고3 2024년 6월 모의평가

\(\sqrt[3]{27} \times 4^{-\dfrac{1}{2}}\)의 값은? [2점]

함수 \(f(x) = x^2 - 2x + 3\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(3 + h) - f(3)}{h}\)의 값은? [2점]

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^10 (2 a_k + 3) = 60\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^10 a_k\)의 값은? [3점]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} f(x) = 4 - f(1)\) 을 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값은? [3점]

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = (x^3 + 1) f(x)\) 라 하자. \(f(1) = 2\), \(f'(1) = 3\)일 때, \(g'(1)\)의 값은? [3점]

\(\cos \theta < 0\)이고 \(\sin(-\theta) = \dfrac{1}{7} \cos \theta\)일 때, \(\sin \theta\)의 값은? [3점]

상수 \(a\) \((a > 2)\)에 대하여 함수 \(y = \log_2 (x - a)\)의 그래프의 점근선이 두 곡선 \(y = \log_2 \dfrac{x}{4}\), \(y = \log_{\dfrac{1}{2}} x\)와 만나는 점을 각각 A, B라 하자. \(\overline{\text{AB}} = 4\)일 때, \(a\)의 값은? [3점]

두 곡선 \(y = 2x^2 - 1\), \(y = x^3 - x^2 + k\)가 만나는 점의 개수가 2가 되도록 하는 양수 \(k\)의 값은? [3점]

수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(2k - 1) a_k} = n^2 + 2n\) 을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^10 a_n\)의 값은? [4점]

양수 \(k\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = k x (x - 2)(x - 3)\) 이다. 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축이 원점 O와 두 점 P, Q \((\overline{\text{OP}} < \overline{\text{OQ}})\)에서 만난다. 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 OP로 둘러싸인 영역을 \(A\), 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 PQ로 둘러싸인 영역을 \(B\)라 하자. (\(A\)의 넓이) \(-\) (\(B\)의 넓이) \(= 3\) 일 때, \(k\)의 값은? [4점]

그림과 같이 실수 \(t\) \((0 < t < 1)\)에 대하여 곡선 \(y = x^2\) 위의 점 중에서 직선 \(y = 2t x - 1\)과의 거리가 최소인 점을 P라 하고, 직선 OP가 직선 \(y = 2t x - 1\)과 만나는 점을 Q라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow 1^{-}} \dfrac{\overline{\text{PQ}}}{1 - t}\)의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점]

\(a_2 = -4\)이고 공차가 0이 아닌 등차수열 \({a_n}\)에 대하여 수열 \({b_n}\)을 \(b_n = a_n + a_{n+1}\) \((n \geq 1)\)이라 하고, 두 집합 \(A\), \(B\)를 \(A = {a_1, a_2, a_3, a_4, a_5}\), \(B = {b_1, b_2, b_3, b_4, b_5}\) 라 하자. \(n(A \cap B) = 3\)이 되도록 하는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_{20}\)의 값의 합은? [4점]

그림과 같이 \(\overline{\text{BC}} = 3\), \(\overline{\text{CD}} = 2\), \(\cos(\angle \text{BCD}) = -\dfrac{1}{3}\), \(\angle \text{DAB} > \dfrac{\pi}{2}\) 인 사각형 ABCD에서 두 삼각형 ABC와 ACD는 모두 예각삼각형이다. 선분 AC를 \(1 : 2\)로 내분하는 점 E에 대하여 선분 AE를 지름으로 하는 원이 두 선분 AB, AD와 만나는 점 중 A가 아닌 점을 각각 P\(_1\), P\(_2\)라 하고, 선분 CE를 지름으로 하는 원이 두 선분 BC, CD와 만나는 점 중 C가 아닌 점을 각각 Q\(_1\), Q\(_2\)라 하자. \(\overline{\text{P}_1 \text{P}_2} : \overline{\text{Q}_1 \text{Q}_2} = 3 : 5 \sqrt{2}\)이고 삼각형 ABD의 넓이가 2일 때, \(\overline{\text{AB}} + \overline{\text{AD}}\)의 값은? (단, \(\overline{\text{AB}} > \overline{\text{AD}}\)) [4점]

실수 \(a\) \((a \geq 0)\)에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)를 \(v(t) = -t(t - 1)(t - a)(t - 2a)\) 라 하자. 점 P가 시각 \(t = 0\)일 때 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸도록 하는 \(a\)에 대하여, 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 2\)까지 점 P의 위치의 변화량의 최댓값은? [4점]

자연수 \(k\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 \({a_n}\)이 있다. \(a_1 = k\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} a_n + 2n - k \quad (a_n \leq 0) \\ a_n - 2n - k \quad (a_n > 0) \end{cases}\) 이다. \(a_3 \times a_4 \times a_5 \times a_6 < 0\)이 되도록 하는 모든 \(k\)의 값의 합은? [4점]

부등식 \(2^{x - 6} \leq \left(\dfrac{1}{4}\right)^x\)을 만족시키는 모든 자연수 \(x\)의 값의 합을 구하시오. [3점]

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 8x^3 - 1\)이고 \(f(0) = 3\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오. [3점]

두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 삼차함수 \(f(x) = a x^3 + b x + a\)는 \(x = 1\)에서 극소이다. 함수 \(f(x)\)의 극솟값이 \(-2\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 구하시오. [3점]

두 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = a \sin b x + 8 - a\) 가 다음 조건을 만족시킬 때, \(a + b\)의 값을 구하시오. [3점] (가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \geq 0\)이다. (나) \(0 \leq x < 2 \pi\)일 때, \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수는 4이다.

최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t\) 가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(9)\)의 값을 구하시오. [4점] \(x \geq 1\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x) \geq g(4)\)이고 \(|g(x)| \geq |g(3)|\)이다.

실수 \(t\)에 대하여 두 곡선 \(y = t - \log_2 x\)와 \(y = 2^{x - t}\)이 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(f(t)\)라 하자. <보기>의 각 명제에 대하여 다음 규칙에 따라 \(A\), \(B\), \(C\)의 값을 정할 때, \(A + B + C\)의 값을 구하시오. (단, \(A + B + C \neq 0\)) [4점] - 명제 ㄱ이 참이면 \(A = 100\), 거짓이면 \(A = 0\)이다. - 명제 ㄴ이 참이면 \(B = 10\), 거짓이면 \(B = 0\)이다. - 명제 ㄷ이 참이면 \(C = 1\), 거짓이면 \(C = 0\)이다. <보기> ㄱ. \(f(1) = 1\)이고 \(f(2) = 2\)이다. ㄴ. 실수 \(t\)의 값이 증가하면 \(f(t)\)의 값도 증가한다. ㄷ. 모든 양의 실수 \(t\)에 대하여 \(f(t) \geq t\)이다.

정수 \(a\) \((a \neq 0)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = x^3 - 2a x^2\) 이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 \(k\)의 값의 곱이 \(-12\)가 되도록 하는 \(a\)에 대하여 \(f'(10)\)의 값을 구하시오. [4점] 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} \times \dfrac{f(x_2) - f(x_3)}{x_2 - x_3} < 0\) 을 만족시키는 세 실수 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\)이 열린구간 \(\left(k, k + \dfrac{3}{2}\right)\)에 존재한다.

포물선 \(y^2 = -12(x - 1)\)의 준선을 \(x = k\)라 할 때, 상수 \(k\)의 값은? [2점]

한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점 A, B, C에 대하여 \(2 \overrightarrow{\text{AB}} + p \overrightarrow{\text{BC}} = q \overrightarrow{\text{CA}}\) 일 때, \(p - q\)의 값은? (단, \(p\)와 \(q\)는 실수이다.) [3점]

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD에서 \((\overrightarrow{\text{AB}} + k \overrightarrow{\text{BC}}) \cdot (\overrightarrow{\text{AC}} + 3k \overrightarrow{\text{CD}}) = 0\) 일 때, 실수 \(k\)의 값은? [3점]

두 초점이 F\((12, 0)\), F'\((-4, 0)\)이고, 장축의 길이가 24인 타원 \(C\)가 있다. \(\overline{\text{F'F}} = \overline{\text{F'P}}\)인 타원 \(C\) 위의 점 P에 대하여 선분 F'P의 중점을 Q라 하자. 한 초점이 F'인 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 이 점 Q를 지날 때, \(\overline{\text{PF}} + a^2 + b^2\)의 값은? (단, \(a\)와 \(b\)는 양수이다.) [3점]

포물선 \((y - 2)^2 = 8(x + 2)\) 위의 점 P와 점 A\((0, 2)\)에 대하여 \(\overline{\text{OP}} + \overline{\text{PA}}\)의 값이 최소가 되도록 하는 점 P를 P\(_0\)이라 하자. \(\overrightarrow{\text{OQ}} + \overrightarrow{\text{QA}} = \overrightarrow{\text{OP}_0} + \overrightarrow{\text{P}_0 \text{A}}\)를 만족시키는 점 Q에 대하여 점 Q의 \(y\)좌표의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M\), \(m\)이라 할 때, \(M^2 + m^2\)의 값은? (단, O는 원점이다.) [3점]

좌표평면의 네 점 A\((2, 6)\), B\((6, 2)\), C\((4, 4)\), D\((8, 6)\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 점 X의 집합을 \(S\)라 하자. (가) \((\overrightarrow{\text{OX}} - \overrightarrow{\text{OD}}) \cdot \overrightarrow{\text{OC}} \times {|\overrightarrow{\text{OX}} - \overrightarrow{\text{OC}}| - 3} = 0\) (나) 두 벡터 \(\overrightarrow{\text{OX}} - \overrightarrow{\text{OP}}\)와 \(\overrightarrow{\text{OC}}\)가 서로 평행하도록 하는 선분 AB 위의 점 P가 존재한다. 집합 \(S\)에 속하는 점 중에서 \(y\)좌표가 최대인 점을 Q, \(y\)좌표가 최소인 점을 R이라 할 때, \(\overrightarrow{\text{OQ}} \cdot \overrightarrow{\text{OR}}\)의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점]

두 점 F\((c, 0)\), F'\((-c, 0)\) \((c > 0)\)을 초점으로 하는 두 쌍곡선 \(C_1 : x^2 - \dfrac{y^2}{24} = 1\), \(C_2 : \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{21} = 1\) 이 있다. 쌍곡선 \(C_1\) 위에 있는 제2사분면 위의 점 P에 대하여 선분 PF'이 쌍곡선 \(C_2\)와 만나는 점을 Q라 하자. \(\overline{\text{PQ}} + \overline{\text{QF}}\), \(2 \overline{\text{PF'}}\), \(\overline{\text{PF}} + \overline{\text{PF'}}\)이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 PQ의 기울기는 \(m\)이다. \(60m\)의 값을 구하시오. [4점]

직선 \(2x + y = 0\) 위를 움직이는 점 P와 타원 \(2x^2 + y^2 = 3\) 위를 움직이는 점 Q에 대하여 \(\overrightarrow{\text{OX}} = \overrightarrow{\text{OP}} + \overrightarrow{\text{OQ}}\) 를 만족시키고, \(x\)좌표와 \(y\)좌표가 모두 0 이상인 모든 점 X가 나타내는 영역의 넓이는 \(\dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]