성복고 심화탐구

함수 \(f(x) = x^3 + a x^2 + b x + 1\)이 구간 \((-3, 0)\)에서 감소하고 구간 \((0, \infty)\)에서 증가할 때, \(f(1)\)의 최솟값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

자연수 \(n\)에 대하여 닫힌구간 \([n, n+2]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x + 5\)가 있다. 함수 \(f(x)\)가 일대일 함수가 되도록 하는 10 이하의 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하시오.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = x^3 + x^2 + |x - a| + 2\)의 역함수가 존재하도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값은?

최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(f(x)\)는 \(x = 3\)에서 극댓값 0을 갖는다. (나) 방정식 \(f(x) = 0\)의 세 실근을 작은 것부터 차례로 나열하면 등차수열을 이룬다. 함수 \(f(x)\)의 극솟값이 \(-16\)일 때, \(f(0)\)의 값은?

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)와 함수 \(g(x) = x + 3\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 함수 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\)의 그래프는 서로 다른 두 점에서 만난다. (나) 함수 \(|f(x) - g(x)|\)는 \(x = 1\)에서만 미분가능하지 않다. (다) 함수 \(|f(x) - g(x)|\)는 \(x = 0\)에서 극댓값을 갖는다. \(f(2)\)의 값은?

닫힌구간 \([0, 4]\)에서 함수 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + a\)의 최솟값이 \(-18\)이고 최댓값이 \(M\)일 때, \(a + M\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

방정식 \(3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x - k = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 3이 되도록 하는 모든 상수 \(k\)의 값의 합은?

두 함수 \(f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 7x\), \(g(x) = 2x^2 + 5x + a\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) = g(x)\)가 서로 다른 세 실근을 갖고 세 실근의 곱이 양수가 되도록 하는 모든 정수 \(a\)의 개수는?

두 함수 \(f(x) = \begin{cases} 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1 & (x \geq 0) \\ 1 - x & (x < 0) \end{cases}\), \(g(x) = m x + 1\)이 있다. 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(f(x) \geq g(x)\)가 성립하도록 하는 실수 \(m\)의 최댓값과 최솟값의 합은?

두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{3}x^3 - a x^2 - b x & (x < 0) \\ \dfrac{1}{3}x^3 + a x^2 - b x & (x \geq 0) \end{cases}\)이 구간 \((-\infty, -1]\)에서 감소하고 구간 \([-1, \infty)\)에서 증가할 때, \(a + b\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 하자. \(M - m\)의 값은?

\(a > 0\)인 상수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = |(x^2 - 9)(x + a)|\)가 오직 한 개의 \(x\)의 값에서만 미분가능하지 않을 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값은?

두 양수 \(p\), \(q\)와 함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 12\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x g(x) = |x f(x - p) + q x|\)이다. (나) 함수 \(g(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능하지 않은 실수 \(a\)의 개수는 1이다.

삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(1) = f(3) = 0\) (나) 집합 \(\{x | x \geq 1 \text{ 이고 } f'(x) = 0\}\)의 원소의 개수는 1이다. 상수 \(a\)에 대하여 함수 \(g(x) = |f(x) f(a - x)|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, \(\dfrac{g(4a)}{f(0) \times f(4a)}\)의 값을 구하시오.

이차함수 \(g(x) = x^2 - 6x + 10\)에 대하여 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값의 합은? (가) 방정식 \(f(x) = 0\)은 서로 다른 세 실근을 갖는다. (나) 함수 \((g \circ f)(x)\)의 최솟값을 \(m\)이라 할 때, 방정식 \(g(f(x)) = m\)의 서로 다른 실근의 개수는 2이다. (다) 방정식 \(g(f(x)) = 17\)은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

삼차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x f(x) - f(x) = 3x^4 - 3x\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) d x\)의 값은?

함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = 4x^3 + x \displaystyle\int_{0}^{1} f(t) d t\)를 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값은?

이차함수 \(f(x)\)는 \(f(0) = -1\)이고, \(\displaystyle\int_{-1}^1 f(x) d x = \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x = \displaystyle\int_{-1}^0 f(x) d x\)를 만족시킨다. \(f(2)\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)의 한 부정적분 \(F(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(F(x) = (x + 2) f(x) - x^3 + 12x\)를 만족시킨다. \(F(0) = 30\)일 때, \(f(2)\)의 값은?

임의의 실수 \(x\), \(y\)에 대하여 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + x y(x + y)\)를 만족시킨다. \(f'(0) = 1\)일 때, \(f(-1)\)의 값은?

삼차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(-x) = -f(x)\) (나) \(f'(x) \leq 0\) \(\displaystyle\int_{-1}^1 {x f'(x) + |f(x)|} d x = k \times \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x\)일 때, 상수 \(k\)의 값은?

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 3x + a & (x < 0) \\ 3x + a & (x \geq 0) \end{cases}\)이다. 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{-4}^x f(t) d t\)가 \(x = 2\)에서 극솟값을 가질 때, 함수 \(g(x)\)의 극댓값은?

최고차항의 계수가 1이고 \(f'(2) = 0\)인 이차함수 \(f(x)\)가 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{4}^{n} f(x) d x \geq 0\)을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. \(f(2) < 0\) ㄴ. \(\displaystyle\int_{4}^{3} f(x) d x > \displaystyle\int_{4}^{2} f(x) d x\) ㄷ. \(6 \leq \displaystyle\int_{4}^{6} f(x) d x \leq 14\)

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 \(f(x) = x\)이다. (나) 어떤 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 구간 \([0, \infty)\)에서 \(f(x + 1) - x f(x) = a x + b\)이다. \(60 \times \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{f(x) + f(-x)}{x^2} = 3\) (나) \(f(0) = -1\) \(\displaystyle\int_{-3}^3 f(x) d x\)의 값은?

구간 \([0, 8]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} -x(x - 4) & (0 \leq x < 4) \\ x - 4 & (4 \leq x \leq 8) \end{cases}\)이다. 실수 \(a\) \((0 \leq a \leq 4)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{a}^{a+4} f(x) d x\)의 최솟값은 \(\dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

최고차항의 계수가 4인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 0\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{1}{x - 1} \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t = k\)가 성립할 때, \(f(k + 3)\)의 값을 구하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)

닫힌구간 \([0, 4]\)에서 정의된 연속함수 \(f(x)\)가 \(0 \leq x < 2\)일 때 \(|f(x)| = |x - 1|\), \(2 \leq x \leq 4\)일 때 \(|f(x)| = |x - 3|\)을 만족시킨다. 열린구간 \((0, 4)\)에서 정의된 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{1}^{x} f(t) d t + \displaystyle\int_{3}^{x} f(t) d t\)라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. 가능한 함수 \(f\)의 개수는 16이다. ㄴ. \(|g(2)| + |g'(2)| = 2\) ㄷ. 함수 \(g(x)\)가 \(x = \alpha\) \((1 < \alpha < 4)\)에서만 극값을 가지고 \(g(\alpha) > 0\)일 때, \(\alpha + g(\alpha) = 4\)이다.

사차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(y = f'(x)\)의 그래프가 그림과 같고, \(f'(-\sqrt{2}) = f'(0) = f'(\sqrt{2}) = 0\)이다. \(f(0) = 1\), \(f(\sqrt{2}) = -3\)일 때, \(f(m) f(m + 1) < 0\)을 만족시키는 모든 정수 \(m\)의 값의 합은?

함수 \(f(x) = \dfrac{1}{2} x^3\)의 그래프 위의 점 \(P(a, b)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축 및 직선 \(x = 1\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_1\), 곡선 \(y = f(x)\)와 두 직선 \(x = 1\), \(y = b\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_2\)라 하자. \(S_1 = S_2\)일 때, \(30a\)의 값은? (단, \(a > 1\))

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = t^3 - a t\)이다. 시각 \(t = 2\)에서 점 P의 위치가 시각 \(t = 4\)에서 점 P의 위치와 같을 때, 상수 \(a\)의 값은?

두 양수 \(a\), \(b\) \((a < b)\)에 대하여 함수 \(f(x) = (x - a)(x - b)\)라 하자. \(\displaystyle\int_{0}^{a} f(x) d x = \dfrac{11}{6}\), \(\displaystyle\int_{0}^{b} f(x) d x = -\dfrac{8}{3}\)일 때, 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

함수 \(f(x) = x^2 - 4x - 3\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, -6)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하고, 함수 \(g(x) = (x^3 - 2x) f(x)\)에 대하여 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((1, 6)\)에서의 접선을 \(m\)이라 하자. 두 직선 \(l\), \(m\)과 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = f(x - 3) + 4\)이다. (나) \(\displaystyle\int_{0}^{6} f(x) d x = 0\) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = 6\), \(x = 9\)로 둘러싸인 부분의 넓이는?

양수 \(a\)에 대하여 삼차함수 \(f(x) = -x(x + a)(x - a)\)의 극대점의 \(x\)좌표를 \(b\)라 하자. \(\displaystyle\int_{-b}^a f(x) d x = A\), \(\displaystyle\int_{b}^{a+b} f(x - b) d x = B\)일 때, \(\displaystyle\int_{-b}^a |f(x)| d x\)의 값은?

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f(0) = 0\)이고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(1 - x) = -f(1 + x)\)를 만족시킨다. 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = -6x^2\)으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(4S\)의 값은?

최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(-x) = -f'(x)\)를 만족시킨다. \(f'(1) = 0\), \(f(1) = 2\)일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. \(f'(-1) = 0\) ㄴ. 모든 실수 \(k\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{-k}^0 f(x) d x = \displaystyle\int_{0}^{k} f(x) d x\) ㄷ. \(0 < t < 1\)인 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{-t}^t f(x) d x < 6t\)

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{t} f(x) d x = \displaystyle\int_{2a-t}^{2a} f(x) d x\)이다. (나) \(\displaystyle\int_{a}^{2} f(x) d x = 2\), \(\displaystyle\int_{a}^{2} |f(x)| d x = \dfrac{22}{9}\) \(f(k) = 0\)이고 \(k < a\)인 실수 \(k\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{k}^{2} f(x) d x = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

시각 \(t = 0\)일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = \begin{cases} -t^2 + t + 2 & (0 \leq t \leq 3) \\ k(t - 3) - 4 & (t > 3) \end{cases}\)이다. 출발한 후 점 P의 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각에서의 점 P의 위치가 1일 때, 양수 \(k\)의 값을 구하시오.

실수 \(a\) \((a \geq 0)\)에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)를 \(v(t) = -t(t - 1)(t - a)(t - 2a)\)라 하자. 점 P가 시각 \(t = 0\)일 때 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸도록 하는 \(a\)에 대하여, 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 2\)까지 점 P의 위치의 변화량의 최댓값은?

함수 \(f(x) = \dfrac{1}{9} x(x - 6)(x - 9)\)와 실수 \(t\) \((0 < t < 6)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} f(x) & (x < t) \\ -(x - t) + f(t) & (x \geq t) \end{cases}\)이다. 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이의 최댓값은?

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} t f(t) d t\)라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. \(g'(0) = 0\) ㄴ. 양수 \(\alpha\)에 대하여 \(g(\alpha) = 0\)이면 방정식 \(f(x) = 0\)은 열린 구간 \((0, \alpha)\)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. ㄷ. 양수 \(\beta\)에 대하여 \(f(\beta) = g(\beta) = 0\)이면 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{\beta}^{x} t f(t) d t \geq 0\)이다.

최고차항의 계수가 양수이고 \(f(0) = 0\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (|f(t)| - |t|) d t\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 \(g'(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수는 4이다. (나) 함수 \(g(x)\)는 \(x = 2\), \(x = 6\)에서 극값을 갖는다. \(f(6) \times g(2) < 0\)일 때, \(f(8)\)의 값은?