시험 완료
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2021년 9월 고1 학력평가
0.0%
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문제별 결과
1
모의고사
오답
두 다항식 \(A = x^2 - x + 1\), \(B = -x^2 + 2x\)에 대하여 \(A + B\)는?
1
\(-x-1\)
2
\(2x+1\)
3
\(x-1\)
\(x+1\)
정답
5
\(2x+1\)
해설
\(A + B = (x^2 - x + 1) + (-x^2 + 2x) = x + 1\)
2
모의고사
오답
등식 \(x^2 + (a-1)x - 1 = x^2 + 2x + b\)가 \(x\)에 대한 항등식일 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값은?
1
\(1\)
\(2\)
정답
3
\(3\)
4
\(4\)
5
\(5\)
해설
항등식의 성질에 의해 \(a - 1 = 2\)이므로 \(a = 3\), \(b = -1\). 따라서 \(a + b = 3 + (-1) = 2\)
3
모의고사
오답
좌표평면 위의 두 점 \(P(1, 2)\), \(Q(-2, 1)\) 사이의 거리는?
\(\sqrt{10}\)
정답
2
\(\sqrt{11}\)
3
\(2\sqrt{3}\)
4
\(\sqrt{13}\)
5
\(\sqrt{14}\)
해설
\(\overline{PQ} = \sqrt{{(-2)-1}^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10}\)
4
모의고사
오답
등식 \((2+3i)(1-i) = a+bi\)를 만족시키는 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))
1
\(3\)
2
\(4\)
3
\(5\)
\(6\)
정답
5
\(7\)
해설
\((2+3i)(1-i) = (2+3) + (-2+3)i = 5 + i\)이므로 \(a = 5\), \(b = 1\). 따라서 \(a + b = 5 + 1 = 6\)
5
모의고사
오답
좌표평면 위의 세 점 \(A(a, 3)\), \(B(-2, 5)\), \(C(3, b)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(ABC\)의 무게중심의 좌표가 \((1, 2)\)일 때, \(a+b\)의 값은?
1
\(-2\)
2
\(-1\)
\(0\)
정답
4
\(1\)
5
\(2\)
해설
세 점 \(A(a,3)\), \(B(-2,5)\), \(C(3,b)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(ABC\)의 무게중심의 좌표는 \((\dfrac{a+(-2)+3}{3}, \dfrac{3+5+b}{3})\)이므로 \(\dfrac{a+1}{3} = 1\), \(\dfrac{b+8}{3} = 2\). 따라서 \(a = 2\), \(b = -2\)이고 \(a + b = 2 + (-2) = 0\)
6
모의고사
오답
연립부등식 \(\begin{cases} x+3 < 3x \\ 3x+4 < 2x+8 \end{cases}\)의 해가 \(a < x < b\)일 때, \(ab\)의 값은?
\(6\)
정답
2
\(7\)
3
\(8\)
4
\(9\)
5
\(10\)
해설
\(x + 3 < 3x\)에서 \(x > \dfrac{3}{2}\) ⋯①. \(3x + 4 < 2x + 8\)에서 \(x < 4\) ⋯②. ①, ②에서 \(\dfrac{3}{2} < x < 4\)이므로 \(a = \dfrac{3}{2}\), \(b = 4\). 따라서 \(ab = \dfrac{3}{2} \times 4 = 6\)
7
모의고사
오답
다항식 \((x^2+1)^2 + 3(x^2+1) + 2\)가 \((x^2+a)(x^2+b)\)로 인수분해될 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값은?
1
\(1\)
2
\(2\)
3
\(3\)
4
\(4\)
\(5\)
정답
해설
\(x^2 + 1 = t\)라 하면 \((x^2+1)^2 + 3(x^2+1) + 2 = t^2 + 3t + 2 = (t+1)(t+2) = (x^2+2)(x^2+3)\)
8
모의고사
오답
부등식 \(|2x-1| \leq 5\)를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 개수는?
1
\(2\)
2
\(4\)
\(6\)
정답
4
\(8\)
5
\(10\)
해설
부등식 \(|2x - 1| \leq 5\)에서 \(-5 \leq 2x - 1 \leq 5\)이므로 \(-2 \leq x \leq 3\). 모든 정수 \(x\)는 \(-2, -1, 0, 1, 2, 3\)이고 그 개수는 6
9
모의고사
오답
좌표평면 위의 점 \((1, a)\)를 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 점을 \(A\)라 하자. 점 \(A\)를 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표가 \((2, b)\)일 때, \(a+b\)의 값은?
\(1\)
정답
2
\(2\)
3
\(3\)
4
\(4\)
5
\(5\)
해설
점 \((1, a)\)를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점 \(A\)의 좌표는 \((a, 1)\)이고, 점 \(A\)를 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 \((a, -1)\)이므로 \(a = 2\), \(b = -1\). 따라서 \(a + b = 2 + (-1) = 1\)
10
모의고사
오답
원 \(x^2+y^2 = 10\) 위의 점 \((3, 1)\)에서의 접선의 \(y\)절편은?
1
\(6\)
2
\(7\)
3
\(8\)
4
\(9\)
\(10\)
정답
해설
원 \(x^2 + y^2 = 10\) 위의 점 \((3, 1)\)에서의 접선의 기울기를 \(m\)이라 하면 접선의 방정식은 \(y = m(x-3) + 1\). 원의 중심 \((0,0)\)과 접선 사이의 거리는 반지름 \(\sqrt{10}\)과 같으므로 \(\dfrac{|-3m+1|}{\sqrt{m^2+1}} = \sqrt{10}\). \((3m-1)^2 = 10(m^2+1)\), \(m^2 + 6m + 9 = 0\), \(m = -3\). 따라서 접선의 방정식은 \(y = -3x + 10\)이므로 \(y\)절편은 10
11
모의고사
오답
연립방정식 \(\begin{cases} 4x^2-4xy+y^2=0 \\ x+2y-10=0 \end{cases}\)의 해를 \(x=\alpha\), \(y=\beta\)라 할 때, \(\alpha+\beta\)의 값은?
1
\(5\)
\(6\)
정답
3
\(7\)
4
\(8\)
5
\(9\)
해설
\(4x^2 - 4xy + y^2 = 0\)의 좌변을 인수분해하면 \((2x - y)^2 = 0\)이므로 \(y = 2x\). 이를 \(x + 2y - 10 = 0\)에 대입하면 \(x + 4x - 10 = 0\), \(x = 2\). 따라서 \(\alpha = 2\), \(\beta = 4\)이고 \(\alpha + \beta = 6\)
12
모의고사
오답
계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 \(2-3i\)이고 다른 한 근을 \(\alpha\)라 하자. 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(\dfrac{1}{\alpha} = a+bi\)일 때, \(a+b\)의 값은? (단, \(i=\sqrt{-1}\))
\(-frac(1,13)\)
정답
2
\(-frac(2,13)\)
3
\(-frac(3,13)\)
4
\(-frac(4,13)\)
5
\(-frac(5,13)\)
해설
계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 \(2 - 3i\)이면 다른 한 근은 \(\alpha = 2 + 3i\). \(\dfrac{1}{\alpha} = \dfrac{1}{2+3i} = \dfrac{2-3i}{(2+3i)(2-3i)} = \dfrac{2-3i}{13}\)이므로 \(a = \dfrac{2}{13}\), \(b = -\dfrac{3}{13}\). 따라서 \(a + b = \dfrac{2}{13} - \dfrac{3}{13} = -\dfrac{1}{13}\)
13
모의고사
오답
직선 \(y=x+k\)가 이차함수 \(y=x^2-2x+4\)의 그래프와 만나고, 이차함수 \(y=x^2-5x+15\)의 그래프와 만나지 않도록 하는 모든 정수 \(k\)의 개수는?
1
\(3\)
\(4\)
정답
3
\(5\)
4
\(6\)
5
\(7\)
해설
직선 \(y = x + k\)가 \(y = x^2 - 2x + 4\)와 만나므로 \(x^2 - 3x + 4 - k = 0\)의 판별식 \(D_1 = 9 - 4(4-k) \geq 0\), \(k \geq \dfrac{7}{4}\). 직선이 \(y = x^2 - 5x + 15\)와 만나지 않으므로 \(x^2 - 6x + 15 - k = 0\)의 판별식 \(D_2 = 36 - 4(15-k) < 0\), \(k < 6\). 따라서 \(\dfrac{7}{4} \leq k < 6\)이고 정수 \(k\)는 \(2, 3, 4, 5\)로 그 개수는 4
14
모의고사
오답
이차방정식 \(x^2+2x+3=0\)의 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\dfrac{1}{\alpha^2+3\alpha+3} + \dfrac{1}{\beta^2+3\beta+3}\)의 값은?
1
\(-frac(1,3)\)
2
\(-frac(1,2)\)
\(-frac(2,3)\)
정답
4
\(-frac(5,6)\)
5
\(-1\)
해설
근과 계수의 관계에 의해 \(\alpha + \beta = -2\), \(\alpha \beta = 3\). \(\alpha\)가 근이므로 \(\alpha^2 + 2\alpha + 3 = 0\)에서 \(\alpha^2 + 3\alpha + 3 = \alpha\). 마찬가지로 \(\beta^2 + 3\beta + 3 = \beta\). 따라서 \(\dfrac{1}{\alpha^2+3\alpha+3} + \dfrac{1}{\beta^2+3\beta+3} = \dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha+\beta}{\alpha \beta} = -\dfrac{2}{3}\)
15
모의고사
오답
그림과 같이 최고차항의 계수의 절댓값이 같은 세 이차함수 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\), \(y=h(x)\)의 그래프가 있다. 방정식 \(f(x)+g(x)+h(x)=0\)의 모든 근의 합은?
1
\(1\)
2
\(2\)
3
\(3\)
\(4\)
정답
5
\(5\)
해설
\(f(x)\)의 최고차항의 계수를 \(a (a > 0)\)라 하면 \(f(x) = a(x+1)(x-1)\), \(g(x) = -a(x+2)(x-1)\), \(h(x) = a(x-1)(x-2)\). \(f(x) + g(x) + h(x) = a(x-1){(x+1) - (x+2) + (x-2)} = a(x-1)(x-3)\). 방정식 \(a(x-1)(x-3) = 0\)에서 \(x = 1\) 또는 \(x = 3\). 따라서 모든 근의 합은 \(1 + 3 = 4\)
16
모의고사
오답
그림과 같이 두 직선 \(l_1: 2x-y+1=0\), \(l_2: x+y-4=0\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 부분에 직사각형이 있다. 이 직사각형의 한 변은 \(x\)축 위에 있고 두 꼭짓점은 각각 직선 \(l_1, l_2\) 위에 있을 때, 직사각형의 넓이의 최댓값은?
1
\(frac(23,8)\)
2
\(3\)
3
\(frac(25,8)\)
4
\(frac(13,4)\)
\(frac(27,8)\)
정답
해설
두 직선 \(l_1\), \(l_2\)의 교점은 \((1, 3)\)이고 \(x\)절편이 각각 \(-\dfrac{1}{2}\), \(4\). \(x\)축 위 두 꼭짓점의 \(x\)좌표를 \(a, b\) (\(-\dfrac{1}{2} < a < 1\), \(1 < b < 4\))라 하면 나머지 꼭짓점은 \((a, 2a+1)\), \((b, -b+4)\). \(y\)좌표가 같으므로 \(2a + 1 = -b + 4\), \(b = -2a + 3\). 직사각형의 넓이 \(S(a) = (b-a)(2a+1) = -3(2a^2 - a - 1) = -6\left(a - \dfrac{1}{4}\right)^2 + \dfrac{27}{8}\). 따라서 최댓값은 \(\dfrac{27}{8}\)
17
모의고사
오답
그림과 같이 중심이 제1사분면 위에 있고 \(x\)축과 점 \(P\)에서 접하며 \(y\)축과 두 점 \(Q, R\)에서 만나는 원이 있다. 점 \(P\)를 지나고 기울기가 \(2\)인 직선이 원과 만나는 점 중 \(P\)가 아닌 점을 \(S\)라 할 때, \(\overline{QR} = \overline{PS} = 4\)를 만족시킨다. 원점 \(O\)와 원의 중심 사이의 거리는?
\(\sqrt{6}\)
정답
2
\(\sqrt{7}\)
3
\(2\sqrt{2}\)
4
\(3\)
5
\(\sqrt{10}\)
해설
양수 \(s, t\)에 대하여 원의 중심 \(C(s, t)\), 점 \(P(s, 0)\). 점 \(P\)를 지나고 기울기 2인 직선 \(l: 2x - y - 2s = 0\). \(\overline{QR} = \overline{PS} = 4\)에서 점 \(C\)와 \(y\)축 사이의 거리, 점 \(C\)와 직선 \(l\) 사이의 거리가 같으므로 \(s = \dfrac{|2s - t - 2s|}{\sqrt{5}} = \dfrac{t}{\sqrt{5}}\), \(t = \sqrt{5} s\). 선분 \(PS\)의 중점 \(M\)에서 \(\overline{PM} = 2\), \(\overline{CM} = s\), \(\overline{CP} = t\)이고 직각삼각형 \(CPM\)에서 \(t^2 = s^2 + 4\). 두 식에서 \(s = 1\), \(t = \sqrt{5}\)이므로 원점 \(O\)와 원의 중심 사이의 거리는 \(\sqrt{1 + 5} = \sqrt{6}\)
18
모의고사
오답
그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 \(A(0, 1)\), \(B(1, 0)\)이 있다. 양수 \(n\)과 원점 \(O\)에 대하여 선분 \(OA\)를 \(1:n\)으로 내분하는 점을 \(P\), 선분 \(OB\)를 \(1:n\)으로 내분하는 점을 \(Q\), 선분 \(AQ\)와 선분 \(BP\)가 만나는 점을 \(R\)라 하자. 다음은 사각형 \(POQR\)의 넓이가 \(\dfrac{1}{42}\)일 때, \(n\)의 값을 구하는 과정이다.
점 \(P\)의 좌표는 \(\left(0, \dfrac{1}{n+1}\right)\), 점 \(Q\)의 좌표는 \(\left(\dfrac{1}{n+1}, 0\right)\)이다. 직선 \(AQ\)의 방정식은 \(y = -(n+1)x+1\), 직선 \(BP\)의 방정식은 \(y = \) (가) \(\times x + \dfrac{1}{n+1}\)이다. 두 직선 \(AQ, BP\)가 만나는 점 \(R\)의 \(x\)좌표는 (나)이고 삼각형 \(POR\)의 넓이는 \(frac(1,2) \times \dfrac{1}{n+1} \times \) (나) 이다. 두 삼각형 \(POR\)와 삼각형 \(QOR\)에서 선분 \(OR\)가 공통이고 \(\overline{OP}=\overline{OQ}\), \(\angle POR = \angle QOR\)이므로 삼각형 \(POR\)와 삼각형 \(QOR\)는 합동이다. 따라서 사각형 \(POQR\)의 넓이는 삼각형 \(POR\)의 넓이의 \(2\)배이므로 \(n=\) (다) 이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(n), g(n)\)이라 하고, (다)에 알맞은 수를 \(k\)라 할 때, \(\dfrac{g(k)}{f(k)}\)의 값은?
1
\(-frac(5,7)\)
\(-frac(6,7)\)
정답
3
\(-1\)
4
\(-frac(8,7)\)
5
\(-frac(9,7)\)
해설
점 \(P\left(0, \dfrac{1}{n+1}\right)\), 점 \(Q\left(\dfrac{1}{n+1}, 0\right)\). 직선 \(AQ\): \(y = -(n+1)x + 1\). 직선 \(BP\): \(y = -\dfrac{1}{n+1} x + \dfrac{1}{n+1}\). 두 직선의 교점 \(R\)의 \(x\)좌표는 \(\dfrac{1}{n+2}\). 삼각형 \(POR\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{n+1} \times \dfrac{1}{n+2}\). 사각형 \(POQR\)의 넓이는 그 2배이므로 \(\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{42}\), \(n = 5\). \(f(n) = -\dfrac{1}{n+1}\), \(g(n) = \dfrac{1}{n+2}\), \(k = 5\). 따라서 \(\dfrac{g(5)}{f(5)} = \dfrac{\dfrac{1}{7}}{-\dfrac{1}{6}} = -\dfrac{6}{7}\)
19
모의고사
오답
\(-1 < a < b\)인 두 실수 \(a, b\)에 대하여 직선 \(y=x-2\) 위에 세 점 \(P(-1, -3)\), \(Q(a, a-2)\), \(R(b, b-2)\)가 있다. 선분 \(PQ\)를 지름으로 하는 원을 \(C_1\), 선분 \(QR\)를 지름으로 하는 원을 \(C_2\)라 하자. 삼각형 \(OPR\)와 두 원 \(C_1, C_2\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(a+b\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.)
(가) 삼각형 \(OPR\)의 넓이는 \(3\sqrt{2}\)이다.
(나) 원 \(C_1\)과 원 \(C_2\)의 넓이의 비는 \(1:4\)이다.
1
\(4\sqrt{2}+2\)
2
\(4\sqrt{2}+1\)
3
\(4\sqrt{2}\)
4
\(4\sqrt{2}-1\)
\(4\sqrt{2}-2\)
정답
해설
\(P(-1, -3)\), \(R(b, b-2)\)이므로 \(\overline{PR} = \sqrt{2(b+1)^2}\). 원점 \(O\)와 직선 \(x - y - 2 = 0\) 사이의 거리 \(d = \sqrt{2}\). 삼각형 \(OPR\)의 넓이가 \(3\sqrt{2}\)이므로 \(\dfrac{1}{2} \sqrt{2(b+1)^2} \sqrt{2} = \sqrt{(b+1)^2} = 3\sqrt{2}\). \(b > -1\)이므로 \(b = 3\sqrt{2} - 1\). 점 \(R\)의 좌표는 \((3\sqrt{2}-1, 3\sqrt{2}-3)\). 두 원의 넓이의 비가 \(1:4\)이므로 \(\overline{PQ}:\overline{QR} = 1:2\). 점 \(Q\)는 선분 \(PR\)를 \(1:2\)로 내분하는 점이므로 \(Q(\sqrt{2}-1, \sqrt{2}-3)\), \(a = \sqrt{2}-1\). 따라서 \(a + b = (\sqrt{2}-1) + (3\sqrt{2}-1) = 4\sqrt{2} - 2\)
20
모의고사
오답
복소수 \(z = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)에 대하여
<보기>
에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(i=\sqrt{-1}\))
<보기>
ㄱ. \(z^3 = 1\)
ㄴ. \(z + \dfrac{1}{z} = -1\)
ㄷ. \(z^n + z^{2n} + z^{3n} + z^{4n} + z^{5n} = -1\)을 만족시키는 \(100\) 이하의 모든 자연수 \(n\)의 개수는 \(66\)이다.
1
ㄱ
2
ㄴ
ㄱ, ㄴ
정답
4
ㄱ, ㄷ
5
ㄱ, ㄴ, ㄷ
해설
ㄱ. \(z^2 = \left(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2 = \dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\), \(z^3 = z^2 \times z = 1\) (참). ㄴ. \(z^3 = 1\)이므로 \(z^{3k} = 1\). \(z^n + z^{n+1} + z^{n+2} = z^n(1 + z + z^2)\). \(1 + z + z^2 = 1 + \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} + \dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2} = 0\)이므로 모든 자연수 \(n\)에 대해 성립 (참). ㄷ. \(z^n\)이 양의 실수가 되려면 \(n = 3k\). 100 이하의 자연수 중 3의 배수는 33개이므로 67이 아님 (거짓). 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ
21
모의고사
오답
실수 \(k\)에 대하여 이차함수 \(y=(x-k)^2-2\)의 그래프와 직선 \(y=2\)는 서로 다른 두 점 \(A, B\)에서 만난다. 삼각형 \(AOB\)가 이등변삼각형이 되도록 하는 서로 다른 \(k\)의 개수를 \(n\), \(k\)의 최댓값을 \(M\)이라 하자. \(n+M\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이고, 점 \(A\)의 \(x\)좌표는 점 \(B\)의 \(x\)좌표보다 작다.)
1
\(7+\sqrt{3}\)
\(7+2\sqrt{3}\)
정답
3
\(7+3\sqrt{3}\)
4
\(9+2\sqrt{3}\)
5
\(9+3\sqrt{3}\)
해설
\((x-k)^2 - 2 = 2\)에서 \(x = k \pm 2\)이므로 \(A(k-2, 2)\), \(B(k+2, 2)\), \(\overline{AB} = 4\). 이등변삼각형 조건: (i) \(\overline{OA} = \overline{OB}\)이면 \(k = 0\). (ii) \(\overline{OA} = \overline{AB} = 4\)이면 \((k-2)^2 + 4 = 16\), \(k = 2 \pm 2\sqrt{3}\). (iii) \(\overline{OB} = \overline{AB} = 4\)이면 \((k+2)^2 + 4 = 16\), \(k = -2 \pm 2\sqrt{3}\). 모두 5개이므로 \(n = 5\), \(M = 2 + 2\sqrt{3}\). 따라서 \(n + M = 7 + 2\sqrt{3}\)
22
모의고사
오답
다항식 \(x^3+2x^2-x+2\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지를 구하시오.
(미작성)
정답
16
해설
\(f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 2\)라 하면 나머지정리에 의하여 \(f(x)\)를 \(x - 2\)로 나눈 나머지는 \(f(2) = 8 + 8 - 2 + 2 = 16\)
23
모의고사
오답
\(1 \leq x \leq 4\)에서 이차함수 \(f(x) = -(x-2)^2+15\)의 최솟값을 구하시오.
(미작성)
정답
11
해설
\(f(x) = -(x-2)^2 + 15\) \((1 \leq x \leq 4)\). \(f(1) = 14\), \(f(2) = 15\), \(f(4) = 11\). 따라서 최솟값은 \(x = 4\)일 때 \(11\)
24
모의고사
오답
\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2+2(k-2)x+k^2-24 = 0\)이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 자연수 \(k\)의 개수를 구하시오.
(미작성)
정답
6
해설
판별식 \(\dfrac{D}{4} = (k-2)^2 - (k^2 - 24) > 0\)에서 \(-4k + 4 + 24 > 0\), \(k < 7\). 따라서 모든 자연수 \(k\)는 \(1, 2, 3, 4, 5, 6\)이고 그 개수는 6
25
모의고사
오답
점 \((2, 5)\)를 지나고 직선 \(3x+2y-4=0\)에 수직인 직선의 방정식이 \(2x+ay+b=0\)일 때, \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)
(미작성)
정답
8
해설
직선 \(3x + 2y - 4 = 0\)의 기울기는 \(-\dfrac{3}{2}\)이므로 수직인 직선의 기울기는 \(\dfrac{2}{3}\). 점 \((2, 5)\)를 지나므로 \(y = \dfrac{2}{3}(x-2) + 5\), 즉 \(2x - 3y + 11 = 0\). \(a = -3\), \(b = 11\). 따라서 \(a + b = -3 + 11 = 8\)
26
모의고사
오답
원 \((x+1)^2+(y+2)^2=9\)를 \(x\)축의 방향으로 \(m\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(n\)만큼 평행이동한 원을 \(C\)라 하자. 원 \(C\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(m+n\)의 값을 구하시오. (단, \(m, n\)은 상수이다.)
(가) 원 \(C\)의 중심은 제1사분면 위에 있다.
(나) 원 \(C\)는 \(x\)축과 \(y\)축에 동시에 접한다.
(미작성)
정답
9
해설
원 \((x+1)^2 + (y+2)^2 = 9\)의 중심은 \((-1, -2)\), 반지름은 3. 평행이동된 원 \(C\)의 중심은 \((-1+m, -2+n)\). 원 \(C\)가 제1사분면에서 \(x\)축, \(y\)축에 동시에 접하려면 중심이 \((3, 3)\)이어야 하므로 \(-1 + m = 3\), \(-2 + n = 3\). \(m = 4\), \(n = 5\). 따라서 \(m + n = 9\)
27
모의고사
오답
\(x\)에 대한 연립이차부등식 \(\begin{cases} x^2-10x+21 \leq 0 \\ x^2-2(n-1)x+n^2-2n \geq 0 \end{cases}\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(4\)가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하시오.
(미작성)
정답
30
해설
\(x^2 - 10x + 21 \leq 0\)에서 \(3 \leq x \leq 7\). \(x^2 - 2(n-1)x + n^2 - 2n \geq 0\)에서 \({x - (n-2)}(x - n) \geq 0\)이므로 \(x \leq n - 2\) 또는 \(x \geq n\). (i) \(1 \leq n \leq 3\)일 때 정수 \(x\) 개수 5. (ii) \(4 \leq n \leq 8\)일 때 정수 \(x\) 개수 4. (iii) \(n \geq 9\)일 때 정수 \(x\) 개수 5. 정수 \(x\) 개수가 4가 되는 자연수 \(n\)은 \(4, 5, 6, 7, 8\)이고 합은 30
28
모의고사
오답
그림과 같이 원의 중심 \(C(a, b)\)가 제1사분면 위에 있고, 반지름의 길이가 \(r\)이며 원점 \(O\)를 지나는 원이 있다. 원과 \(x\)축, \(y\)축이 만나는 점 중 \(O\)가 아닌 점을 각각 \(A, B\)라 하자. 네 점 \(O, A, B, C\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(a+b+r^2\)의 값을 구하시오.
(가) \(\overline{OB} - \overline{OA} = 4\)
(나) 두 점 \(O, C\)를 지나는 직선의 방정식은 \(y=3x\)이다.
(미작성)
정답
14
해설
\(\angle AOB = 90^{\circ}\)이므로 선분 \(AB\)는 원의 지름. \(A(t, 0)\)이라 하면 \(B(0, t+4)\)이고 중심 \(C\left(\dfrac{t}{2}, \dfrac{t+4}{2}\right)\). 점 \(C\)가 \(y = 3x\) 위에 있으므로 \(\dfrac{t+4}{2} = \dfrac{3}{2}t\), \(t = 2\). 중심 \((1, 3)\), 반지름 \(\sqrt{10}\). \(a = 1\), \(b = 3\), \(r^2 = 10\). 따라서 \(a + b + r^2 = 14\)
29
모의고사
오답
다항식 \(P(x)\)와 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차다항식 \(Q(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \({Q(x+1)}^2 + {Q(x)}^2 = (x^2-x)P(x)\)를 만족시킨다. \(P(x)\)를 \(Q(x)\)로 나눈 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(R(3)\)의 값을 구하시오. (단, 다항식 \(Q(x)\)의 계수는 실수이다.)
(미작성)
정답
54
해설
\({Q(x+1)}^2 + {Q(x)}^2 = x(x-1)P(x)\)에 \(x = 0, 1\) 대입하여 \(Q(0) = Q(1) = Q(2) = 0\). 최고차항 계수 1인 삼차이므로 \(Q(x) = x(x-1)(x-2)\). 식을 정리하면 \(P(x) = x(x-1){(x+1)^2 + (x-2)^2} = x(x-1)(2x^2 - 2x + 5) = x(x-1){2(x-2)(x+1) + 9} = 2(x+1)Q(x) + 9x(x-1)\). 따라서 \(R(x) = 9x(x-1)\)이고 \(R(3) = 9 \times 3 \times 2 = 54\)
30
모의고사
오답
\(t \geq 0\)인 실수 \(t\)에 대하여 \(t \leq x \leq t+3\)에서 이차함수 \(f(x)=x^2-4tx+10t\)의 최댓값과 최솟값의 합을 \(g(t)\)라 하자. \(t\)에 대한 방정식 \(g(t)=-4t+a\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(4\)가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 범위는 \(p < a < q\)이다. \(4p+7q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 상수이다.)
(미작성)
정답
225
해설
\(f(x) = (x - 2t)^2 - 4t^2 + 10t\). 정의역 \([t, t+3]\)에서 (i) \(0 \leq t \leq \dfrac{3}{2}\)일 때 \(g(t) = -7t^2 + 14t + 9\), (ii) \(\dfrac{3}{2} < t \leq 3\)일 때 \(g(t) = -7t^2 + 20t\), (iii) \(t > 3\)일 때 \(g(t) = -6t^2 + 14t + 9\). 직선 \(y = -4t + a\)가 \(y = g(t)\)와 서로 다른 4점에서 만나려면 (1) \(t = \dfrac{3}{2}\)의 점 \(\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{57}{4}\right)\)를 지날 때 \(a = \dfrac{81}{4}\). (2) (i) 구간에서 접할 때 판별식 \(\dfrac{D_1}{4} = 81 - 7a + 63 = 0\), \(a = \dfrac{144}{7}\). (ii) 구간에서도 접할 때 같은 \(a = \dfrac{144}{7}\). 따라서 실근 4개 조건은 \(\dfrac{81}{4} < a < \dfrac{144}{7}\). \(p = \dfrac{81}{4}\), \(q = \dfrac{144}{7}\). \(4p + 7q = 81 + 144 = 225\)
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