고2 2024년 3월 모의고사

두 다항식 \(A = 3x^2 + 2x - 1\), \(B = -x^2 + x + 3\)에 대하여 \(A + B\)를 간단히 하면? [2점]

\(1 + \dfrac{2}{1 - i}\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\)) [2점]

\({}_4 C_2\)의 값은? [2점]

그림은 함수 \(f : X \rightarrow X\)를 나타낸 것이다. \(f^{-1}(4)\)의 값은? [3점]

\(x\)에 대한 다항식 \(x^3 + a x^2 + 12\)를 \(x - 2\)로 나눈 나머지가 \(2a - 8\)일 때, 상수 \(a\)의 값은? [3점]

원 \((x + 5)^2 + (y + 11)^2 = 25\)를 \(y\)축의 방향으로 \(1\)만큼 평행이동한 후, \(x\)축에 대하여 대칭이동한 원이 점 \((0, a)\)를 지날 때, \(a\)의 값은? [3점]

연립부등식 \(\begin{cases} 2x + 1 < 3 \\ x^2 - 2x - 15 \leq 0 \end{cases}\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 개수는? [3점]

함수 \(y = \dfrac{b}{x - a}\)의 그래프가 점 \((2, 4)\)를 지나고 한 점근선의 방정식이 \(x = 4\)일 때, \(a - b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.) [3점]

두 직선 \(x + 3y + 2 = 0\), \(2x - 3y - 14 = 0\)의 교점을 지나고 직선 \(2x + y + 1 = 0\)과 평행한 직선의 \(x\)절편은? [3점]

삼차방정식 \(x^3 + x^2 - 2 = 0\)의 한 허근을 \(a + b i\)라 할 때, \(|a| + |b|\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 실수이고, \(i = \sqrt{-1}\)이다.) [3점]

전체집합 \(U = {1, 2, 4, 8, 16, 32}\)의 두 부분집합 \(A\), \(B\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A \cap B = {2, 8}\) (나) \(A^C \cup B = {1, 2, 8, 16}\) 집합 \(A\)의 모든 원소의 합은? [3점]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} (a + 7)x - 1 \quad (x < 1) \\ (-a + 5)x + 2a + 1 \quad (x \geq 1) \end{cases}\) 의 역함수가 존재하도록 하는 모든 정수 \(a\)의 개수는? [3점]

좌표평면에서 원 \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = r^2\)과 직선 \(y = x + 5\)가 서로 다른 두 점 A, B에서 만나고, \(\overline{A B} = 2\sqrt{2}\)이다. 양수 \(r\)의 값은? [3점]

그림과 같이 \(k > 1\)인 상수 \(k\)에 대하여 점 \(A(k, 0)\)을 지나고 \(y\)축에 평행한 직선이 두 곡선 \(y = \sqrt{x}\), \(y = \sqrt{k x}\)와 만나는 점을 각각 B, C라 하자. 삼각형 OBC의 넓이가 삼각형 OAB의 넓이의 2배일 때, 삼각형 OBC의 넓이는? (단, O는 원점이다.) [4점]

다음 조건을 만족시키는 복소수 \(z\)가 존재하도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값의 곱은? (단, \(\overline{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수이다.) [4점] (가) \(\overline{z} = -z\) (나) \(z^2 + (k^2 - 3k - 4)z + (k^2 + 2k - 8) = 0\)

그림과 같이 \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\overline{B C} = \sqrt{10}\), \(\overline{A B} = x\), \(\overline{A C} = y\)인 삼각형 ABC에 대하여 선분 AB 위에 점 P, 선분 BC 위에 두 점 Q, R, 선분 AC 위에 점 S를 사각형 PQRS가 정사각형이 되도록 잡는다. \(\overline{P Q} = \dfrac{2}{7} \sqrt{10}\)일 때, \(x^3 - y^3\)의 값은? (단, \(x > y\)) [4점]

두 양수 \(a\), \(k\)에 대하여 함수 \(f(x) = \dfrac{k}{x}\)의 그래프 위의 두 점 \(P(a, f(a))\), \(Q(a + 2, f(a + 2))\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(k\)의 값은? [4점] (가) 직선 PQ의 기울기는 \(-1\)이다. (나) 두 점 P, Q를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 각각 R, S라 할 때, 사각형 PQSR의 넓이는 \(8 \sqrt{5}\)이다.

그림과 같이 둥근 의자 3개와 사각 의자 3개가 교대로 나열되어 있다. 1학년 학생 2명, 2학년 학생 2명, 3학년 학생 2명이 다음 조건을 만족시키도록 이 6개의 의자에 모두 앉는 경우의 수는? [4점] (가) 2학년 학생은 사각 의자에만 앉는다. (나) 같은 학년 학생은 서로 이웃하여 앉지 않는다.

좌표평면 위의 두 점 \(A(0, 6)\), \(B(9, 0)\)에 대하여 선분 AB를 \(2 : 1\)로 내분하는 점을 P라 하자. 원 \(x^2 + y^2 - 2a x - 2b y = 0\)과 직선 AB가 점 P에서만 만날 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.) [4점]

집합 \(X = {1, 2, 3, 4}\)에 대하여 함수 \(f : X \rightarrow X\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합 X의 모든 원소 \(x\)에 대하여 \(x + f(f(x)) \leq 5\)이다. (나) 함수 \(f\)의 치역은 \({1, 2, 4}\)이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] ㄱ. \(f(f(4)) = 1\) ㄴ. \(f(3) = 4\) ㄷ. 가능한 함수 \(f\)의 개수는 4이다.

그림과 같이 두 직선 \(l_1 : y = m x\) \((m > 1)\)과 \(l_2 : y = \dfrac{1}{m} x\)에 동시에 접하는 원의 중심을 A라 하자. 직선 \(l_1\)과 원의 접점을 P, 직선 \(l_2\)와 원의 접점을 Q, 직선 PQ가 \(x\)축과 만나는 점을 R이라 할 때, 세 점 P, Q, R이 다음 조건을 만족시킨다. [4점] (가) \(\overline{P Q} = \overline{Q R}\) (나) 삼각형 OPQ의 넓이는 24이다. 직선 \(l_1\)과 직선 AQ의 교점을 B라 할 때, 선분 BQ의 길이는? (단, O는 원점이다.)

두 집합 \(A = {3, 8, 12}\), \(B = {3, 5, 9}\)에 대하여 집합 \(A - B\)의 모든 원소의 합을 구하시오. [3점]

좌표평면 위의 두 점 \(A(3, 3)\), \(B(7, 11)\)에 대하여 선분 AB를 \(2 : 1\)로 외분하는 점의 좌표가 \((a, b)\)일 때, \(a + b\)의 값을 구하시오. [3점]

직선 \(y = -x + k\)가 이차함수 \(y = x^2 - 2x + 6\)의 그래프와 만나도록 하는 자연수 \(k\)의 최솟값을 구하시오. [3점]

좌표평면 위의 점 \(A(3, -1)\)을 \(x\)축의 방향으로 \(1\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(-4\)만큼 평행이동한 점을 B라 하자. 직선 AB를 \(x\)축의 방향으로 \(3\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(1\)만큼 평행이동한 직선의 \(y\)절편을 구하시오. [3점]

실수 \(x\)에 대한 두 조건 \(p : 2x - a = 0\), \(q : x^2 - b x + 9 > 0\)이 있다. 명제 \(p \rightarrow \tilde{q}\)와 명제 \(\tilde{p} \rightarrow q\)가 모두 참이 되도록 하는 두 양수 \(a\), \(b\)의 값의 합을 구하시오. [4점]

집합 \(X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \(f : X \rightarrow X\)의 개수를 구하시오. [4점] (가) \(x_1 \in X\), \(x_2 \in X\)인 임의의 \(x_1\), \(x_2\)에 대하여 \(1 \leq x_1 < x_2 \leq 4\)이면 \(f(x_1) > f(x_2)\)이다. (나) 함수 \(f\)의 역함수가 존재하지 않는다.

1보다 큰 자연수 \(k\)에 대하여 전체집합 \(U = {x | x\text{는 }k\text{ 이하의 자연수}}\)의 두 부분집합 \(A = {x | x\text{는 }k\text{ 이하의 짝수}}\), \(B = {x | x\text{는 }k\text{의 약수}}\)가 \(n(A) \times n((A \cup B)^C) = 15\)를 만족시킨다. 집합 \((A \cup B)^C\)의 모든 원소의 곱을 구하시오. [4점]

다항식 \(f(x) = x^4 + (a + 2)x^3 + b x^2 + a x + 6\)과 최고차항의 계수가 1이고 계수와 상수항이 모두 실수인 두 다항식 \(g(x)\), \(h(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. [4점] (가) 방정식 \(f(x) = 0\)은 실근을 갖지 않는다. (나) 다항식 \(f(x)\)는 두 다항식 \(g(x)\), \(h(x)\)를 인수로 갖고, \(h(x)\)를 \(g(x)\)로 나눈 나머지는 \(-4x - 1\)이다. \(a^2 + b^2\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = \sqrt{-x + a} - b\)라 하자. 함수 \(g(x) = \begin{cases} |f(x)| + b \quad (x \leq a) \\ -f(-x + 2a) + |b| \quad (x > a) \end{cases}\) 와 두 실수 \(\alpha\), \(\beta\) \((\alpha < \beta)\)는 다음 조건을 만족시킨다. [4점] (가) 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 직선 \(y = t\)의 교점의 개수를 \(h(t)\)라 하면 \(h(\alpha) \times h(\beta) = 4\)이다. (나) 방정식 \({g(x) - \alpha}{g(x) - \beta} = 0\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 최솟값은 \(-30\), 최댓값은 \(15\)이다. \({g(150)}^2\)의 값을 구하시오.