2021년 9월 고1 학력평가

두 다항식 \(A = x^2 - x + 1\), \(B = -x^2 + 2x\)에 대하여 \(A + B\)는?

등식 \(x^2 + (a-1)x - 1 = x^2 + 2x + b\)가 \(x\)에 대한 항등식일 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값은?

좌표평면 위의 두 점 \(P(1, 2)\), \(Q(-2, 1)\) 사이의 거리는?

등식 \((2+3i)(1-i) = a+bi\)를 만족시키는 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))

좌표평면 위의 세 점 \(A(a, 3)\), \(B(-2, 5)\), \(C(3, b)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(ABC\)의 무게중심의 좌표가 \((1, 2)\)일 때, \(a+b\)의 값은?

연립부등식 \(\begin{cases} x+3 < 3x \\ 3x+4 < 2x+8 \end{cases}\)의 해가 \(a < x < b\)일 때, \(ab\)의 값은?

다항식 \((x^2+1)^2 + 3(x^2+1) + 2\)가 \((x^2+a)(x^2+b)\)로 인수분해될 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값은?

부등식 \(|2x-1| \leq 5\)를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 개수는?

좌표평면 위의 점 \((1, a)\)를 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 점을 \(A\)라 하자. 점 \(A\)를 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표가 \((2, b)\)일 때, \(a+b\)의 값은?

원 \(x^2+y^2 = 10\) 위의 점 \((3, 1)\)에서의 접선의 \(y\)절편은?

연립방정식 \(\begin{cases} 4x^2-4xy+y^2=0 \\ x+2y-10=0 \end{cases}\)의 해를 \(x=\alpha\), \(y=\beta\)라 할 때, \(\alpha+\beta\)의 값은?

계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 \(2-3i\)이고 다른 한 근을 \(\alpha\)라 하자. 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(\dfrac{1}{\alpha} = a+bi\)일 때, \(a+b\)의 값은? (단, \(i=\sqrt{-1}\))

직선 \(y=x+k\)가 이차함수 \(y=x^2-2x+4\)의 그래프와 만나고, 이차함수 \(y=x^2-5x+15\)의 그래프와 만나지 않도록 하는 모든 정수 \(k\)의 개수는?

이차방정식 \(x^2+2x+3=0\)의 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\dfrac{1}{\alpha^2+3\alpha+3} + \dfrac{1}{\beta^2+3\beta+3}\)의 값은?

그림과 같이 최고차항의 계수의 절댓값이 같은 세 이차함수 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\), \(y=h(x)\)의 그래프가 있다. 방정식 \(f(x)+g(x)+h(x)=0\)의 모든 근의 합은?

그림과 같이 두 직선 \(l_1: 2x-y+1=0\), \(l_2: x+y-4=0\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 부분에 직사각형이 있다. 이 직사각형의 한 변은 \(x\)축 위에 있고 두 꼭짓점은 각각 직선 \(l_1, l_2\) 위에 있을 때, 직사각형의 넓이의 최댓값은?

그림과 같이 중심이 제1사분면 위에 있고 \(x\)축과 점 \(P\)에서 접하며 \(y\)축과 두 점 \(Q, R\)에서 만나는 원이 있다. 점 \(P\)를 지나고 기울기가 \(2\)인 직선이 원과 만나는 점 중 \(P\)가 아닌 점을 \(S\)라 할 때, \(\overline{QR} = \overline{PS} = 4\)를 만족시킨다. 원점 \(O\)와 원의 중심 사이의 거리는?

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 \(A(0, 1)\), \(B(1, 0)\)이 있다. 양수 \(n\)과 원점 \(O\)에 대하여 선분 \(OA\)를 \(1:n\)으로 내분하는 점을 \(P\), 선분 \(OB\)를 \(1:n\)으로 내분하는 점을 \(Q\), 선분 \(AQ\)와 선분 \(BP\)가 만나는 점을 \(R\)라 하자. 다음은 사각형 \(POQR\)의 넓이가 \(\dfrac{1}{42}\)일 때, \(n\)의 값을 구하는 과정이다. 점 \(P\)의 좌표는 \(\left(0, \dfrac{1}{n+1}\right)\), 점 \(Q\)의 좌표는 \(\left(\dfrac{1}{n+1}, 0\right)\)이다. 직선 \(AQ\)의 방정식은 \(y = -(n+1)x+1\), 직선 \(BP\)의 방정식은 \(y = \) (가) \(\times x + \dfrac{1}{n+1}\)이다. 두 직선 \(AQ, BP\)가 만나는 점 \(R\)의 \(x\)좌표는 (나)이고 삼각형 \(POR\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{n+1} \times \) (나) 이다. 두 삼각형 \(POR\)와 삼각형 \(QOR\)에서 선분 \(OR\)가 공통이고 \(\overline{OP}=\overline{OQ}\), \(\angle POR = \angle QOR\)이므로 삼각형 \(POR\)와 삼각형 \(QOR\)는 합동이다. 따라서 사각형 \(POQR\)의 넓이는 삼각형 \(POR\)의 넓이의 \(2\)배이므로 \(n=\) (다) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(n), g(n)\)이라 하고, (다)에 알맞은 수를 \(k\)라 할 때, \(\dfrac{g(k)}{f(k)}\)의 값은?

\(-1 < a < b\)인 두 실수 \(a, b\)에 대하여 직선 \(y=x-2\) 위에 세 점 \(P(-1, -3)\), \(Q(a, a-2)\), \(R(b, b-2)\)가 있다. 선분 \(PQ\)를 지름으로 하는 원을 \(C_1\), 선분 \(QR\)를 지름으로 하는 원을 \(C_2\)라 하자. 삼각형 \(OPR\)와 두 원 \(C_1, C_2\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(a+b\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.) (가) 삼각형 \(OPR\)의 넓이는 \(3\sqrt{2}\)이다. (나) 원 \(C_1\)과 원 \(C_2\)의 넓이의 비는 \(1:4\)이다.

복소수 \(z = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)에 대하여 <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(i=\sqrt{-1}\)) <보기> ㄱ. \(z^3 = 1\) ㄴ. \(z + \dfrac{1}{z} = -1\) ㄷ. \(z^n + z^{2n} + z^{3n} + z^{4n} + z^{5n} = -1\)을 만족시키는 \(100\) 이하의 모든 자연수 \(n\)의 개수는 \(66\)이다.

실수 \(k\)에 대하여 이차함수 \(y=(x-k)^2-2\)의 그래프와 직선 \(y=2\)는 서로 다른 두 점 \(A, B\)에서 만난다. 삼각형 \(AOB\)가 이등변삼각형이 되도록 하는 서로 다른 \(k\)의 개수를 \(n\), \(k\)의 최댓값을 \(M\)이라 하자. \(n+M\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이고, 점 \(A\)의 \(x\)좌표는 점 \(B\)의 \(x\)좌표보다 작다.)

다항식 \(x^3+2x^2-x+2\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지를 구하시오.

\(1 \leq x \leq 4\)에서 이차함수 \(f(x) = -(x-2)^2+15\)의 최솟값을 구하시오.

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2+2(k-2)x+k^2-24 = 0\)이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 자연수 \(k\)의 개수를 구하시오.

점 \((2, 5)\)를 지나고 직선 \(3x+2y-4=0\)에 수직인 직선의 방정식이 \(2x+ay+b=0\)일 때, \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

원 \((x+1)^2+(y+2)^2=9\)를 \(x\)축의 방향으로 \(m\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(n\)만큼 평행이동한 원을 \(C\)라 하자. 원 \(C\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(m+n\)의 값을 구하시오. (단, \(m, n\)은 상수이다.) (가) 원 \(C\)의 중심은 제1사분면 위에 있다. (나) 원 \(C\)는 \(x\)축과 \(y\)축에 동시에 접한다.

\(x\)에 대한 연립이차부등식 \(\begin{cases} x^2-10x+21 \leq 0 \\ x^2-2(n-1)x+n^2-2n \geq 0 \end{cases}\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(4\)가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하시오.

그림과 같이 원의 중심 \(C(a, b)\)가 제1사분면 위에 있고, 반지름의 길이가 \(r\)이며 원점 \(O\)를 지나는 원이 있다. 원과 \(x\)축, \(y\)축이 만나는 점 중 \(O\)가 아닌 점을 각각 \(A, B\)라 하자. 네 점 \(O, A, B, C\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(a+b+r^2\)의 값을 구하시오. (가) \(\overline{OB} - \overline{OA} = 4\) (나) 두 점 \(O, C\)를 지나는 직선의 방정식은 \(y=3x\)이다.

다항식 \(P(x)\)와 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차다항식 \(Q(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \({Q(x+1)}^2 + {Q(x)}^2 = (x^2-x)P(x)\)를 만족시킨다. \(P(x)\)를 \(Q(x)\)로 나눈 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(R(3)\)의 값을 구하시오. (단, 다항식 \(Q(x)\)의 계수는 실수이다.)

\(t \geq 0\)인 실수 \(t\)에 대하여 \(t \leq x \leq t+3\)에서 이차함수 \(f(x)=x^2-4tx+10t\)의 최댓값과 최솟값의 합을 \(g(t)\)라 하자. \(t\)에 대한 방정식 \(g(t)=-4t+a\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(4\)가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 범위는 \(p < a < q\)이다. \(4p+7q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 상수이다.)