시험 완료
|
2024년 10월 고2 학력평가
0.0%
0/30
문제별 결과
1
모의고사
오답률 100%
오답
\((\sqrt[3]{4})^2 \times 2^{\dfrac{2}{3}}\)의 값은?
1
\(1\)
2
\(2\)
\(4\)
정답
4
\(8\)
5
\(16\)
해설
\((\sqrt[3]{4})^2 \times 2^{\dfrac{2}{3}} = \left(2^{\dfrac{2}{3}}\right)^2 \times 2^{\dfrac{2}{3}} = 2^{\dfrac{4}{3}} \times 2^{\dfrac{2}{3}} = 2^{\dfrac{4}{3} + \dfrac{2}{3}} = 2^2 = 4\)
2
모의고사
오답률 100%
오답
다항함수 \(f(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{f(x)-f(2)}{x^2-4} = 3\)을 만족시킬 때, \(f'(2)\)의 값은?
1
\(8\)
2
\(9\)
3
\(10\)
4
\(11\)
\(12\)
정답
해설
\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4} = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} \times \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{f'(2)}{4} = 3\) 이므로 \(f'(2) = 3 \times 4 = 12\)
3
모의고사
오답률 100%
오답
함수 \(y = \cos \dfrac{\pi}{4} x\)의 주기는?
1
\(2\)
2
\(4\)
3
\(6\)
\(8\)
정답
5
\(10\)
해설
함수 \(y = \cos \dfrac{\pi}{4} x\)의 주기는 \(\dfrac{2 \pi}{|\dfrac{\pi}{4}|} = 8\)
4
모의고사
오답률 100%
오답
함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow -1^-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)\)의 값은?
1
\(1\)
2
\(2\)
3
\(3\)
\(4\)
정답
5
\(5\)
해설
\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0+} f(x) = 3 + 1 = 4\)
5
모의고사
오답률 100%
오답
함수 \(f(x)\)가 \(x > \dfrac{1}{2}\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{3}{2x+1} < f(x) < \dfrac{3}{2x-1}\)을 만족시킬 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} x f(x)\)의 값은?
\(\dfrac{3}{2}\)
정답
2
\(2\)
3
\(\dfrac{5}{2}\)
4
\(3\)
5
\(\dfrac{7}{2}\)
해설
\(x > \dfrac{1}{2}\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{3}{2x+1} < f(x) < \dfrac{3}{2x-1}\)이므로 \(\dfrac{3x}{2x+1} < x f(x) < \dfrac{3x}{2x-1}\). \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3x}{2x+1} = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3x}{2x-1} = \dfrac{3}{2}\)이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} x f(x) = \dfrac{3}{2}\)
6
모의고사
오답률 100%
오답
첫째항이 양수이고 공차가 \(3\)인 등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_2 \times a_4 = 72\)일 때, \(a_3\)의 값은?
1
\(7\)
\(9\)
정답
3
\(11\)
4
\(13\)
5
\(15\)
해설
공차가 3이므로 \(a_2 \times a_4 = (a_3 - 3)(a_3 + 3) = a_3^2 - 9 = 72\)에서 \(a_3 = 9\) 또는 \(a_3 = -9\). \(a_3 = -9\)이면 \(a_1 = a_3 - 6 = -15 < 0\)이므로 모순. 따라서 \(a_3 = 9\)
7
모의고사
오답률 100%
오답
함수 \(f(x) = \begin{cases} x - a \text{ (}x \leq 2\text{)} \\ x^2 + b x + a \text{ (}x > 2\text{)} \end{cases}\)가 \(x=2\)에서 미분가능할 때, \(f(2)\)의 값은? (단, \(a\)와 \(b\)는 상수이다.)
1
\(-2\)
2
\(-1\)
\(0\)
정답
4
\(1\)
5
\(2\)
해설
\(x = 2\)에서 미분가능하므로 연속이다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2-} f(x) = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2+} f(x) = f(2)\)에서 \(2 - a = 4 + 2b + a\), \(b = -a - 1\). 좌미분계수 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2-} \dfrac{(x - a) - (2 - a)}{x - 2} = 1\). 우미분계수 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2+} \dfrac{x^2 + b x + a - (2 - a)}{x - 2} = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2+} \dfrac{(x - 2)(x - a + 1)}{x - 2} = 3 - a\). \(1 = 3 - a\)에서 \(a = 2\), \(b = -3\). \(f(2) = 2 - 2 = 0\)
8
모의고사
오답률 100%
오답
수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_n = \dfrac{1}{n+1}\)일 때, \(a_1 + a_5\)의 값은?
1
\(\dfrac{1}{5}\)
2
\(\dfrac{4}{15}\)
3
\(\dfrac{1}{3}\)
4
\(\dfrac{2}{5}\)
\(\dfrac{7}{15}\)
정답
해설
\(a_1 = S_1 = \dfrac{1}{2}\). \(a_5 = S_5 - S_4 = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{5} = -\dfrac{1}{30}\). \(a_1 + a_5 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{15}{30} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15}\)
9
모의고사
오답률 100%
오답
\(0 < a < 5\)인 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = \log_2(x+a) + 1\)은 닫힌구간 \([a, 5]\)에서 최솟값 \(3\)을 갖는다. \(f(a+4)\)의 값은?
\(4\)
정답
2
\(2 + \log_2 5\)
3
\(3 + \log_2 3\)
4
\(2 + \log_2 7\)
5
\(5\)
해설
\(f(x) = \log_2(x + a) + 1\)의 밑이 1보다 크므로 증가함수. 닫힌구간 \([a, 5]\)에서 \(x = a\)일 때 최솟값. \(f(a) = \log_2(2a) + 1 = 3\)에서 \(\log_2(2a) = 2\), \(2a = 4\), \(a = 2\). 따라서 \(f(a + 4) = f(6) = \log_2 8 + 1 = 3 + 1 = 4\)
10
모의고사
오답률 100%
오답
공비가 \(0\)이 아닌 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_3 + 2a_4 = 0\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k = 33\)일 때, \(a_1\)의 값은?
1
\(40\)
2
\(44\)
\(48\)
정답
4
\(52\)
5
\(56\)
해설
공비를 \(r (r \neq 0)\)이라 하자. \(a_1 = 0\)이면 \(\displaystyle\sum_{k=1}^3 a_k = 0 \neq 33\)이므로 \(a_1 \neq 0\). \(a_3 + 2 a_4 = a_1 r^2(1 + 2r) = 0\)에서 \(r = -\dfrac{1}{2}\). \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k = \dfrac{a_1(1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)^5)}{1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{11}{16} a_1 = 33\)이므로 \(a_1 = 48\)
11
모의고사
오답률 100%
오답
\(\cos\left(\dfrac{3}{2}\pi - \theta\right) \times \tan \theta = \dfrac{8}{3}\)일 때, \(\cos \theta\)의 값은?
1
\(-\dfrac{2}{3}\)
\(-\dfrac{1}{3}\)
정답
3
\(0\)
4
\(\dfrac{1}{3}\)
5
\(\dfrac{2}{3}\)
해설
\(\cos\left(\dfrac{3}{2}\pi - \theta\right) = -\sin \theta\), \(\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\)이므로 \(\cos\left(\dfrac{3}{2}\pi - \theta\right) \times \tan \theta = -\dfrac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = \dfrac{8}{3}\). \(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\)이므로 \(\dfrac{\cos^2 \theta - 1}{\cos \theta} = \dfrac{8}{3}\), \(3 \cos^2 \theta - 8 \cos \theta - 3 = 0\), \((\cos \theta - 3)(3 \cos \theta + 1) = 0\). \(-1 \leq \cos \theta \leq 1\)이므로 \(\cos \theta = -\dfrac{1}{3}\)
12
모의고사
오답률 100%
오답
수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{2n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1} (k - a_k)\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값은?
\(45\)
정답
2
\(48\)
3
\(51\)
4
\(54\)
5
\(57\)
해설
\(a_{2n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1}(k - a_k) = \displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1} k - \displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1} a_k\)이므로 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} a_k = \displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1} k\). 따라서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k = \displaystyle\sum_{k=1}^9 k = \dfrac{9 \times 10}{2} = 45\)
13
모의고사
오답률 100%
오답
좌표평면에서 직선 \(y=x+1\) 위의 \(x\)좌표가 양수인 점 \(P\)에 대하여 동경 \(O P\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta (0 < \theta < 2\pi)\)라 하자. 각의 크기 \(\theta\)를 나타내는 동경과 각의 크기 \(7 \theta\)를 나타내는 동경이 일치할 때, 점 \(P\)의 \(x\)좌표는? (단, \(O\)는 원점이고, \(x\)축의 양의 방향을 시초선으로 한다.)
1
\(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)
2
\(\dfrac{2\sqrt{3}-1}{4}\)
3
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
4
\(\dfrac{2\sqrt{3}+1}{4}\)
\(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\)
정답
해설
점 P의 x좌표를 \(a (a > 0)\)이라 하면 \(P(a, a + 1)\). 동경이 일치하므로 \(7 \theta = \theta + 2 n \pi\), \(\theta = \dfrac{n \pi}{3}\). P가 제1사분면이고 \(0 < \theta < 2 \pi\)이므로 \(n = 1\), \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\). \(\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{a + 1}{a} = \sqrt{3}\), \(\sqrt{3} a = a + 1\), \((\sqrt{3} - 1) a = 1\). 따라서 \(a = \dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}\)
14
모의고사
오답률 100%
오답
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(0)\)의 값은? (가) \(x \geq -\dfrac{1}{2}\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((\sqrt{2x+1}-1) \times f(x) = x^2 + a x + b\)이다. (단, \(a\)와 \(b\)는 상수이다.) (나) \(f(4)=2\)
1
\(-7\)
\(-3\)
정답
3
\(1\)
4
\(5\)
5
\(9\)
해설
조건 (가)에 \(x = 0\) 대입: \(0 \times f(0) = b\)에서 \(b = 0\). \(x = 4\) 대입: \(2 f(4) = 16 + 4a\). 조건 (나)에 의해 \(4 = 16 + 4a\), \(a = -3\). 따라서 \(x \geq -\dfrac{1}{2}\), \(x \neq 0\)인 \(x\)에 대해 \(f(x) = \dfrac{x(x - 3)}{\sqrt{2x + 1} - 1}\). 연속이므로 \(f(0) = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{x(x - 3)(\sqrt{2x + 1} + 1)}{2 x} = \dfrac{-3 \times 2}{2} = -3\)
15
모의고사
오답률 100%
오답
자연수 \(n (n \geq 2)\)에 대하여 \(\sin \dfrac{n}{5}\pi\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=2}^{10} f(n)\)의 값은?
1
\(5\)
2
\(6\)
3
\(7\)
4
\(8\)
\(9\)
정답
해설
(i) \(n\)이 홀수일 때 \(f(n) = 1\)이므로 \(f(3) = f(5) = f(7) = f(9) = 1\). (ii) \(n\)이 짝수일 때 \(n = 2, 4\)이면 \(\sin\left(n \dfrac{\pi}{5}\right) > 0\)이므로 \(f(2) = f(4) = 2\). \(n = 6, 8\)이면 \(\sin\left(n \dfrac{\pi}{5}\right) < 0\)이므로 \(f(6) = f(8) = 0\). \(n = 10\)이면 \(\sin(2 \pi) = 0\)이므로 \(f(10) = 1\). 따라서 \(\displaystyle\sum_{n=2}^{10} f(n) = 1 \times 4 + 2 \times 2 + 1 = 9\)
16
모의고사
오답률 100%
오답
\(1\)보다 크고 \(100\)보다 작은 두 자연수 \(m, n\)이 \(\log_n 4 \times \left(\dfrac{4}{\log_m 2} + \log_2 n\right) = 8\)을 만족시킬 때, \(m+n\)의 최댓값은?
1
\(96\)
2
\(100\)
3
\(104\)
\(108\)
정답
5
\(112\)
해설
\(\log_n 4 \times \left(\dfrac{4}{\log_m 2} + \log_2 n\right) = 2 \log_n 2 \times (4 \log_2 m + \log_2 n) = 8 \log_n 2 \times \log_2 m + 2 \log_n 2 \times \log_2 n = 8 \log_n m + 2 = 8\). \(\log_n m = \dfrac{3}{4}\), \(m = n^{\dfrac{3}{4}}\). \(1 < n < 100\)에서 \(n^{\dfrac{3}{4}}\)이 자연수이려면 \(n = k^4\). \(n = 2^4 = 16\)이면 \(m = 8\), \(m + n = 24\). \(n = 3^4 = 81\)이면 \(m = 27\), \(m + n = 108\). 최댓값은 \(108\)
17
모의고사
오답률 100%
오답
\(a > \pi\)인 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = \cos^2 x - \sin x - 1\)이 구간 \((\pi, a]\)에서 최솟값을 갖도록 하는 \(a\)의 최솟값을 \(p\)라 하자. 구간 \((\pi, p]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값을 \(M\)이라 할 때, \(p \times M\)의 값은?
\(\dfrac{3}{8}\pi\)
정답
2
\(\dfrac{\pi}{2}\)
3
\(\dfrac{5}{8}\pi\)
4
\(\dfrac{3}{4}\pi\)
5
\(\dfrac{7}{8}\pi\)
해설
\(f(x) = \cos^2 x - \sin x - 1 = -\sin^2 x - \sin x = -\left(\sin x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{4}\). \(f(\pi) = 0\)이고 \(\pi\)가 \((\pi, a]\)에 속하지 않으므로 \(f(x) \leq 0\)인 \(x\)가 \((\pi, a]\)에 존재해야 한다. \(f(x) \leq 0\)에서 \(\sin x = -1\) 또는 \(\sin x \geq 0\). \(x > \pi\)에서 \(\sin x = -1\)인 최솟값은 \(\dfrac{3}{2}\pi\), \(\sin x \geq 0\)인 최솟값은 \(2 \pi\)이므로 \(p = \dfrac{3}{2}\pi\). 구간 \((\pi, \dfrac{3}{2}\pi]\)에서 \(-1 \leq \sin x < 0\)이므로 \(f(x) \leq \dfrac{1}{4}\), \(M = \dfrac{1}{4}\). 따라서 \(p \times M = \dfrac{3 \pi}{8}\)
18
모의고사
오답률 100%
오답
그림과 같이 \(1\)보다 큰 두 실수 \(a, k\)에 대하여 곡선 \(y = a^x + k\)와 직선 \(y = 3x + 2\)가 서로 다른 두 점 \(A, B\)에서 만난다. 점 \(B\)를 지나고 기울기가 \(-1\)인 직선이 곡선 \(y = \log_a(x - k)\)와 만나는 점을 \(C\), 직선 \(y = 3x + 2\)가 \(y\)축과 만나는 점을 \(D\)라 하자. \(\overline{A B} = \overline{A D}\)이고 \(\overline{B C} = \overline{C D}\)일 때, \(a \times k\)의 값은? (단, 점 \(B\)의 \(x\)좌표는 점 \(A\)의 \(x\)좌표보다 크다.)
1
\(4\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{3}\)
정답
3
\(12\)
4
\(7\sqrt{5}\)
5
\(8\sqrt{6}\)
해설
\(A(p, 3p + 2)\). B는 DA를 \(2:1\)로 외분하는 점이므로 \(B(2p, 6p + 2)\). \(y = a^x + k\)와 \(y = \log_a(x - k)\)는 직선 \(y = x\) 대칭. BC가 \(y = x\)와 수직이므로 C는 B를 \(y = x\)에 대칭이동한 점, \(C(6p + 2, 2p)\). 삼각형 CBD가 이등변삼각형이고 BD 기울기 3이므로 AC 기울기 \(-\dfrac{1}{3}\). \(\dfrac{2p - (3p + 2)}{(6p + 2) - p} = \dfrac{-p - 2}{5p + 2} = -\dfrac{1}{3}\)에서 \(p = 2\). \(A(2, 8)\), \(B(4, 14)\). \(a^2 + k = 8\), \(a^4 + k = 14\). 연립하여 \(a^4 - a^2 - 6 = 0\), \((a^2 + 2)(a + \sqrt{3})(a - \sqrt{3}) = 0\). \(a > 1\)이므로 \(a = \sqrt{3}\), \(k = 5\). 따라서 \(a \times k = 5 \sqrt{3}\)
19
모의고사
오답률 100%
오답
그림과 같이 \(\overline{A B}=2\), \(\overline{B C}=4\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. 선분 \(A C\) 위의 점 \(D\)에 대하여 세 점 \(A, B, D\)를 지나는 원을 \(C\)라 하고, 원 \(C\)가 선분 \(B C\)와 만나는 점 중 \(B\)가 아닌 점을 \(E\)라 하자. 점 \(B\)를 포함하지 않는 두 호 \(A D, D E\)의 길이가 같고 \(\overline{B D} = \sqrt{6}\)일 때, 원 \(C\)의 넓이는? (단, \(\overline{A C} < \overline{B C}\)이고, 점 \(D\)는 점 \(A\)도 아니고 점 \(C\)도 아니다.)
1
\(\dfrac{6}{5}\pi\)
2
\(\dfrac{7}{5}\pi\)
\(\dfrac{8}{5}\pi\)
정답
4
\(\dfrac{9}{5}\pi\)
5
\(2\pi\)
해설
두 호 AD, DE 길이가 같으므로 원주각 같음. \(\angle DBA = \angle EBD = \theta\), \(\overline{AD} = k\). \(\overline{AB} : \overline{BC} = \overline{AD} : \overline{CD}\)이므로 \(\overline{CD} = 2k\). 삼각형 ABD 코사인법칙: \(k^2 = 4 + 6 - 4 \sqrt{6} \cos \theta = 10 - 4 \sqrt{6} \cos \theta\). 삼각형 BCD 코사인법칙: \(4 k^2 = 6 + 16 - 8 \sqrt{6} \cos \theta\), \(2 k^2 = 11 - 4 \sqrt{6} \cos \theta\). 연립하여 \(k = 1\), \(\cos \theta = \dfrac{3 \sqrt{6}}{8}\). \(\sin \theta = \sqrt{1 - \dfrac{54}{64}} = \dfrac{\sqrt{10}}{8}\). 사인법칙으로 \(\dfrac{\overline{AD}}{\sin \theta} = 2R\), \(R = \dfrac{2 \sqrt{10}}{5}\). 원의 넓이 \(\pi R^2 = \dfrac{8 \pi}{5}\)
20
모의고사
오답률 100%
오답
실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = \begin{cases} (x-1)(x-a) \text{ (}x < 1\text{)} \\ 0 \text{ (}1 \leq x < 2\text{)} \\ 1 \text{ (}x \geq 2\text{)} \end{cases}\)라 하자. 양의 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(f(x)\)에서 \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(t\)까지 변할 때의 평균변화율을 \(g(t)\)라 할 때,
<보기>
에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. \(a=1\)일 때, \(g(1) = -1\)이다.
ㄴ. 함수 \(g(t)\)의 최댓값이 \(1\)일 때, \(g(2) = \dfrac{1}{2}\)이다.
ㄷ. \(g(k) = g(k+1) = g(k+2)\)를 만족시키는 \(0 < k < 2\)인 실수 \(k\)가 존재할 때, 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = -\dfrac{3}{2}\)은 서로 다른 두 점에서 만난다.
1
ㄱ
2
ㄴ
3
ㄱ, ㄴ
ㄱ, ㄷ
정답
5
ㄴ, ㄷ
해설
\(f(0) = a\)이므로 \(g(t) = \dfrac{f(t) - a}{t}\)는 두 점 \((0, a), (t, f(t))\)를 지나는 직선의 기울기. ㄱ. \(a = 1\)일 때 \(g(1) = \dfrac{f(1) - 1}{1} = \dfrac{0 - 1}{1} = -1\) (참). ㄴ. (i) \(a \geq 1\)일 때 모든 \(t\)에서 \(f(t) \leq a\)이므로 \(g(t) \leq 0\), 최댓값 1 불가능. (ii) \(-1 < a < 1\)이면 \(g\)의 최댓값 \(g(2) = \dfrac{1 - a}{2} < 1\). (iii) \(a \leq -1\)이면 \(g(1) = -a\), 최댓값 1이려면 \(a = -1\)이고 이때 \(g(2) = 1\) (거짓). ㄷ. \(a < 0\), \(0 < k < 1\)일 때 \(f(k + 1) = 0\), \(f(k + 2) = 1\)이므로 \(l\)의 기울기 1. \(f(k) = -1\) 즉 \((k - 1)(k - a) = -1\), \(a = -k - 1\). 연립하여 \(2 k^2 - k = 0\), \(k = \dfrac{1}{2}\), \(a = -\dfrac{3}{2}\). \(f\)의 그래프와 \(y = -\dfrac{3}{2}\)가 서로 다른 두 점에서 만남 (참). 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ
21
모의고사
오답률 100%
오답
첫째항이 \(2\) 이상인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{1}{2}a_n \text{ (}a_n \geq 1\text{)} \\ \dfrac{1}{2}(a_n + a_1) \text{ (}a_n < 1\text{)} \end{cases}\)을 만족시킬 때, \(a_5 + 2a_6 = 2\)가 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합은?
1
\(\dfrac{92}{5}\)
2
\(\dfrac{94}{5}\)
\(\dfrac{96}{5}\)
정답
4
\(\dfrac{98}{5}\)
5
\(20\)
해설
\(a_1 \geq 2\)이므로 모든 \(n\)에 대해 \(a_n > 0\). \(a_2 = \dfrac{a_1}{2} \geq 1\)이므로 \(a_3 = \dfrac{a_1}{4}\). \(a_5 < 1\)이라 하면 \(a_6 = (a_5 + a_1)/2\)에서 \(a_5 + 2 a_6 = 2 a_5 + a_1 > 2\)이므로 \(a_5 \geq 1\). 따라서 \(a_6 = \dfrac{a_5}{2}\), \(2 a_5 = 2\), \(a_5 = 1\). \(a_4 < 1\)이면 \(a_5 = (a_4 + a_1)/2 = 1\)에서 \(a_4 = 2 - a_1 \leq 0\) 모순이므로 \(a_4 \geq 1\), \(a_5 = \dfrac{a_4}{2} = 1\), \(a_4 = 2\). (i) \(a_1 \geq 4\)이면 \(a_3 = \dfrac{a_1}{4} \geq 1\), \(a_4 = \dfrac{a_1}{8} = 2\), \(a_1 = 16\). (ii) \(a_1 < 4\)이면 \(a_3 = \dfrac{a_1}{4} < 1\), \(a_4 = (a_3 + a_1)/2 = \dfrac{5}{8} a_1 = 2\), \(a_1 = \dfrac{16}{5}\). 합 \(= 16 + \dfrac{16}{5} = \dfrac{96}{5}\)
22
모의고사
오답률 100%
오답
방정식 \((\sqrt{3})^{x-2} = 27\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.
(미작성)
정답
8
해설
\((\sqrt{3})^{x-2} = 27\)에서 \(\left(3^{\dfrac{1}{2}}\right)^{x-2} = 3^3\), \(3^{\dfrac{x}{2} - 1} = 3^3\). \(\dfrac{x}{2} - 1 = 3\)이므로 \(x = 8\)
23
모의고사
오답률 100%
오답
반지름의 길이가 \(8\)이고 넓이가 \(28\pi\)인 부채꼴의 호의 길이가 \(a \pi\)일 때, \(a\)의 값을 구하시오.
(미작성)
정답
7
해설
부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2} r l\)에서 \(r = 8\), 호의 길이 \(l = a \pi\). \(\dfrac{1}{2} \times 8 \times a \pi = 28 \pi\)에서 \(4 a \pi = 28 \pi\), \(a = 7\)
24
모의고사
오답률 100%
오답
다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{x} = 3\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
(미작성)
정답
34
해설
\(f(x)\)가 다항함수이고 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{f(x) - 2 x^3}{x^2} = 3\)이므로 \(f(x) = 2 x^3 + 3 x^2 + a x + b\). \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{x} = 3\)이고 분모 \(\rightarrow 0\)이므로 \(f(0) = 0\), 즉 \(b = 0\). \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{2 x^3 + 3 x^2 + a x}{x} = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0}(2 x^2 + 3 x + a) = a = 3\). \(f(x) = 2 x^3 + 3 x^2 + 3 x\). \(f(2) = 16 + 12 + 6 = 34\)
25
모의고사
오답률 100%
오답
\(\log_{|a|}(-a^2-4a+21)\)이 정의되도록 하는 정수 \(a\)의 개수를 구하시오.
(미작성)
정답
6
해설
밑 조건: \(|a| > 0\)이고 \(|a| \neq 1\) 즉 \(a \neq 0, \pm 1\). 진수 조건: \(-a^2 - 4a + 21 > 0\), \(a^2 + 4a - 21 = (a + 7)(a - 3) < 0\), \(-7 < a < 3\). 두 조건 동시 만족 정수 \(a\): \(-6, -5, -4, -3, -2, 2\). 개수는 \(6\)
26
모의고사
오답률 100%
오답
첫째항이 \(1\)이고 모든 항이 양수인 수열 \({a_n}\)이 \(n \geq 2\)인 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}) = \dfrac{n-1}{n}\)을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k}\)의 값을 구하시오.
(미작성)
정답
385
해설
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}) = \sqrt{a_1} - \sqrt{a_n} = \dfrac{n - 1}{n}\). \(a_1 = 1\)이므로 \(\sqrt{a_n} = 1 - \dfrac{n - 1}{n} = \dfrac{1}{n}\), \(a_n = 1/n^2\). 따라서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k} = \displaystyle\sum_{k=1}^{10} k^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385\)
27
모의고사
오답률 100%
오답
실수 \(t (t > 1)\)에 대하여 곡선 \(y = \dfrac{2t}{x}\)와 직선 \(y = -\dfrac{1}{t}x + 3\)이 만나는 두 점을 \(A, B\)라 하자. \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow 1^+} \dfrac{\overline{O B} - \overline{O A}}{t-1} = k\)라 할 때, \(30 \times k^2\)의 값을 구하시오. (단, \(O\)는 원점이고, 점 \(B\)의 \(x\)좌표는 점 \(A\)의 \(x\)좌표보다 크다.)
(미작성)
정답
54
해설
\(\dfrac{2t}{x} = -\dfrac{1}{t} x + 3\)에서 \(x^2 - 3 t x + 2 t^2 = 0\), \((x - t)(x - 2t) = 0\). \(A(t, 2)\), \(B(2t, 1)\). \(\overline{OA} = \sqrt{t^2 + 4}\), \(\overline{OB} = \sqrt{4 t^2 + 1}\). \(\operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow 1+} \dfrac{\overline{OB} - \overline{OA}}{t - 1} = \operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow 1+} \dfrac{3(t^2 - 1)}{(t - 1)(\sqrt{4 t^2 + 1} + \sqrt{t^2 + 4})} = \operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow 1+} \dfrac{3(t + 1)}{\sqrt{4 t^2 + 1} + \sqrt{t^2 + 4}} = \dfrac{6}{2 \sqrt{5}} = \dfrac{3 \sqrt{5}}{5}\). \(30 k^2 = 30 \times \dfrac{45}{25} = 30 \times \dfrac{9}{5} = 54\)
28
모의고사
오답률 100%
오답
공차가 자연수인 등차수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. 어떤 자연수 \(k\)에 대하여 \(a_k + a_{k+1} + a_{k+2} = 21\), \(S_{k+4} = 11\)이 성립할 때, \(a_{k+6}\)의 값을 구하시오.
(미작성)
정답
22
해설
\(a_k + a_{k+1} + a_{k+2} = 3 a_{k+1} = 21\)에서 \(a_{k+1} = 7\). 공차 \(d\)(자연수). \(a_1 = 7 - d k\), \(a_{k+4} = 7 + 3 d\). \(S_{k+4} = \dfrac{(k + 4)(14 + (3 - k) d)}{2} = 11\), \((k + 4)(14 + (3 - k) d) = 22\). \(k + 4 > 4\)이므로 \(k + 4 = 11\) 또는 \(22\). \(k = 7\)일 때 \(14 - 4 d = 2\), \(d = 3\). \(k = 18\)일 때 \(d = \dfrac{13}{15}\) (자연수 아님). 따라서 \(d = 3, k = 7\). \(a_{k+6} = a_{k+1} + 5 d = 7 + 15 = 22\)
29
모의고사
오답률 100%
오답
\(0 \leq x \leq 2\pi\)일 때, \(x\)에 대한 방정식 \(\left(\sin x - \dfrac{1}{4}k\right)\left(\sin x + \dfrac{1}{4}k^2 - \dfrac{3}{4}k\right) = 0\)의 서로 다른 해의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 곱을 구하시오.
(미작성)
정답
48
해설
방정식 \(\left(\sin x - \dfrac{k}{4}\right)\left(\sin x + k^2/4 - 3 \dfrac{k}{4}\right) = 0\)의 해 분석. \(\dfrac{k}{4} = -k^2/4 + 3 \dfrac{k}{4}\)에서 \(k(k - 2) = 0\). (i) \(k = 0\) 또는 \(k = 2\)일 때 해 개수 = \(\sin x = \dfrac{k}{4}\)의 해 개수. \(k = 0\)이면 3개, \(k = 2\)이면 2개. 해 개수가 2가 되는 \(k\) 값은 \(2\). (ii) \(k \neq 0, 2\)일 때 \(\sin x = \dfrac{k}{4}\) 해 개수 + \(\sin x = -k^2/4 + 3 \dfrac{k}{4}\) 해 개수 = 2. (a) \(|k| > 4\)이면 해 0. (b) \(|k| = 4\), \(k = 4\)일 때 두 번째 해 1개로 합 2; \(k = -4\)이면 합 1. (c) \(|k| < 4\)이고 두 번째 해 0이려면 \(k < -1\) 또는 \(k > 4\), 즉 정수 \(k = -3, -2\). 따라서 가능한 정수 \(k\): \(-3, -2, 2, 4\). 곱 \(-3 \times (-2) \times 2 \times 4 = 48\)
30
모의고사
오답률 100%
오답
두 양수 \(a, b\)와 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 집합 \(\{x | x \neq -a, x\text{는 실수}\}\)에서 정의된 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \begin{cases} \dfrac{b x}{x+a} \text{ (}x < -a, -a < x < 1\text{)} \\ f(x) \text{ (}x \geq 1\text{)} \end{cases}\)이라 할 때, 함수 \(g(x)\)는 \(x=1\)에서 연속이다. 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = |g(x)|\)의 그래프와 직선 \(y = t\)가 만나는 점의 개수를 \(h(t)\)라 할 때, 함수 \(h(t)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 임의의 두 양수 \(t_1, t_2\)에 대하여 \(t_1 < t_2\)이면 \(h(t_1) \geq h(t_2)\)이다. (나) 함수 \(h(t)\)는 \(t=0, t=\alpha, t=\beta (0 < \alpha < \beta)\)에서만 불연속이며 \(h(0)=\alpha, h(\alpha)=\beta-1\)이다. \(f(a-b)\)의 값을 구하시오.
(미작성)
정답
75
해설
\(y = \dfrac{b x}{x + a} = -\dfrac{a b}{x + a} + b\)의 점근선 \(x = -a, y = b\). \(g(x)\)는 \(x = 1\)에서 연속이므로 \(g(1) = \dfrac{b}{1 + a} < b\). 이차함수 \(f\)의 꼭짓점 \(x\)좌표 \(k\). \(k \leq 1\)이면 조건 (가)를 만족 못함. \(k > 1\). (i) \(f(k) > -b\)인 경우 모두 조건 (가) 위반. (ii) \(f(k) = -b\)인 경우 \(h(t)\)가 \(t = 0, g(1), b\)에서만 불연속이고 조건 (가) 만족. 조건 (나)에서 \(\alpha = g(1)\), \(\beta = b\). \(g(1) = h(0) = 3\)이므로 \(b/(1 + a) = 3\). \(h(\alpha) = h(g(1)) = 5\)이고 \(h(\alpha) = \beta - 1 = b - 1\)이므로 \(b = 6\), \(a = 1\). \(f(k) = -6\)이므로 \(f(x) = (x - k)^2 - 6\). \(f(1) = g(1) = 3\)이므로 \((1 - k)^2 = 9\), \(k = 4\). \(f(x) = (x - 4)^2 - 6\). (iii) \(f(k) < -b\)인 경우 위반. 따라서 \(f(a - b) = f(1 - 6) = f(-5) = (-9)^2 - 6 = 81 - 6 = 75\)
다시 풀기
점수 변화 (최근 2회)
0%
5/12
0%
6/2
| # | 날짜 | 점수 | 정답률 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2026-06-02 00:51 | 0 / 30 | 0% | 보기 |
| 현재 | 2026-05-12 15:20 | 0 / 30 | 0% |