\)인 직각삼각형 \(ABC\)가 있다. 변 \(AB\) 위의 점 \(M\)을 중심으로 하고 두 변 \(AC, BC\)와 모두 접하는 원의 반지름이 12이다. 변 \(AB\)의 \(B\) 쪽으로의 연장선 위의 점 \(N\)을 중심으로 하고 점 \(B\)를 지나며 직선 \(AC\)와 접하는 원이 직선 \(AB\)와 만나는 점을 \(D\) (\(\neq B\))라 하자. \(AM = 15\)일 때, 선분 \(BD\)의 길이를 구하여라.

정답: 280

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

집합 \(\{1, 2, 3, \ldots, 7\}\)의 부분집합 중에서 연속한 4개의 수를 포함한 것의 개수를 구하여라.

정답: 020

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

양의 정수 \(a, b, c\)가 \(a + b + c + 9 = ab + bc + ca\)를 만족할 때, \(abc\)의 값이 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라.

정답: 012

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

다음 등식을 만족하는 정수의 순서쌍 \((a, b, c)\)의 개수를 구하여라. \( (a^{2} + b^{4} + c^{6})(a^{4} + b^{6} + c^{2})(a^{6} + b^{2} + c^{4}) = 27a^{4}b^{4}c^{4} \)

정답: 009

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

볼록사각형 \(ABCD\)가 \(AB = 15\), \(BC = 16\), \(CD = 17\), \(DA = 18\)을 만족한다. 삼각형 \(ABC\), \(BCD\), \(CDA\), \(DAB\)의 무게중심을 각각 \(I, J, K, L\)이라 할 때, 사각형 \(IJKL\)의 둘레의 길이를 구하여라.

정답: 022

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

삼각형 \(ABC\)의 각 \(B\)는 둔각이고 \(BC = 90\)이다. 변 \(AC\)의 중점을 \(M\)이라 할 때, 선분 \(BM\)을 지름으로 하는 원이 직선 \(AB\), \(BC\)와 각각 점 \(K\) (\(\neq B\)), \(L\) (\(\neq B\))에서 만난다. \(BL = 30\), \(ML = 20\)일 때, 선분 \(AK\)의 길이를 구하여라. (단, \(L\)은 선분 \(BC\) 위에 있다.)

정답: 052

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

평면 위에 평행한 서로 다른 10개의 직선이 주어져 있다. 10개의 직선을 더 그려서 만들 수 있는 삼각형의 최대 개수를 구하여라. (예를 들어, 아래 그림에서 삼각형의 갯수는 3이다.)

정답: 570

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

다음 정수를 107로 나눈 나머지를 구하여라. \( 106! \times \left(\dfrac{1}{3 \times 104} + \dfrac{1}{4 \times 103} + \dfrac{1}{5 \times 102} + \cdots + \dfrac{1}{102 \times 5} + \dfrac{1}{103 \times 4} + \dfrac{1}{104 \times 3}\right) \) (단, \(106! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 106\))

정답: 051

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

총 합이 80인 10개의 실수 \(a_1, a_2, \ldots, a_{10}\) 중 5보다 큰 수들의 합이 60일 때 \( a_1 + 2a_2 + \cdots + 10a_{10} \) 의 최댓값과 최솟값의 차를 구하여라.

정답: 720

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

내심이 \(I\)인 삼각형 \(ABC\)의 내접원이 변 \(BC\), \(AC\)와 접하는 점을 각각 \(D\), \(E\)라 하고, 삼각형 \(IBC\)와 \(IAC\)의 외심을 각각 \(U\), \(V\)라 하자. 점 \(D\)가 선분 \(UV\) 위에 있고 선분 \(BV\)와 변 \(AC\)가 점 \(K\)에서 만난다. \(BD = 32\), \(KE = 18\)일 때, 삼각형 \(ABC\)의 내접원의 반지름을 구하여라.

정답: 024

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

갑과 을이 게임을 반복해서 한다. 어느 한 사람의 이긴 횟수가 진 횟수보다 3만큼 크면 그 사람이 우승하고 더 이상 게임을 하지 않는다. 예를 들어 을이 4승 2패인 상태에서 을이 다음 게임을 이기면 을이 우승한다. 0승 0패에서 게임을 시작하여 7승 4패로 을이 우승하는 경우의 수를 구하여라. 단, 각 게임에서 비기는 경우는 없다.

정답: 081

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

양의 정수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(2m^{2} + mn + 3n^{2}\)이 1017의 배수일 때, \(m + n\)의 값이 될 수 있는 수 중 가장 작은 것을 구하여라.

정답: 565

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

실수 \(x\), \(y\), \(z\)가 \(0 \le x, y, z \le 30\)을 만족할 때, \( xy - 3y^2 - xz + 5yz - 2z^2 \) 의 값이 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라.

정답: 075

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

정수 \((m+4 \times 41)(m^{2}+4^{2} \times 41^{2})\)이 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 양의 홀수 \(m\) 중 가장 작은 것을 구하여라.

정답: 205

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

실수 \(a, b, c\)가 \(a + b + c = 0\), \(abc \neq 0\)을 만족할 때, \( -8abc\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right)^3 \) 의 값이 될 수 있는 수 중 가장 작은 것을 구하여라.

정답: 054

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6으로 만들 수 있는 7자리 양의 정수 중 \(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\)에 대해 왼쪽에서 \(i\)번째 자리의 숫자는 \(i + 1\) 이하이면서, 숫자 1은 항상 짝수 개씩 연이어 나타나는 것의 개수를 구하여라. 예를 들어 2323232, 2111133, 1111211은 세지만, 6543222, 2111113, 1113114는 세지 않는다.

정답: 065

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KMO 중등부 1차 2014 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-28 미응답

삼각형 \(ABC\)에서 변 \(BC\)의 점 \(B\) 쪽으로의 연장선 위에 점 \(D\)를 \(AB = BD\)가 되도록 잡자. 각 \(C\)의 외각의 이등분선이 직선 \(AD\)와 점 \(K\)에서 만나고, \(AK = AB + BC + CA\)이다. 변 \(AC\)의 점 \(C\) 쪽으로의 연장선 위에 점 \(E\)를 \(BC = CE\)가 되도록 잡자. 직선 \(AD\)와 삼각형 \(ABC\)의 외접원의 교점을 \(L\)(\(\neq A\))이라 할 때, 세 점 \(B\), \(E\), \(L\)이 일직선 위에 있다. \(\\angle CAB = x^\circ\) \((0 < x < 180)\)라 할 때, \(x\)를 넘지 않는 가장 큰 정수를 구하여라.

정답: 025

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2021년 7월 고3 학력평가 (확률과 통계) 고3수학 모의고사 2026-07-28 3번 틀림 미응답

두 사건 \(A\)와 \(B\)는 서로 배반사건이고 \(P(A) = \dfrac{1}{12}\), \(P(A \cup B) = \dfrac{11}{12}\)일 때, \(P(B)\)의 값은?

정답:

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2021년 7월 고3 학력평가 (확률과 통계) 고3수학 모의고사 2026-07-28 3번 틀림 미응답

다항식 \((2x+1)^7\)의 전개식에서 \(x^2\)의 계수는?

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2021년 7월 고3 학력평가 (확률과 통계) 고3수학 모의고사 2026-07-28 3번 틀림 미응답

확률변수 \(X\)의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

\(X\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	합계
\(P(X=x)\)	\(a\)	\(\dfrac{1}{2}a\)	\(\dfrac{3}{2}a\)	\(1\)

\(E(X)\)의 값은?

정답:

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2021년 7월 고3 학력평가 (확률과 통계) 고3수학 모의고사 2026-07-28 3번 틀림 미응답

한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 \(a\), \(b\), \(c\)라 할 때, \((a-2)^2 + (b-3)^2 + (c-4)^2 = 2\)가 성립할 확률은?

정답:

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2021년 7월 고3 학력평가 (확률과 통계) 고3수학 모의고사 2026-07-28 3번 틀림 미응답

3개의 문자 A, B, C를 포함한 서로 다른 6개의 문자를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 두 문자 B와 C 사이에 문자 A를 포함하여 1개 이상의 문자가 있도록 나열하는 경우의 수는?

정답:

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2021년 7월 고3 학력평가 (확률과 통계) 고3수학 모의고사 2026-07-28 3번 틀림 미응답

확률변수 \(X\)는 정규분포 \(N(m, 2^2)\), 확률변수 \(Y\)는 정규분포 \(N(m, \sigma^2)\)을 따른다. 상수 \(a\)에 대하여 두 확률변수 \(X\), \(Y\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(Y = 3X - a\) (나) \(P(X \leq 4) = P(Y \geq a)\) \(P(Y \geq 9)\)의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

정답:

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2021년 7월 고3 학력평가 (확률과 통계) 고3수학 모의고사 2026-07-28 3번 틀림 미응답

1, 2, 3, 4, 5의 숫자가 하나씩 적힌 카드가 각각 1장, 2장, 3장, 4장, 5장이 있다. 이 15장의 카드 중에서 임의로 2장의 카드를 동시에 선택하는 시행을 한다. 이 시행에서 선택한 2장의 카드에 적힌 두 수의 곱의 모든 양의 약수의 개수가 3 이하일 때, 그 두 수의 합이 짝수일 확률은 \(\dfrac{q}{p}\)이다. \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

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2021년 7월 고3 학력평가 (확률과 통계) 고3수학 모의고사 2026-07-28 3번 틀림 미응답

네 명의 학생 A, B, C, D에게 검은 공 4개, 흰 공 5개, 빨간 공 5개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) (가) 각 학생이 받는 공의 색의 종류의 수는 2이다. (나) 학생 A는 흰 공과 검은 공을 받으며 흰 공보다 검은 공을 더 많이 받는다. (다) 학생 A가 받는 공의 개수는 홀수이며 학생 A가 받는 공의 개수 이상의 공을 받는 학생은 없다.

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2023년 7월 고3 학력평가 (미적분) 고3수학 모의고사 2026-07-28 4번 틀림 미응답

\(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} 2n(\sqrt{n^2+4} - \sqrt{n^2+1})\)의 값은?

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2023년 7월 고3 학력평가 (미적분) 고3수학 모의고사 2026-07-28 4번 틀림 미응답

함수 \(f(x) = \ln(x^2 - x + 2)\)와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 있다. 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 \(h(x)\)를 \(h(x) = f(g(x))\)라 하자. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{g(x)-4}{x-2} = 12\)일 때, \(h'(2)\)의 값은?

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2023년 7월 고3 학력평가 (미적분) 고3수학 모의고사 2026-07-28 4번 틀림 미응답

곡선 \(2e^{x+y-1} = 3e^x + x - y\) 위의 점 \((0, 1)\)에서의 접선의 기울기는?

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2023년 7월 고3 학력평가 (미적분) 고3수학 모의고사 2026-07-28 4번 틀림 미응답

함수 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 \(\displaystyle\int_{1}^{2} (x-1) f'\left(\dfrac{x}{2}\right) d x = 2\)를 만족시킨다. \(f(1) = 4\)일 때, \(\displaystyle\int_{\dfrac{1}{2}}^1 f(x) d x\)의 값은?

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2023년 7월 고3 학력평가 (미적분) 고3수학 모의고사 2026-07-28 4번 틀림 미응답

그림과 같이 \(\overline{A B_1} = \overline{A C_1} = \sqrt{17}\), \(\overline{B_1 C_1} = 2\)인 삼각형 \(A B_1 C_1\)이 있다. 선분 \(A B_1\) 위의 점 \(B_2\), 선분 \(A C_1\) 위의 점 \(C_2\), 삼각형 \(A B_1 C_1\)의 내부의 점 \(D_1\)을 \(\overline{B_1 D_1} = \overline{B_2 D_1} = \overline{C_1 D_1} = \overline{C_2 D_1}\), \(\angle B_1 D_1 B_2 = \angle C_1 D_1 C_2 = \dfrac{\pi}{2}\)가 되도록 잡고, 두 삼각형 \(B_1 D_1 B_2\), \(C_1 D_1 C_2\)에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\)이라 하자. 그림 \(R_1\)에서 선분 \(A B_2\) 위의 점 \(B_3\), 선분 \(A C_2\) 위의 점 \(C_3\), 삼각형 \(A B_2 C_2\)의 내부의 점 \(D_2\)를 \(\overline{B_2 D_2} = \overline{B_3 D_2} = \overline{C_2 D_2} = \overline{C_3 D_2}\), \(\angle B_2 D_2 B_3 = \angle C_2 D_2 C_3 = \dfrac{\pi}{2}\)가 되도록 잡고, 두 삼각형 \(B_2 D_2 B_3\), \(C_2 D_2 C_3\)에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\)라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} S_n\)의 값은?

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2023년 7월 고3 학력평가 (미적분) 고3수학 모의고사 2026-07-28 4번 틀림 미응답

그림과 같이 중심이 \(O\)이고 길이가 \(2\)인 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위에 점 \(P\)를 \(\angle P A B = \theta\)가 되도록 잡고, 점 \(P\)를 포함하지 않는 호 \(A B\) 위에 점 \(Q\)를 \(\angle Q A B = 2 \theta\)가 되도록 잡는다. 직선 \(O Q\)가 원과 만나는 점 중 \(Q\)가 아닌 점을 \(R\), 두 선분 \(P A\)와 \(Q R\)가 만나는 점을 \(S\)라 하자. 삼각형 \(B O Q\)의 넓이를 \(f(\theta)\), 삼각형 \(P R S\)의 넓이를 \(g(\theta)\)라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{g(\theta)}{f(\theta)}\)의 값은? (단, \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{6}\))

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2023년 7월 고3 학력평가 (미적분) 고3수학 모의고사 2026-07-28 4번 틀림 미응답

함수 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(x < 1\)일 때, \(f'(x) = -2x + 4\)이다. (나) \(x \geq 0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x^2 + 1) = a e^{2x} + b x\)이다. (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.) \(\displaystyle\int_{0}^{5} f(x) d x = p e^4 - q\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\), \(q\)는 유리수이다.)

정답:

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2023년 7월 고3 학력평가 (미적분) 고3수학 모의고사 2026-07-28 4번 틀림 미응답

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \sin |\pi f(x)|\)라 하자. 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 \(x\)축이 만나는 점의 \(x\)좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, \(n\)번째 수를 \(a_n\)이라 하자. 함수 \(g(x)\)와 자연수 \(m\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)는 \(x = a_4\)와 \(x = a_8\)에서 극대이다. (나) \(f(a_m) = f(0)\) \(f(a_k) \leq f(m)\)을 만족시키는 자연수 \(k\)의 최댓값을 구하시오.

정답:

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KMO 중등부 2차 2017 (제31회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-26 미응답

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(n\)과 음이 아닌 정수 \(a_1, \ldots, a_n\)을 모두 구하여라. 각 \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(a_1, \ldots, a_n\) 중 \(i\)의 배수는 정확히 \(a_i\)개 있다. 단, \(0\)은 모든 정수의 배수이다.

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KMO 중등부 2차 2017 (제31회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-26 미응답

이등변 삼각형이 아닌 삼각형 \(ABC\)의 내접원이 변 \(BC\), \(CA\), \(AB\)와 만나는 점을 각각 \(D\), \(E\), \(F\)라 하자. 변 \(BC\)의 수직이등분선이 삼각형 \(ABC\)의 외접원과 만나는 두 점 중 직선 \(BC\)에 대하여 점 \(A\)와 같은 쪽에 있는 점을 \(P\), 다른 쪽에 있는 점을 \(Q\)라 하자. 점 \(D\)를 지나고 직선 \(AQ\)와 평행한 직선이 직선 \(EF\)와 만나는 점을 \(R\), 직선 \(PQ\)와 만나는 점을 \(T\)라 하자. 네 점 \(B\), \(R\), \(C\), \(T\)가 한 원 위에 있음을 보여라.

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KMO 중등부 2차 2017 (제31회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-26 미응답

다음 세 조건을 모두 만족하는 \(1\)보다 큰 정수 \(n\)과 정수 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)을 모두 구하여라. (i) \(2 < a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n\) (ii) \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)은 모두 \(15^{25}+1\)의 약수이다. (iii) \(2 - \dfrac{2}{15^{25}+1} = \left(1 - \dfrac{2}{a_1}\right) + \left(1 - \dfrac{2}{a_2}\right) + \cdots + \left(1 - \dfrac{2}{a_n}\right)\)

정답:

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KMO 중등부 2차 2017 (제31회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-26 미응답

양의 실수 \(a \ge b \ge c \ge d > 0\)에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라. \( \dfrac{b^3}{a} + \dfrac{c^3}{b} + \dfrac{d^3}{c} + \dfrac{a^3}{d} + 3(ab + bc + cd + da) \ge 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \)

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KMO 중등부 2차 2017 (제31회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-26 미응답

양의 정수 \(n \ge 2\)이 주어졌을 때, 다음 조건을 만족하는 정수 \(a\), \(b\)가 존재함을 보여라. 모든 정수 \(m\)에 대하여 \(m^3 + am + b\)는 \(n\)의 배수가 아니다.

정답:

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KMO 중등부 2차 2017 (제31회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-26 미응답

이등변삼각형이 아닌 예각삼각형 \(ABC\)의 변 \(BC\), \(CA\), \(AB\)의 중점을 각각 \(D\), \(E\), \(F\)라 하자. 세 점 \(D\), \(E\), \(F\)를 지나는 원을 \(O_1\)이라 하고, 그 중심을 \(N\)이라 하자. 삼각형 \(BCN\)의 외접원을 \(O_2\)라 하고, 원 \(O_1\)과 \(O_2\)의 두 교점을 \(P\), \(Q\)라 하자. 원 \(O_2\)가 직선 \(AB\)와 점 \(K\) (\(\ne B\))에서 만나고 직선 \(AC\)와 점 \(L\) (\(\ne C\))에서 만난다. 세 직선 \(EF\), \(PQ\), \(KL\)이 한 점에서 만남을 보여라.

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KMO 중등부 2차 2017 (제31회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-26 미응답

다음을 만족하는 함수 \(f: \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}\)이 존재하지 않음을 보여라. 음이 아닌 모든 실수 \(x\), \(y\)에 대하여 \(f(x + y^2) \ge f(x) + y\) (단, \(\mathbb{R}_{\ge 0}\)은 음이 아닌 실수 전체의 집합이며, \(\mathbb{R}\)은 실수 전체의 집합이다.)

정답:

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KMO 중등부 2차 2017 (제31회) KMO 중등 2차 Olympiad 2026-07-26 미응답

양의 정수 \(n\)에 대하여, 총 \(n\)명의 학생이 있는 학교가 있다. 이 학교 학생들로 이루어진 집합 \(X\)에 대하여, \(X\)에 속한 임의의 서로 다른 두 학생이 서로 아는 사이이면 그 집합 \(X\)를 잘 짜인 집합이라 부르자. 잘 짜인 집합의 학생 수의 최댓값이 \(k\)이면, 이 학교에서 만들 수 있는 잘 짜인 집합의 개수는 \(3^{(n+k)/3}\) 이하임을 보여라. 단, 공집합이나 학생 \(1\)명의 집합 역시 잘 짜인 집합이다.

정답:

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

다음 두 조건을 모두 만족하도록 좌표 평면의 제1 사분면에 있는 각 정수격자점에 수를 하나씩 쓸 때, \((2016, 1050)\)의 위치에 쓰는 수를 구하여라. (단, 정수 격자점은 \(x\)좌표와 \(y\)좌표가 모두 정수인 점) (i) 점 \((x, x)\)의 위치에는 \(x\)를 쓴다. (ii) 점 \((x, y)\), \((y, x)\), \((x, x+y)\)에는 모두 같은 수를 쓴다.

정답: 42

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

열 개의 수 \(0, 1, 2, \ldots, 9\) 중 다섯 개를 사용하여 5자리 수 \(A\)를 만들고, 나머지 다섯 개를 사용하여 5자리 수 \(B\)를 만든다고 하자. \(|A - B|\)가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 것을 구하여라.

정답: 247

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

2부터 9까지의 정수 중 서로 다른 여섯 개를 선택하여 만들 수 있는 6자리 수 중 99의 배수인 것의 개수를 구하여라.

정답: 144

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

원 \(O\)에 내접하는 사각형 \(ABCD\)가 다음 조건을 모두 만족한다. \( overline{BC} = overline{CD}, \quad overline{AB} = overline{AC}, \quad \\angle BCD = 120^{\circ} \) 점 \(A\)에서 \(BD\)에 내린 수선의 발을 \(E\)라 하면, \(DE = 6\sqrt{3} - 6\)이다. 원 \(O\)의 반지름의 길이를 구하여라.

정답: 12

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

다음 식을 만족하는 양의 정수의 순서쌍 \((x, y)\)의 개수를 구하여라. \( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{2016} \)

정답: 72

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(n\)의 개수를 구하여라. \(n\)은 \(k\)자리 수이고, \(n\)의 각 자리의 수의 합이 \(12(k-1)\)이다.

정답: 18

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

다음 두 조건을 모두 만족하는 정수의 순서쌍 \((a_1, a_2, a_3, a_4)\)의 개수를 구하여라. (i) \(0 < a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < 11\) (ii) \(a_{k+1} - a_k \leq 3\) \((k = 1, 2, 3)\)

정답: 108

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

삼각형 \(ABC\)에서 \(AB = AC\)이고 \(\\angle ABC > \\angle CAB\)이다. 점 \(B\)에서 삼각형 \(ABC\)의 외접원에 접하는 직선이 직선 \(AC\)와 점 \(D\)에서 만난다. 선분 \(AC\) 위의 점 \(E\)는 \(\\angle DBC = \\angle CBE\)를 만족하는 점이다. \(BE = 40\), \(CD = 50\)일 때, \(AE\)의 값을 구하여라.

정답: 32

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

양의 정수 \(k\)에 대하여 \( a_k = (1 + \sqrt{k})(1 + \sqrt{k+1})(\sqrt{k} + \sqrt{k+1}) \) 라 하자. 양의 정수 \(m\), \(n\)이 \( 10\left(\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \ldots + \dfrac{1}{a_{10}}\right) = m - \sqrt{n} \) 을 만족할 때 \(m + n\)의 값을 구하여라.

정답: 17

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(m\) 중 가장 큰 것을 구하여라. \(m^2 = p^n + 3600\)인 소수 \(p\)와 양의 정수 \(n\)이 존재한다.

정답: 68

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

좌표평면에서 \((-3, 3)\), \((3, 3)\), \((3, -3)\), \((-3, -3)\)를 꼭짓점으로 하는 정사각형의 내부 또는 변 위에 있고 \(x\)좌표, \(y\)좌표가 모두 정수인 49개의 점을 생각하자. 이 중 3개의 점을 꼭짓점으로 하는 모든 삼각형 중에서 무게중심이 원점인 것의 개수를 구하여라.

정답: 192

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출제취소

정답: 모두 정답 처리

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

다음 식의 값이 정수의 세제곱이 되도록 하는 가장 작은 양의 정수 \(n\)을 구하여라. \( 6n^2 - 192n + 1538 \)

정답: 15

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양의 정수 \(n\)을 100으로 나눈 몫을 \(q\), 나머지를 \(r\)이라 하자. \(q^2 + r + 1\)을 74로 나눈 몫이 \(r + 1\)이고 나머지는 \(q\)일 때, \(n\)을 1000으로 나눈 나머지를 구하여라.

정답: 371

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

다음 세 조건을 모두 만족하는 정수의 순서쌍 \((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6)\)의 개수를 구하여라. (i) \(4 \leq a_1 \leq 6\)이고, \(1 \leq a_k \leq 6\) \((k = 2, 3, 4, 5, 6)\) (ii) \(a_1, a_2, \ldots, a_6\)이 모두 다르다. (iii) \(a_1 > a_2\), \(a_2 < a_3\), \(a_3 > a_4\), \(a_4 < a_5\), \(a_5 > a_6\)

정답: 46

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

삼각형 \(ABC\)는 각 \(A\)의 크기가 \(50^{\circ}\)이고 \(AB = AC\)인 이등변삼각형이다. 변 \(BC\)의 중점 \(D\)에서 변 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(E\), 점 \(A\)와 선분 \(DE\)의 중점을 지나는 직선이 변 \(BC\)와 만나는 점을 \(F\), 선분 \(CE\)와 \(AD\)의 교점을 \(G\)라 하자. \(\\angle FGD = x^{\circ}\)일 때, \(x\)의 값을 구하여라.

정답: 65

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

2016보다 작은 양의 정수 \(n\) 중에서 \( \dfrac{(2016 - n)! \times (n!)^2}{6^n} \) 의 값을 가장 작게 만드는 \(n\)을 구하여라. (단, \(n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n\))

정답: 107

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

양의 정수 \(n\)이 \( [\dfrac{n}{10}] + [\dfrac{n}{100}] + [\dfrac{n}{1000}] + [\dfrac{n}{10000}] = 2016 \) 을 만족하고 \(n\)의 각 자리의 수의 합이 20일 때, \(n\)을 1000으로 나눈 나머지를 구하여라. (단, \([x]\)는 \(x\)를 넘지 않는 가장 큰 정수)

정답: 164

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

25개의 수 \( 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \ldots, \dfrac{1}{25} \) 중 짝수개(2개 이상)의 서로 다른 수를 선택하는 경우의 수를 \(N\)이라 하자. 각 경우마다 선택한 수를 모두 곱한다. 이렇게 하여 얻은 \(N\)개의 수를 모두 더한 값을 구하여라.

정답: 12

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KMO 중등부 1차 2016 KMO 중등 1차 Olympiad 2026-07-26 2번 틀림 미응답

삼각형 \(ABC\)의 꼭짓점 \(A\)에서 변 \(BC\)에 내린 수선의 발을 \(D\), 변 \(BC\)의 중점을 \(M\)이라 하자. \(MD = 30\)이고 \(\\angle BAM = \\angle CAD = 15^{\circ}\)일 때, 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 구하여라. (단, \(\\angle A > 30^{\circ}\))

정답: 600

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