2026 수능 수학(미적분)

\(9^{\dfrac{1}{4}} \times 3^{-\dfrac{1}{2}}\)의 값은? [2점]

함수 \(f(x) = 3x^3 + 4x + 1\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은? [2점]

수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^4 (2 a_k - k) = 0\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^4 a_k\)의 값은? [3점]

함수 \(f(x) = \begin{cases} 3x - 2 \quad (x < 1) \\ x^2 - 3x + a \quad (x \geq 1) \end{cases}\) 이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은? [3점]

함수 \(f(x) = (x+2)(2x^2 - x - 2)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은? [3점]

\(1\)보다 큰 두 실수 \(a\), \(b\)가 \(\log_a b = 3\), \(\log_3 \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}\) 을 만족시킬 때, \(\log_9 a b\)의 값은? [3점]

두 곡선 \(y = x^2 + 3\), \(y = -\dfrac{1}{5} x^2 + 3\)과 직선 \(x = 2\)로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

\(\sin \theta + 3 \cos \theta = 0\)이고 \(\cos(\pi - \theta) > 0\)일 때, \(\sin \theta\)의 값은? [3점]

양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = x^3 + 3 a x^2 - 9 a^2 x + 4\) 라 하자. 직선 \(y = 5\)가 곡선 \(y = f(x)\)에 접할 때, \(f(2)\)의 값은? [4점]

상수 \(a\) \((a > 1)\)에 대하여 곡선 \(y = a^x - 2\) 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 A를 지나고 \(y\)축에 평행한 직선이 \(x\)축과 만나는 점을 B, 곡선 \(y = a^x - 2\)의 점근선과 만나는 점을 C라 하자. \(\overline{\text{AB}} = \overline{\text{BC}}\)이고 삼각형 AOC의 넓이가 \(8\)일 때, \(a \times \overline{\text{OB}}\)의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점]

시각 \(t = 0\)일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P가 있다. 실수 \(k\)에 대하여 시각이 \(t\) \((t \geq 0)\)일 때 점 P의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = t^2 - k t + 4\) 이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] ㄱ. \(k = 0\)이면, 시각 \(t = 1\)일 때 점 P의 위치는 \(\dfrac{13}{3}\)이다. ㄴ. \(k = 3\)이면, 출발한 후 점 P의 운동 방향이 한 번 바뀐다. ㄷ. \(k = 5\)이면, 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 2\)까지 점 P가 움직인 거리는 \(3\)이다.

등비수열 \(\{a_n\}\)이 \(2(a_1 + a_4 + a_7) = a_4 + a_7 + a_10 = 6\) 을 만족시킬 때, \(a_10\)의 값은? [4점]

함수 \(f(x) = x^2 - 4x - 3\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, -6)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하고, 함수 \(g(x) = (x^3 - 2x) f(x)\)에 대하여 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((1, 6)\)에서의 접선을 \(m\)이라 하자. 두 직선 \(l\), \(m\)과 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4점]

그림과 같이 \(\overline{\text{AB}} = 3\), \(\overline{\text{BC}} = 4\)이고 \(\angle \text{B} = \dfrac{\pi}{2}\)인 직각삼각형 ABC가 있다. 선분 AB를 \(2 : 1\)로 내분하는 점을 D, 점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(\overline{\text{AD}}\)인 원이 선분 AC와 만나는 점을 E, 직선 AB가 이 원과 만나는 점 중 D가 아닌 점을 F라 하고, 호 EF 위의 점 G를 \(\overline{\text{CG}} = 2 \sqrt{6}\)이 되도록 잡는다. 세 점 C, E, G를 지나는 원 위의 점 H가 \(\angle \text{HCG} = \angle \text{BAC}\)를 만족시킬 때, 선분 GH의 길이는? [4점]

함수 \(f(x)\)가 \(f(x) = \begin{cases} -x^2 \quad (x < 0) \\ x^2 - x \quad (x \geq 0) \end{cases}\) 이고, 양수 \(a\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \begin{cases} a x + a \quad (x < -1) \\ 0 \quad (-1 \leq x < 1) \\ a x - a \quad (x \geq 1) \end{cases}\) 이라 하자. 함수 \(h(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (g(t) - f(t)) d t\)가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 \(a\)의 최댓값을 \(k\)라 하자. \(a = k\)일 때, \(k + h(3)\)의 값은? [4점]

수열 \(\{a_n\}\)은 \(a_1 = 1\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = n^2 a_n + 1\) 을 만족시킨다. \(a_3\)의 값을 구하시오. [3점]

함수 \(f(x) = 4x^3 - 2x\)의 한 부정적분 \(F(x)\)에 대하여 \(F(0) = 4\)일 때, \(F(2)\)의 값을 구하시오. [3점]

\(\overline{\text{AB}} = 5\), \(\overline{\text{AC}} = 6\)이고 \(\cos(\angle \text{BAC}) = -\dfrac{3}{5}\)인 삼각형 ABC의 넓이를 구하시오. [3점]

\(-2 \leq x \leq 2\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(-k \leq 2x^3 + 3x^2 - 12x - 8 \leq k\) 가 성립하도록 하는 양수 \(k\)의 최솟값을 구하시오. [3점]

수열 \(\{a_n\}\)이 다음 조건을 만족시킨다. • \(a_1 = 7\) • 2 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \dfrac{2}{3} a_n + \dfrac{1}{6} n^2 - \dfrac{1}{6} n + 10\)이다. 다음은 \(\displaystyle\sum_{k=1}^12 a_k + \displaystyle\sum_{k=1}^5 a_{2k+1}\)의 값을 구하는 과정이다. 2 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} a_k - \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\)이므로 \(a_{n+1} = \dfrac{2}{3}(a_{n+1} - a_n) + (\text{가})\) 이고, 이 식을 정리하면 \(2 a_n + a_{n+1} = 3 \times (\text{가})\) ……㉠ \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \dfrac{2}{3} a_n + \dfrac{1}{6} n^2 - \dfrac{1}{6} n + 10\) \((n \geq 2)\) 에서 양변에 \(n = 2\)를 대입하면 \(a_2 = (\text{나})\) ……㉡ 이다. ㉠과 ㉡에 의하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^12 a_k + \displaystyle\sum_{k=1}^5 a_{2k+1} = a_1 + a_2 + \displaystyle\sum_{k=1}^5 (2 a_{2k+1} + a_{2k+2})\) \(= (\text{다})\) 이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 \(f(n)\)이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(p\), \(q\)라 할 때, \(\dfrac{p \times q}{f(12)}\)의 값을 구하시오. [4점]

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} -f(x) \quad (x < t) \\ f(x) \quad (x \geq t) \end{cases}\) 는 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow a+} \dfrac{g(x)}{x(x-2)}\)의 값이 존재한다. (나) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow m+} \dfrac{g(x)}{x(x-2)}\)의 값이 음수가 되도록 하는 자연수 \(m\)의 집합은 \(\{g(-1), -\dfrac{7}{2} g(1)\}\)이다. \(g(-5)\)의 값을 구하시오. (단, \(g(-1) \neq -\dfrac{7}{2} g(1)\)) [4점]

곡선 \(y = \log_16 (8x + 2)\) 위의 점 \(\text{A}(a, b)\)와 곡선 \(y = 4^{x-1} - \dfrac{1}{2}\) 위의 점 B가 제1사분면에 있다. 점 A를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점이 직선 OB 위에 있고 선분 AB의 중점의 좌표가 \(\left(\dfrac{77}{8}, \dfrac{133}{8}\right)\)일 때, \(a \times b = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan 6x}{2x}\)의 값은? [2점]

\(\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{\sin x - \sin^3 x} \, d x\)의 값은? [3점]

수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\sqrt{9 n^2 - 5} + 2n < a_n < 5n + 1\) 을 만족시킬 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{(a_n + 2)^2}{n a_n + 5 n^2 - 2}\)의 값은? [3점]

그림과 같이 곡선 \(y = \sqrt{x + x \ln x}\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = 1\), \(x = 2\)로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

매개변수 \(t\)로 나타내어진 곡선 \(x = e^u (1 + \sin^2 \pi t)\), \(y = e^u (1 - 3 \cos^2 \pi t)\) 를 C라 하자. 곡선 C가 직선 \(y = 3x - 5e\)와 만나는 점을 P라 할 때, 곡선 C 위의 점 P에서의 접선의 기울기는? [3점]

함수 \(f(x) = \dfrac{1}{2} x^2 - x + \ln(1 + x)\) 와 양수 \(t\)에 대하여 점 \((s, f(s))\) \((s > 0)\)에서 \(y\)축에 내린 수선의 발과 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((s, f(s))\)에서의 접선이 \(y\)축과 만나는 점 사이의 거리가 \(t\)가 되도록 하는 \(s\)의 값을 \(g(t)\)라 하자. \(\displaystyle\int_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{27}{4}} g(t) \, d t\)의 값은? [4점]

첫째항과 공차가 같은 등차수열 \(\{a_n\}\)과 등비수열 \(\{b_n\}\)이 다음 조건을 만족시킨다. 어떤 자연수 \(k\)에 대하여 \(b_{k+i} = \dfrac{1}{a_i} - 1\) \((i = 1, 2, 3)\) 이다. 부등식 \(0 < \displaystyle\sum_{n=1}^\infty lr\left(|b_n - \dfrac{1}{a_n a_{n+1}}|\right) < 30\) 이 성립할 때, \(a_2 \times \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_{2n} = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(a_1 \neq 0\)이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 \(f(x)\)의 역함수 \(f^{-1}(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(|x| \leq 1\)일 때, \(4 \times (f^{-1}(x))^2 = x^2(x^2 - 5)^2\)이다. (나) \(|x| > 1\)일 때, \(|f^{-1}(x)| = e^{|x| - 1} + 1\)이다. 실수 \(m\)에 대하여 기울기가 \(m\)이고 점 \((1, 0)\)을 지나는 직선이 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점의 개수를 \(g(m)\)이라 하자. 함수 \(g(m)\)이 \(m = a\), \(m = b\) \((a < b)\)에서 불연속일 때, \(g(a) \times (\operatorname*{lim}\limits_{m \rightarrow a+} g(m)) + g(b) \times \left(\dfrac{\ln b}{b}\right)^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\)) [4점]