2026년 3월 고3 학력평가 (기하)

\(4^{\dfrac{2}{3}} \times 2^{-\dfrac{1}{3}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = 2x^2 + x + 2\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은?

등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_1 = 2\), \(2a_2 + a_7 = 30\)일 때, \(a_{10}\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} a x^2 - 2 & \quad \text{if } x < 2 \\ 3x & \quad \text{if } x \geq 2 \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x+1)(2x^2 - 5x + 1)\)에 대하여 \(f'(2)\)의 값은?

두 양수 \(a, b\)가 \(\log_3 a^2 = 4\), \(\log_9 a b = \dfrac{5}{2}\)를 만족시킬 때, \(\dfrac{b}{a}\)의 값은?

곡선 \(y = x^2\)과 \(y\)축 및 두 직선 \(y = x - 2\), \(x = 2\)로 둘러싸인 부분의 넓이는?

\(\cos \theta = 4 \sin \theta\)이고 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) < 0\)일 때, \(\cos \theta\)의 값은?

닫힌구간 \([1, 3]\)에서 함수 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + a\)가 최댓값 \(M\), 최솟값 \(4\)를 가질 때, \(M\)의 값은?

양수 \(k\)에 대하여 곡선 \(y = \log_2 (x - k)\)가 \(x\)축과 만나는 점을 \(A\)라 하자. 직선 \(y = 2\)가 곡선 \(y = \log_2 (x - k)\)와 만나는 점을 \(B\), \(y\)축과 만나는 점을 \(C\)라 하자. \(\overline{A B} = \overline{A C}\)일 때, 삼각형 \(A B C\)의 넓이는?

시각 \(t = 0\)일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)가 있다. 시각이 \(t (t \geq 0)\)일 때 점 \(P\)의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = 3t^2 - 24t + 36\)이다. <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 시각 \(t = 1\)일 때 점 \(P\)의 위치는 \(25\)이다. ㄴ. 출발한 후 점 \(P\)의 운동 방향은 두 번 바뀐다. ㄷ. 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 3\)까지 점 \(P\)가 움직인 거리는 \(37\)이다.

\(a_1 = 3\), \(a_2 = 10\)인 수열 \({a_n}\)과 모든 항이 양수인 등비수열 \({b_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{b_k + 1} = n^2 + n\)을 만족시킨다. 다음은 \(\displaystyle\sum_{n=1}^5 \dfrac{a_n}{n}\)의 값을 구하는 과정이다. \(n = 1\)일 때, \(\dfrac{a_1}{b_1 + 1} = 2\)에서 \(b_1 = \dfrac{1}{2}\)이다. \(2\) 이상의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\dfrac{a_n}{b_n + 1} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{b_k + 1} - \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{a_k}{b_k + 1}\)이므로 \(\dfrac{a_n}{b_n + 1} = \) (가) \(\times n\) ⋯⋯ ㉠. \(n = 1\)일 때도 ㉠이 성립하므로 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\dfrac{a_n}{n} = \) (가) \(\times (b_n + 1)\) ⋯⋯ ㉡이다. 그러므로 등비수열 \({b_n}\)의 공비는 (나)이다. 따라서 ㉡에 의하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^5 \dfrac{a_n}{n} = \) (다)이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(p, q, r\)이라 할 때, \(p + q + r\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 8\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(P(1, -5)\)에서의 접선이 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점 중 \(P\)가 아닌 점을 \(Q\)라 하자. 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(Q\)에서의 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

두 상수 \(a (a \neq 0)\), \(b\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} 3 \sin x & \quad \text{if } 0 \leq x < \pi \\ a \cos x + b & \quad \text{if } \pi \leq x \leq 2\pi \end{cases}\)가 있다. \(0 \leq t \leq 2\pi\)인 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) = f(t)\)를 만족시키는 모든 \(x\)의 값의 합이 \(\dfrac{7}{4} \pi\)가 되도록 하는 서로 다른 모든 실수 \(t\)의 개수가 \(4\)일 때, \(a^2 + b^2\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 두 상수 \(a, b\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} -x f(x) - a x^2 & \quad \text{if } x \leq 0 \\ \dfrac{1}{4} f(x) - b x^2 & \quad \text{if } x > 0 \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(a + b\)의 값은? (가) 집합 \(\{x | g(x) = -27\}\)의 원소의 개수는 \(2\)이다. (나) \(\{x | g(x) = -27\} \subset \{x | g'(x) = 0\}\)

수열 \({a_n}\)은 \(a_1 = 3\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = a_n^2 - 3n\)을 만족시킨다. \(a_3\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2\)의 한 부정적분 \(F(x)\)에 대하여 \(F(1) = 5\)일 때, \(F(2)\)의 값을 구하시오.

삼각형 \(A B C\)에서 \(\overline{A B} = 6\), \(\overline{A C} = 8\)이고 \(\cos A = -\dfrac{1}{4}\)일 때, \(\overline{B C}^2\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + a x + b\)는 \(x = 1\)에서 극대이다. 함수 \(f(x)\)의 극솟값이 \(5\)일 때, \(a + b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)와 \(b\)는 상수이다.)

수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = \begin{cases} n & \quad \text{if } n \text{이 15의 약수} \\ -1 & \quad \text{if } n \text{이 15의 약수가 아님} \end{cases}\)일 때, \(20 \leq \displaystyle\sum_{k=1}^m a_k < 30\)을 만족시키는 모든 자연수 \(m\)의 값의 합을 구하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)이고 \(f(0) = 0\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (f(t) - |f(t)|) d t\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(4)\)의 값을 구하시오. (가) \(x \geq k\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g'(x) = 0\)을 만족시키는 실수 \(k\)의 최솟값이 \(2\)이다. (나) \(g(2) = -8\)

자연수 \(k\)에 대하여 두 함수 \(f(x) = 2^x\), \(g(x) = 2 \times 4^x + \left(\dfrac{1}{2}\right)^k\)이 있다. 실수 \(t\)에 대하여 직선 \(x = t\)가 두 곡선 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\)와 만나는 점을 각각 \(A, B\)라 하자. 두 점 \(A, B\) 사이의 거리가 \(\dfrac{1}{5}\)이 되도록 하는 실수 \(t\)의 개수가 \(2\)이고 이 두 실수의 합을 \(p\)라 할 때, \(k \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^p\)의 값을 구하시오.

포물선 \(y^2 = 20 x\)의 준선이 \(x = k\)일 때, 상수 \(k\)의 값은?

타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{25} = 1\)의 단축의 길이가 \(6\)일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, \(a\)는 양수이다.)

쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{5 a^2} - \dfrac{y^2}{a^2 + 1} = 1\)의 한 점근선의 방정식이 \(y = -\dfrac{1}{2} x\)일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? (단, \(a\)는 양수이다.)

포물선 \(y^2 = 4 p x (p > 0)\)의 초점을 지나고 기울기가 \(\dfrac{4}{3}\)인 직선이 이 포물선과 만나는 점 중 제1사분면에 있는 점을 \(P\)라 하자. 점 \(P\)와 이 포물선의 준선 사이의 거리가 \(20\)일 때, \(p\)의 값은?

두 점 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0) (c > 0)\)을 초점으로 하고 장축의 길이가 \(8\)인 타원이 있다. 점 \(F\)를 지나고 기울기가 양수인 직선이 이 타원과 만나는 점 중 \(y\)좌표가 양수인 점을 \(P\), \(y\)좌표가 음수인 점을 \(Q\)라 하자. \(\overline{F P} : \overline{F Q} = 1 : 2\), \(\overline{F' P} : \overline{F' Q} = 3 : 2\)일 때, \(c\)의 값은?

그림과 같이 두 점 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0) (c > 0)\)을 초점으로 하는 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \(P\)에 대하여 선분 \(F' P\)가 이 쌍곡선과 만나는 점 중 \(P\)가 아닌 점을 \(Q\)라 하고, 점 \(P\)를 중심으로 하고 점 \(Q\)를 지나는 원을 \(C\)라 하자. 원 \(C\)가 \(x\)축과 점 \(F\)에서 접하고 \(\overline{P Q} + \overline{F Q} = 1\)일 때, 원 \(C\)의 반지름의 길이는?

초점이 \(F(p, 0) (p > 0)\)이고 준선이 \(x = -p\)인 포물선과 점 \(F\)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(r (r > p)\)인 원 \(C\)가 있다. 원 \(C\)가 \(x\)축과 만나는 점 중 \(x\)좌표가 양수인 점을 \(A\)라 하고, 원 \(C\)가 이 포물선과 만나는 점 중 제1사분면에 있는 점을 \(P\)라 하자. 점 \(P\)에서 이 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자. \(\cos(\angle P H F) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)이고 사각형 \(A P H F\)의 넓이가 \(54 \sqrt{2}\)일 때, \(p + r\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 두 점 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0) (c > 0)\)을 초점으로 하는 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{2 a^2} = 1\)이 있다. 이 쌍곡선의 꼭짓점 중 \(x\)좌표가 음수인 점을 \(A\)라 하고, 점 \(F'\)을 지나고 \(x\)축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제2사분면에 있는 점을 \(P\)라 하자. 점 \(A\)에서 선분 \(P F\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자. 두 점 \(A, F\)를 초점으로 하고 점 \(H\)를 지나는 타원이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제4사분면에 있는 점을 \(Q\)라 하자. \(\overline{A Q} + \overline{F' Q} = 6 + 8 \sqrt{3}\)일 때, 이 타원의 장축의 길이는 \(p + q \sqrt{3}\)이다. \(p^2 + q^2\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)는 양수이고, \(p\)와 \(q\)는 유리수이다.)