2023년 7월 고3 학력평가 (기하)

두 벡터 \(\overrightarrow{a} = (2, 3)\), \(\overrightarrow{b} = (4, -2)\)에 대하여 벡터 \(2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\)의 모든 성분의 합은?

타원 \(\dfrac{x^2}{32} + \dfrac{y^2}{8} = 1\) 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \((a, b)\)에서의 접선이 점 \((8, 0)\)을 지날 때, \(a + b\)의 값은?

좌표평면에서 벡터 \(\overrightarrow{u} = (3, -1)\)에 평행한 직선 \(l\)과 직선 \(m : \dfrac{x - 1}{7} = y - 1\)이 있다. 두 직선 \(l\), \(m\)이 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(\cos \theta\)의 값은?

포물선 \(y^2 = 4 p x\) \((p > 0)\)의 초점 \(F\)를 지나는 직선이 포물선과 서로 다른 두 점 \(A\), \(B\)에서 만날 때, 두 점 \(A\), \(B\)에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. \(\overline{A C} : \overline{B D} = 2 : 1\)이고 사각형 \(A C D B\)의 넓이가 \(12 \sqrt{2}\)일 때, 선분 \(A B\)의 길이는? (단, 점 \(A\)는 제1사분면에 있다.)

공간에 선분 \(A B\)를 포함하는 평면 \(\alpha\)가 있다. 평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 점 \(C\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 할 때, 점 \(H\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\angle A H B = \dfrac{\pi}{2}\) (나) \(\sin(\angle C A H) = \sin(\angle A B H) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 평면 \(A B C\)와 평면 \(\alpha\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(\cos \theta\)의 값은? (단, 점 \(H\)는 선분 \(A B\) 위에 있지 않다.)

두 초점이 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\) \((c > 0)\)인 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)과 점 \(A(0, 6)\)을 중심으로 하고 두 초점을 지나는 원이 있다. 원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제1사분면에 있는 점 \(P\)와 두 직선 \(P F'\), \(A F\)가 만나는 점 \(Q\)가 \(\overline{P F} : \overline{P F'} = 3 : 4\), \(\angle F' Q F = \dfrac{\pi}{2}\) 를 만족시킬 때, \(b^2 - a^2\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 양수이고, 점 \(Q\)는 제2사분면에 있다.)

좌표평면 위에 길이가 \(6\)인 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위의 서로 다른 두 점 \(C\), \(D\)가 \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = 27\), \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D} = 9\), \(\overline{C D} > 3\) 을 만족시킨다. 선분 \(A C\) 위의 서로 다른 두 점 \(P\), \(Q\)와 상수 \(k\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\dfrac{3}{2} \overrightarrow{D P} - \overrightarrow{A B} = k \overrightarrow{B C}\) (나) \(\overrightarrow{Q B} \cdot \overrightarrow{Q D} = 3\) \(k \times (\overrightarrow{A Q} \cdot \overrightarrow{D P})\)의 값을 구하시오.

공간에 중심이 \(O\)이고 반지름의 길이가 \(4\)인 구가 있다. 구 위의 서로 다른 세 점 \(A\), \(B\), \(C\)가 \(\overline{A B} = 8\), \(\overline{B C} = 2 \sqrt{2}\) 를 만족시킨다. 평면 \(A B C\) 위에 있지 않은 구 위의 점 \(D\)에서 평면 \(A B C\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 할 때, 점 \(D\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 직선 \(O C\), \(O D\)가 서로 수직이다. (나) 두 직선 \(A D\), \(O H\)가 서로 수직이다. 삼각형 \(D A H\)의 평면 \(D O C\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(8 S\)의 값을 구하시오. (단, 점 \(H\)는 점 \(O\)가 아니다.)