2022년 3월 고1 학력평가

\(\sqrt{\dfrac{20}{3}} \times \sqrt{\dfrac{6}{5}}\)의 값은?

다항식 \((2x-1)(x+3)\)의 전개식에서 \(x\)의 계수는?

\(\sin 60° \times \cos 30°\)의 값은?

이차함수 \(y = -x^2 + 4x + 3\)의 그래프의 꼭짓점의 \(y\)좌표는?

다음은 어느 봉사 동아리 학생들의 한 달 동안의 봉사 시간을 조사하여 나타낸 히스토그램이다. 한 달 동안의 봉사 시간이 6시간 이상 12시간 미만인 학생의 수는?

그림과 같이 삼각형 ABC의 외심을 O라 하자. \(\angle \text{OBC} = 17°\), \(\angle \text{OCA} = 52°\)일 때, 각 OAB의 크기는?

일차부등식 \(\dfrac{x+5}{2} - x \leq a\)의 해가 \(x \geq 4\)일 때, 실수 \(a\)의 값은?

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 3이고 높이가 8인 원뿔과 밑면의 반지름의 길이가 2인 원기둥이 있다. 두 입체도형의 부피가 같을 때, 원기둥의 겉넓이는?

두 일차방정식 \(a x + 4 y = 12\), \(2 x + a y = a + 5\)의 그래프의 교점이 \(y\)축 위에 있을 때, 상수 \(a\)의 값은?

\(2 - \sqrt{6}\)보다 크고 \(5 + \sqrt{15}\)보다 작은 정수의 개수는?

세 변의 길이가 각각 주어진 삼각형이 직각삼각형일 때, 미지수의 값은? (그림 참조)

어느 학교에서 학생들에게 나누어 줄 구슬을 구입하였다. 구입한 구슬을 한 상자에 일정 개수씩 담았더니 일부가 남고, 다른 개수씩 담았더니 다른 개수가 남았다. 이 학교에서 구입한 구슬의 총 개수는? (그림 참조)

두 이차방정식 \(x^2 - x - 2 = 0\), \(2 x^2 + k x - 6 = 0\)이 공통인 해를 갖도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값의 합은?

그림과 같이 반비례 관계 \(y = \dfrac{a}{x}\) \((a > 0)\)의 그래프가 두 직선 \(x=2\), \(y=2\)와 만나는 점을 각각 A, B라 하자. 점 \(C(2,2)\)에 대하여 사각형 OACB의 넓이가 \(\dfrac{22}{7}\)일 때, 상수 \(a\)의 값은? (단, O는 원점이고, 점 A의 \(y\)좌표는 2보다 작다.)

다음은 어느 학급 학생 20명의 수학 과목의 중간고사 점수와 기말고사 점수에 대한 산점도이다. 위의 산점도에 대하여 <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 중간고사와 기말고사의 점수에 변화가 없는 학생의 수는 5이다. ㄴ. 기말고사 점수가 중간고사 점수보다 높은 학생의 비율은 학급 학생 20명의 40%이다. ㄷ. 중간고사 점수의 평균은 기말고사 점수의 평균보다 크다.

서로 다른 네 실수 \(a, b, \dfrac{1}{6}, \dfrac{2}{3}\)에 대응하는 점을 수직선 위에 나타내면 이웃한 두 점 사이의 거리가 모두 같다. \(a b < 0\)일 때, \(a + b\)의 최댓값은?

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 \(a\), \(b\)라 하자. \(a^2 \times 3^b \times 5\)가 \(2^2 \times 3^5\)의 배수일 확률은?

그림과 같이 \(\angle \text{ABC} = 60°\)인 삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 중점을 각각 D, E라 하자. 선분 DE를 지름으로 하는 원이 선분 BC와 접할 때, 이 원이 선분 AB와 만나는 점 중 D가 아닌 점을 F라 하자. 다음은 삼각형 ABC의 넓이가 16일 때, 삼각형 AFE의 넓이를 구하는 과정이다. 원의 반지름의 길이를 \(r\)라 하면 \(\overline{D E} = 2r\), \(\overline{B C} = 4r\)이다. 점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면 \(\overline{A H} = boxed(\text{(가)}) \times r\)이고, \(\triangle \text{ABC} = 16\)이므로 \(r^2 = boxed(\text{(나)})\)이다. 삼각형 ADE와 삼각형 ABC는 서로 닮음이므로 \(\triangle \text{ADE} = 4\)이다. 삼각형 FDE에서 꼭짓점 F는 원 위의 점이므로 삼각형 FDE의 넓이는 \(boxed(\text{(다)})\)이다. 따라서 구하는 삼각형 AFE의 넓이는 \(4 - boxed(\text{(다)})\)이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(a\), \(b\), \(c\)라 할 때, \(a \times b \times c\)의 값은?

그림과 같이 \(\overline{A B} = \overline{A C}\)인 이등변삼각형 ABC에 외접하는 원이 있다. 선분 AC 위의 점 D에 대하여 원과 직선 BD가 만나는 점 중 B가 아닌 점을 E라 하자. \(\overline{A E} = 2 \overline{B C}\), \(\overline{C D} = 1\)이고 \(\angle \text{ADB} + \angle \text{AEB} = 180°\)일 때, 선분 BC의 길이는?

그림과 같이 제1사분면 위의 점 A를 꼭짓점으로 하는 이차함수 \(y = a x^2 + b x\)의 그래프가 직선 \(x = 3\)에 대하여 대칭이다. 점 \(B\left(0, \dfrac{10}{3}\right)\)에서 선분 OA에 내린 수선의 발 H에 대하여 \(\overline{B H} = 2\)일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a, b\)는 상수이고, O는 원점이다.)

그림과 같이 삼각형 ABC에서 선분 AB 위의 점 D에 대하여 \(\overline{B D} = 2 \overline{A D}\)이다. 점 A에서 선분 CD에 내린 수선의 발 E에 대하여 \(\overline{A E} = 4\), \(\overline{B E} = \overline{C E} = 10\)일 때, 삼각형 ABC의 넓이는? (단, \(\angle \text{CAB} > 90°\))

일차함수 \(y = 3 x + a\)의 그래프가 점 \((-3, 2)\)를 지날 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

다항식 \(x^2 - 2 x - 80\)이 \(x + a\)를 인수로 가진다. \(a\)가 자연수일 때, \(a\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 오각형 ABCDE에서 \(\angle A = 105°\), \(\angle B = x°\), \(\angle C = y°\), \(\angle D = 109°\), \(\angle E = 92°\)일 때, \(x + y\)의 값을 구하시오.

다음 조건을 만족시키는 두 자리의 자연수 \(n\)의 최댓값을 구하시오. (가) \(n\)은 4의 배수이다. (나) \(n\)의 소인수의 개수가 3이다.

그림과 같이 길이가 1인 선분 AB 위의 점 C에 대하여 선분 AC를 한 변으로 하는 정사각형 ACDE가 있다. 선분 CD를 삼등분하는 점 중 점 D에 가까운 점을 F라 하자. 정사각형 ACDE의 넓이와 삼각형 BFC의 넓이의 합이 \(\dfrac{5}{8}\)일 때, \(\overline{A C} = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

그림과 같이 반지름의 길이가 2이고 중심각의 크기가 90°인 부채꼴 OAB가 있다. 선분 OA를 지름으로 하는 반원의 호 위의 점 P에 대하여 직선 OP가 호 AB와 만나는 점을 Q라 하고, 점 Q에서 선분 OA에 내린 수선의 발을 H라 하자. \(\angle \text{QOA} = 30°\)일 때, 삼각형 PHQ의 넓이는 \(\dfrac{a \sqrt{3} - b}{4}\)이다. \(a + b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)와 \(b\)는 자연수이다.)

다음은 8명의 학생이 1년 동안 읽은 책의 권수를 조사하여 나타낸 자료이다. \(4, 3, 12, 5, 4, a, b, c\) 이 자료의 중앙값과 평균이 모두 7일 때, 분산을 구하시오.

좌표평면에서 이차항의 계수가 양수인 이차함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위의 두 점 A, B가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a < 2 < b\)인 두 수 \(a, b\)에 대하여 \(A(a, 1)\), \(B(b, 1)\)이다. (나) 점 \(C(2, 1)\)에 대하여 \(\overline{A C} = 3 \overline{B C}\)이다. 이차함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위의 점 D에 대하여 삼각형 ADB가 \(\angle \text{ADB} = 90°\)인 이등변삼각형이고 넓이가 16일 때, \(f(8)\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 \(\overline{A D} \parallel \overline{B C}\)인 사다리꼴 ABCD에서 두 대각선의 교점을 E라 하자. 점 E를 지나고 선분 AD와 평행한 직선이 선분 CD와 만나는 점을 F라 하고, 두 선분 AC, BF의 교점을 G라 하자. \(\overline{A D} = 4\), \(\overline{E F} = 3\)일 때, 사다리꼴 ABCD의 넓이는 삼각형 EGF의 넓이의 \(k\)배이다. \(9 k\)의 값을 구하시오.