2024년 9월 고2 학력평가

\(2^{-1} \times 8^{\dfrac{5}{3}}\)의 값은?

\(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{(2x+1)^2}{x^2+4x+5}\)의 값은?

등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_4 = 10\), \(a_7 - a_5 = 6\)일 때, \(a_1\)의 값은?

\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\sin \theta = -3 \cos \theta\)일 때, \(\cos \theta\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 1-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2+} f(x)\)의 값은?

\(\log_2 24 - \log_2 3\)의 값은?

중심각의 크기가 \(\theta\)이고 넓이가 \(S\)인 부채꼴의 호의 길이는?

\(0 < x \leq 2\pi\)일 때, 방정식 \(\cos^2 x - 1 = 2 \sin x\)의 모든 해의 합은?

집합 \(\{x | -3 \leq x \leq 3\}\)에서 정의된 함수 \(y = \log_{\dfrac{1}{3}} (x + m)\)이 최댓값 \(-2\)를 가질 때, 상수 \(m\)의 값은?

공비가 양수인 등비수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(a_2 = 2\), \(S_6 = 9 S_3\)일 때, \(a_4\)의 값은?

\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} 4^x - 2^x - 2 < 0\ \\ \log_a x + 1 > 0 \end{cases}\)을 만족시키는 모든 \(x\)의 값의 범위가 \(\dfrac{1}{5} < x < b\)일 때, 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a + b\)의 값은? (단, \(a > 1\))

함수 \(f(x) = a \tan \dfrac{\pi}{4} x\)에 대하여 함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위의 점 \(A(3, -2)\)를 \(x\)축의 방향으로 6만큼, \(y\)축의 방향으로 \(b\)만큼 평행이동한 점을 \(A'\)이라 하자. 점 \(A'\)이 함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위의 점일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

첫째항이 음수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_3 a_5 = 8 a_8\), \(a_1 + |a_2| + |2 a_3| = 0\)일 때, \(a_2\)의 값은?

\(2 \leq n \leq 10\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(n^2 + 1\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\), \(n^2 - 8 n + 12\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(g(n)\)이라 하자. \(f(n) = 2 g(n)\)을 만족시키는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합은?

함수 \(f(x) = 4^{x-a} - 8 \times 2^{x-a}\)가 \(x = 5\)에서 최솟값 \(b\)를 가질 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

다음 조건을 만족시키는 두 자연수 \(a\), \(b\)의 모든 순서쌍 \((a, b)\)의 개수는? (가) \(0 < \log b - \log a < 1\) (나) \(2 a + \log b < 9\)

수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_{12} - a_{10} = 5\) (나) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{2k} = \displaystyle\sum_{k=1}^n a_{2k-1} + n^2\)이다. \(a_9 = 16\)일 때, \(a_{11}\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} -2^x + 2 \quad (x < 1)\ \\ \log_2 x \quad (x \geq 1) \end{cases}\)에 대하여 \(a - 1 \leq x \leq a + 1\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 차가 1이 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 합은?

함수 \(f(x) = 3 \sin \dfrac{\pi}{2} x\) \((0 \leq x \leq 7)\)과 실수 \(t\) \((0 < t < 3)\)에 대하여 한 변의 길이가 4인 정삼각형 ABC의 세 꼭짓점 A, B, C가 다음 조건을 만족시킬 때, \(t\)의 값은? (가) 두 점 A, B는 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = -t\)가 만나는 점이다. (나) 점 C는 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점이다.

상수 \(k\) \((k > 3)\)에 대하여 직선 \(y = -x + 2 k\)가 두 함수 \(f(x) = \log_2 (x - k)\), \(g(x) = 2^{x+1} + k + 1\)의 그래프와 만나는 점을 각각 A, B라 하자. \(\overline{A B} = 7 \sqrt{2}\)일 때, \(k\)의 값은?

두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = \begin{cases} 2^{x+a} \quad (x \leq 0)\ \\ (x + b)^2 \quad (x > 0) \end{cases}\)이다. 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) = t\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\)라 할 때, 함수 \(g(t)\)는 다음 조건을 만족시킨다. \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow k-} g(t) \neq \operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow k+} g(t)\)와 \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow 2k-} g(t) \neq \operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow 2k+} g(t)\)를 모두 만족시키는 양수 \(k\)가 존재한다. \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow 16-} g(t) \times \operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow 16+} g(t) = 2\)가 되도록 하는 두 실수 \(a\), \(b\)의 순서쌍 \((a, b)\)에 대하여 \(a + b\)의 최댓값과 최솟값의 곱은?

방정식 \(3^{2x-1} = 27\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_3 + a_5 + a_7 = 18\)일 때, \(a_4 + a_6\)의 값을 구하시오.

수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = \begin{cases} n^2 - 1 \quad (n \text{이 홀수인 경우})\ \\ n^2 + 1 \quad (n \text{이 짝수인 경우}) \end{cases}\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하시오.

\(0 < x \leq 10\)일 때, 부등식 \(\cos \dfrac{\pi}{5} x < \sin \dfrac{\pi}{5} x\)를 만족시키는 모든 자연수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.

\(10 < a < 100\)인 실수 \(a\)에 대하여 수직선 위의 서로 다른 네 점 \(P(p)\), \(Q(q)\), \(R(r)\), \(S(s)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(p < q < r < s\) (나) 두 집합 \(A = {p, q, r, s}\), \(B = {\log 10 a, \log \dfrac{10}{a}, \log_a 10 a, \log_a \dfrac{a}{10}}\)에 대하여 \(A = B\)이다. \(\overline{P S} = \dfrac{10}{3}\)일 때, \(30 \times \overline{Q R}\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 둘레의 길이가 20이고 \(\cos(\angle A B C) = \dfrac{1}{4}\)인 평행사변형 ABCD가 있다. 삼각형 ABC의 외접원의 넓이가 \(\dfrac{32}{3} \pi\)일 때, 삼각형 ABD의 외접원의 넓이는 \(\dfrac{q}{p} \pi\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(\overline{A B} < \overline{A D}\)이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 0-} \dfrac{\sqrt{x^2} - f(x)}{x + f(x)} \times \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 0+} \dfrac{\sqrt{x^2} - f(x)}{x + f(x)} = -2\) (나) \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow a} \dfrac{f(x-4) f(x+1)}{\sqrt{x^2} - 3}\)의 값이 존재하지 않는 실수 \(a\)의 개수는 1이다. \(f(24)\)의 값을 구하시오.

자연수 \(p\)와 실수 \(q\) \((q \geq 0)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = |p \sin x - q|\)이다. \(f(a) = q\)인 서로 다른 모든 양수 \(a\)를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, \(n\)번째 수를 \(a_n\)이라 하자. 수열 \({a_n}\)과 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 세 항 \(a_1\), \(a_4\), \(a_7\)은 이 순서대로 등차수열을 이룬다. (나) 함수 \(f(x)\)의 최댓값은 15이다. 두 수 \(p\), \(q\)의 모든 순서쌍 \((p, q)\)의 개수를 구하시오.

첫째항이 정수인 수열 \({a_n}\)이 두 정수 \(d\), \(r\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} a_n + d \quad (a_n \geq 0)\ \\ r a_n \quad (a_n < 0) \end{cases}\)이다. (나) \(a_k = a_{k+12} = 0\)인 자연수 \(k\)가 존재한다. \(a_2 + a_3 = 0\), \(a_5 = 16\)이 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합을 구하시오.