2022년 7월 고3 학력평가

\(3^{2 \sqrt{2}} \times 9^{1-\sqrt{2}}\)의 값은?

등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_2 = \dfrac{1}{2}\), \(a_3 = 1\)일 때, \(a_5\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + 2x + 7\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1+} f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} x - 1 & \quad \text{if } x < 2 \\ x^2 - a x + 3 & \quad \text{if } x \geq 2 \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\sin \theta = \dfrac{4}{5}\)일 때, \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) - \cos(\pi + \theta)\)의 값은?

첫째항이 \(\dfrac{1}{2}\)인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} a_n + 1 & \quad \text{if } a_n < 0 \\ -2 a_n + 1 & \quad \text{if } a_n \geq 0 \end{cases}\)일 때, \(a_{10} + a_{20}\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)/x^2 = 2\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} f\dfrac{x}{x - 1} = 3\)을 만족시킬 때, \(f(3)\)의 값은?

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\int_{0}^{1} f'(x) d x = \displaystyle\int_{0}^{2} f'(x) d x = 0\)을 만족시킬 때, \(f'(1)\)의 값은?

곡선 \(y = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} x\right)\) \((0 \leq x \leq 5)\)가 직선 \(y = k\) \((0 < k < 1)\)과 만나는 서로 다른 세 점을 \(y\)축에서 가까운 순서대로 \(A\), \(B\), \(C\)라 하자. 세 점 \(A\), \(B\), \(C\)의 \(x\)좌표의 합이 \(\dfrac{25}{4}\)일 때, 선분 \(A B\)의 길이는?

기울기가 \(\dfrac{1}{2}\)인 직선 \(l\)이 곡선 \(y = \log_2 2x\)와 서로 다른 두 점에서 만날 때, 만나는 두 점 중 \(x\)좌표가 큰 점을 \(A\)라 하고, 직선 \(l\)이 곡선 \(y = \log_2 4x\)와 만나는 두 점 중 \(x\)좌표가 큰 점을 \(B\)라 하자. \(\overline{A B} = 2 \sqrt{5}\)일 때, 점 \(A\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발 \(C\)에 대하여 삼각형 \(A C B\)의 넓이는?

첫째항이 2인 수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. 다음은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{3 S_k}{k+2} = S_n\)이 성립할 때, \(a_{10}\)의 값을 구하는 과정이다. \(n \geq 2\)인 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = S_n - S_{n-1} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{3 S_k}{k+2} - \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{3 S_k}{k+2} = \dfrac{3 S_n}{n+2}\)이므로 \(3 S_n = (n+2) \times a_n\) \((n \geq 2)\)이다. \(S_1 = a_1\)에서 \(3 S_1 = 3 a_1\)이므로 \(3 S_n = (n+2) \times a_n\) \((n \geq 1)\)이다. \(3 a_n = 3(S_n - S_{n-1}) = (n+2) \times a_n - (\text{(가)}) \times a_{n-1}\) \((n \geq 2)\)이므로 \(\dfrac{a_n}{a_}{n-1} = \text{(나)}\) \((n \geq 2)\)이다. 따라서 \(a_{10} = a_1 \times \dfrac{a_2}{a_1} \times \dfrac{a_3}{a_2} \times \ldots \times a_{10}/a_9 = \text{(다)}\)이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(n)\), \(g(n)\)이라 하고, (다)에 알맞은 수를 \(p\)라 할 때, \(f(p)/g(p)\)의 값은?

최고차항의 계수가 1이고 \(f(0) = \dfrac{1}{2}\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \begin{cases} f(x) & \quad \text{if } x < -2 \\ f(x) + 8 & \quad \text{if } x \geq -2 \end{cases}\)라 하자. 방정식 \(g(x) = f(-2)\)의 실근이 2뿐일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값은?

길이가 14인 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 반원의 호 \(A B\) 위에 점 \(C\)를 \(\overline{B C} = 6\)이 되도록 잡는다. 점 \(D\)가 호 \(A C\) 위의 점일 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 점 \(D\)는 점 \(A\)와 점 \(C\)가 아닌 점이다.) <보기> ㄱ. \(\sin(\angle C B A) = (2 \sqrt{10})/7\) ㄴ. \(\overline{C D} = 7\)일 때, \(\overline{A D} = -3 + 2 \sqrt{30}\) ㄷ. 사각형 \(A B C D\)의 넓이의 최댓값은 \(20 \sqrt{10}\)이다.

최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} f(x+2) & \quad \text{if } x < 0 \\ \displaystyle\int_{0}^{x} t f(t) d t & \quad \text{if } x \geq 0 \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(h(x)\)를 \(h(x) = |g(x) - g(a)|\)라 할 때, 함수 \(h(x)\)가 \(x = k\)에서 미분가능하지 않은 실수 \(k\)의 개수가 1이 되도록 하는 모든 \(a\)의 값의 곱은?

\(\log_3 7 \times \log_7 9\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 6 x^2 - 2 x - 1\)이고 \(f(1) = 3\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

시각 \(t = 0\)일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = 3 t^2 + 6 t - a\)이다. 시각 \(t = 3\)에서의 점 \(P\)의 위치가 6일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

\(n \geq 2\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(2 n^2 - 9 n\)의 \(n\)제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(f(3) + f(4) + f(5) + f(6)\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 3인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = x^2 \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t - \displaystyle\int_{0}^{x} t^2 f(t) d t\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)는 극값을 갖지 않는다. (나) 방정식 \(g'(x) = 0\)의 모든 실근은 \(0\), \(3\)이다. \(\displaystyle\int_{0}^{3} |f(x)| d x\)의 값을 구하시오.

수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{2 n} a_k = 17 n\) (나) \(|a_{n+1} - a_n| = 2 n - 1\) \(a_2 = 9\)일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} a_{2 n}\)의 값을 구하시오.

삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((0, 0)\)에서의 접선의 방정식을 \(y = g(x)\)라 할 때, 함수 \(h(x)\)를 \(h(x) = |f(x)| + g(x)\)라 하자. 함수 \(h(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 곡선 \(y = h(x)\) 위의 점 \((k, 0)\) \((k \neq 0)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = 0\)이다. (나) 방정식 \(h(x) = 0\)의 실근 중에서 가장 큰 값은 12이다. \(h(3) = -\dfrac{9}{2}\)일 때, \(k \times {h(6) - h(11)}\)의 값을 구하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)

\(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{n^4 + 5n^2 + 5} - n^2)\)의 값은?

\(\displaystyle\int_{1}^{e} \left(\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right) \ln x d x - \displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{2}{x^2} \ln x d x\)의 값은?

매개변수 \(t\) \((t > 0)\)으로 나타내어진 곡선 \(x = t^2 \ln t + 3t\), \(y = 6t e^{t-1}\)에서 \(t = 1\)일 때, \(\dfrac{d y}{d x}\)의 값은?

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대하여 \(f(x)\)가 함수 \(g(x)\)의 역함수이고, \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{f(x) - 2}{x - 2} = \dfrac{1}{3}\)이다. 함수 \(h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}\)라 할 때, \(h'(2)\)의 값은?

그림과 같이 \(\overline{A_1 B_1} = 1\), \(\overline{B_1 C_1} = 2\)인 직사각형 \(A_1 B_1 C_1 D_1\)이 있다. 선분 \(A_1 D_1\)의 중점 \(E_1\)에 대하여 두 선분 \(B_1 D_1\), \(C_1 E_1\)이 만나는 점을 \(F_1\)이라 하자. \(\overline{G_1 E_1} = \overline{G_1 F_1}\)이 되도록 선분 \(B_1 D_1\) 위에 점 \(G_1\)을 잡아 삼각형 \(G_1 F_1 E_1\)을 그린다. 두 삼각형 \(C_1 D_1 F_1\), \(G_1 F_1 E_1\)로 만들어진 ▶ 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\)이라 하자. 그림 \(R_1\)에서 선분 \(B_1 F_1\) 위의 점 \(A_2\), 선분 \(B_1 C_1\) 위의 두 점 \(B_2\), \(C_2\), 선분 \(C_1 F_1\) 위의 점 \(D_2\)를 꼭짓점으로 하고 \(\overline{A_2 B_2} : \overline{B_2 C_2} = 1 : 2\)인 직사각형 \(A_2 B_2 C_2 D_2\)를 그린다. 직사각형 \(A_2 B_2 C_2 D_2\)에 그림 \(R_1\)을 얻은 것과 같은 방법으로 ▶ 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\)라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} S_n\)의 값은?

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(-x) = f(x)\) (나) \(f(x + 2) = f(x)\) \(\displaystyle\int_{-1}^5 f(x)(x + \cos 2 \pi x) d x = \dfrac{47}{2}\), \(\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x = 2\)일 때, \(\displaystyle\int_{0}^{1} f'(x) \sin 2 \pi x d x\)의 값은?

그림과 같이 길이가 \(2\)인 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 반원의 호 \(A B\) 위에 점 \(P\)가 있다. 호 \(A P\) 위에 점 \(Q\)를 호 \(P B\)와 호 \(P Q\)의 길이가 같도록 잡을 때, 두 선분 \(A P\), \(B Q\)가 만나는 점을 \(R\)라 하고 점 \(B\)를 지나고 선분 \(A B\)에 수직인 직선이 직선 \(A P\)와 만나는 점을 \(S\)라 하자. \(\angle B A P = \theta\)라 할 때, 두 선분 \(P R\), \(Q R\)와 호 \(P Q\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(f(\theta)\), 두 선분 \(P S\), \(B S\)와 호 \(B P\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(g(\theta)\)라 하자. \(\operatorname*{lim}\limits_{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{f(\theta) + g(\theta)}{\theta^3}\)의 값을 구하시오. (단, \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}\))

최고차항의 계수가 \(3\)보다 크고 실수 전체의 집합에서 최솟값이 양수인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)가 \(g(x) = e^x f(x)\)이다. 양수 \(k\)에 대하여 집합 \(\{x | g(x) = k, x \in RR\}\)의 모든 원소의 합을 \(h(k)\)라 할 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(h(k)\)는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(h(k)\)가 \(k = t\)에서 불연속인 \(t\)의 개수는 \(1\)이다. (나) \(\operatorname*{lim}\limits_{k \rightarrow 3e+} h(k) - \operatorname*{lim}\limits_{k \rightarrow 3e-} h(k) = 2\) \(g(-6) \times g(2)\)의 값을 구하시오. (단, \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -\infty} x^2 e^x = 0\))

두 벡터 \(\overrightarrow{a} = (2m-1, 3m+1)\), \(\overrightarrow{b} = (3, 12)\)가 서로 평행할 때, 실수 \(m\)의 값은?

포물선 \(y^2 = 4x\) 위의 점 \((9, 6)\)에서의 접선과 포물선의 준선이 만나는 점이 \((a, b)\)일 때, \(a+b\)의 값은?

좌표평면에서 두 점 \(A(-2, 0)\), \(B(3, 3)\)에 대하여 \((\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OP} - 2 \overrightarrow{OB}) = 0\)을 만족시키는 점 \(P\)가 나타내는 도형의 길이는? (단, \(O\)는 원점이다.)

두 초점이 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\) \((c > 0)\)인 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{k} = 1\) 위의 제1사분면에 있는 점 \(P\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점의 \(x\)좌표가 \(\dfrac{4}{3}\)이다. \(\overline{P F'} = \overline{F F'}\)일 때, 양수 \(k\)의 값은?

공간에서 수직으로 만나는 두 평면 \(\alpha\), \(\beta\)의 교선 위에 두 점 \(A\), \(B\)가 있다. 평면 \(\alpha\) 위에 \(\overline{A C} = 2 \sqrt{29}\), \(\overline{B C} = 6\)인 점 \(C\)와 평면 \(\beta\) 위에 \(\overline{A D} = \overline{B D} = 6\)인 점 \(D\)가 있다. \(\angle A B C = \dfrac{\pi}{2}\)일 때, 직선 \(C D\)와 평면 \(\alpha\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 하자. \(\cos \theta\)의 값은?

그림과 같이 \(F(6, 0)\), \(F'(-6, 0)\)을 두 초점으로 하는 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)이 있다. 점 \(A\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)\)에 대하여 \(\angle F P A = \angle F' P A\)를 만족시키는 타원의 제1사분면 위의 점을 \(P\)라 할 때, 점 \(F\)에서 직선 \(A P\)에 내린 수선의 발을 \(B\)라 하자. \(\overline{O B} = \sqrt{3}\)일 때, \(a \times b\)의 값은? (단, \(a > 0\), \(b > 0\)이고 \(O\)는 원점이다.)

평면 위에 한 변의 길이가 \(6\)인 정삼각형 \(A B C\)의 무게중심 \(O\)에 대하여 \(\overrightarrow{O D} = \dfrac{3}{2} \overrightarrow{O B} - \dfrac{1}{2} \overrightarrow{O C}\)를 만족시키는 점을 \(D\)라 하자. 선분 \(C D\) 위의 점 \(P\)에 대하여 \(|2 \overrightarrow{P A} + \overrightarrow{P D}|\)의 값이 최소가 되도록 하는 점 \(P\)를 \(Q\)라 하자. \(|\overrightarrow{O R}| = |\overrightarrow{O A}|\)를 만족시키는 점 \(R\)에 대하여 \(\overrightarrow{Q A} \cdot \overrightarrow{Q R}\)의 최댓값이 \(p + q \sqrt{93}\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\), \(q\)는 유리수이다.)

공간에서 중심이 \(O\)이고 반지름의 길이가 \(4\)인 구와 점 \(O\)를 지나는 평면 \(\alpha\)가 있다. 평면 \(\alpha\)와 구가 만나서 생기는 원 위의 서로 다른 세 점 \(A\), \(B\), \(C\)에 대하여 두 직선 \(O A\), \(B C\)가 서로 수직일 때, 구 위의 점 \(P\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\angle P A O = \dfrac{\pi}{3}\) (나) 점 \(P\)의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영은 선분 \(O A\) 위에 있다. \(\cos(\angle P A B) = \dfrac{\sqrt{10}}{8}\)일 때, 삼각형 \(P A B\)의 평면 \(P A C\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\)라 하자. \(30 \times S^2\)의 값을 구하시오. (단, \(0 < \angle B A C < \dfrac{\pi}{2}\))

다항식 \((4x+1)^6\)의 전개식에서 \(x\)의 계수는?

확률변수 \(X\)가 이항분포 \(B\left(n, \dfrac{1}{3}\right)\)을 따르고 \(E(3X-1)=17\)일 때, \(V(X)\)의 값은?

흰 공 4개, 검은 공 4개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 4개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공 중 검은 공이 2개 이상일 확률은?

세 문자 \(a, b, c\) 중에서 모든 문자가 한 개 이상씩 포함되도록 중복을 허락하여 5개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는?

주머니 \(A\)에는 숫자 \(1, 1, 2, 2, 3, 3\)이 하나씩 적혀 있는 6장의 카드가 들어 있고, 주머니 \(B\)에는 \(3, 3, 4, 4, 5, 5\)가 하나씩 적혀 있는 6장의 카드가 들어 있다. 두 주머니 \(A, B\)와 3개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다. 3개의 동전을 동시에 던져 앞면이 나오는 동전의 개수가 3이면 주머니 \(A\)에서 임의로 2장의 카드를 동시에 꺼내고, 앞면이 나오는 동전의 개수가 2 이하이면 주머니 \(B\)에서 임의로 2장의 카드를 동시에 꺼낸다. 이 시행을 한 번 하여 주머니에서 꺼낸 2장의 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 소수일 확률은?

두 집합 \(X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 \(X\)에서 \(Y\)로의 함수 \(f\)의 개수는? (가) \(\sqrt{f(1) \times f(2) \times f(3)}\)의 값은 자연수이다. (나) 집합 \(X\)의 임의의 두 원소 \(x_1, x_2\)에 대하여 \(x_1 < x_2\)이면 \(f(x_1) \leq f(x_2)\)이다.

두 연속확률변수 \(X\)와 \(Y\)가 갖는 값의 범위는 각각 \(0 \leq X \leq a\), \(0 \leq Y \leq a\)이고, \(X\)와 \(Y\)의 확률밀도함수를 각각 \(f(x), g(x)\)라 하자. \(0 \leq x \leq a\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 두 함수 \(f(x), g(x)\)는 \(f(x) = b\), \(g(x) = P(0 \leq X \leq x)\)이다. \(P(0 \leq Y \leq c) = \dfrac{1}{2}\)일 때, \((a+b) \times c^2\)의 값을 구하시오. (단, \(a, b, c\)는 상수이다.)

각 면에 숫자 \(1, 1, 2, 2, 2, 2\)가 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 6번 던질 때, \(n (1 \leq n \leq 6)\)번째에 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수를 \(a_n\)이라 하자. \(a_1 + a_2 + a_3 > a_4 + a_5 + a_6\)일 때, \(a_1 = a_4 = 1\)일 확률은 \(\dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)