2024년 3월 고1 학력평가

\(\sqrt{20} + \sqrt{5}\)의 값은? [2점]

일차방정식 \(\dfrac{x}{2} + 7 = 2x - 8\)의 해는? [2점]

일차함수 \(y = a x\)의 그래프를 \(y\)축의 방향으로 \(-3\)만큼 평행이동한 그래프가 점 \((2, 9)\)를 지날 때, 상수 \(a\)의 값은? [2점]

그림과 같이 \(\angle B = 90^{\circ}\)인 직각삼각형 \(A B C\)에서 \(\overline{A B} = 3\), \(\overline{B C} = 2\)일 때, 선분 \(A C\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는? [3점]

다음은 어느 동호회 회원의 나이를 줄기와 잎 그림으로 나타낸 것이다. 이 자료의 최빈값은? [3점]

다항식을 전개한 식에 대한 상수의 값은? [3점]

두 일차방정식 \(x - 2 y = 7\), \(2 x + y = -1\)의 그래프의 교점의 좌표를 \((a, b)\)라 할 때, \(a + b\)의 값은? [3점]

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 각각의 주사위에서 나오는 눈의 수의 차가 \(2\) 또는 \(4\)일 확률은? [3점]

그림과 같이 원 위의 세 점 \(A\), \(B\), \(C\)와 원 밖의 한 점 \(P\)에 대하여 직선 \(P A\)와 직선 \(P B\)는 원의 접선이고, \(\angle A C B = 65^{\circ}\)이다. \(\angle B P A\)의 크기는? [3점]

\(x\)에 대한 이차방정식 \((x - a)^2 = 27\)의 두 근이 모두 양수가 되도록 하는 자연수 \(a\)의 최솟값은? [3점]

다음은 어느 학교의 학생 \(45\)명을 대상으로 한 달 동안의 독서 시간을 조사하여 나타낸 도수분포표이다. 이 도수분포표에서 독서 시간이 \(10\)시간 이상 \(15\)시간 미만인 계급의 상대도수가 \(0\)이 아닌 유한소수일 때, \(2 a + b\)의 값은? [3점]

두 밑변 \(A D\), \(B C\)의 길이가 각각 \(x^2 - 2 x + 3\), \(2 x^2 + x + 6\)이고 높이가 \(4\)인 사다리꼴 \(A B C D\)가 있다. 선분 \(C D\)의 중점을 \(E\)라 할 때, 사각형 \(A B E D\)의 넓이는? [3점]

[그림 1]과 같이 한 모서리의 길이가 \(4\)인 정육면체가 있다. 이 정육면체의 한 꼭짓점 \(A\)에서 만나는 세 모서리의 중점을 각각 \(B\), \(C\), \(D\)라 하자. 이 정육면체에서 네 점 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)를 꼭짓점으로 하는 사면체를 잘라 내어 [그림 2]와 같은 입체도형을 만들었다. [그림 2]의 입체도형의 부피는? [3점]

다음은 과수원 \(A\)의 사과 \(6\)개와 과수원 \(B\)의 사과 \(6\)개의 당도를 brix 단위로 측정한 결과에 대한 두 학생의 대화이다. 과수원 \(A\)의 사과 \(6\)개의 당도의 평균은 \(11\)이고 분산은 \(\dfrac{5}{3}\)이다. 과수원 \(B\)의 사과 \(6\)개 각각의 당도는 \(11\), \(9\), \(12\), \(9\), \(a\), \(a + 1\)이므로 평균은 과수원 \(A\)의 사과 \(6\)개의 당도의 평균과 같고, 분산은 \(b\)가 된다. 위 학생들의 대화를 만족시키는 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a + b\)의 값은? [4점]

두 온라인 서점 \(A\), \(B\)에서 판매하는 정가가 \(12000\)원인 어느 도서의 할인율과 배송비는 표와 같다. 온라인 서점 \(A\)의 도서 할인율은 \(5 %\), 배송비는 \(0\)원이고, 온라인 서점 \(B\)의 도서 할인율은 \(10 %\), 배송비는 \(4000\)원이다. 온라인 서점 \(A\)에서 이 도서를 한번에 \(x\)권 주문할 때 지불하는 금액이 온라인 서점 \(B\)에서 이 도서를 한번에 \(x\)권 주문할 때 지불하는 금액보다 더 크게 되도록 하는 \(x\)의 최솟값은? (단, 배송비는 한 번만 지불한다.) [4점]

그림과 같이 양수 \(a\)에 대하여 두 반비례 관계 \(y = \dfrac{a}{x}\), \(y = -\dfrac{2 a}{x}\)의 그래프가 직선 \(y = 6\)과 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, 두 선분 \(O A\), \(O B\)가 직선 \(y = 3\)과 만나는 점을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. 사각형 \(A B D C\)의 넓이가 \(27\)일 때, \(a\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.) [4점]

그림과 같이 원점 \(O\)를 지나고 제사분면 위의 점 \(A\)를 꼭짓점으로 하는 이차함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 있다. 두 점 \(B\), \(C\)에 대하여 선분 \(A B\)와 선분 \(O C\)가 점 \(D\)에서 만난다. 삼각형 \(O C A\)의 넓이가 주어지고, 삼각형 \(O B D\)의 넓이와 삼각형 \(D C A\)의 넓이가 같을 때, 값을 구하시오. (단, 점 \(D\)는 점 \(C\)가 아니다.) [4점]

원 모양의 종이를 이용하여 한복 저고리 모양과 한복 바지 모양을 만들 수 있다. 다음은 반지름의 길이가 \(r\) cm인 원 모양의 종이 두 장을 이용하여 한복 바지 모양을 만드는 과정이다. 위와 같은 방법으로 만든 모양의 도형의 넓이는 \(S\) cm\(^2\)이다. 의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점]

한 변의 길이가 \(x (x > 4)\)인 정사각형 \(A B C D\)에 대하여 선분 \(C D\) 위에 \(\overline{C E} = 2\)인 점 \(E\)와 선분 \(A D\) 위에 \(\overline{F D} = 2\)인 점 \(F\)가 있다. 선분 \(B C\)의 연장선 위에 \(\overline{C G} = x - 2\)인 점 \(G\)를 잡을 때, 삼각형 \(E G F\)의 넓이는 \(7\)이다. \(x\)의 값은? [4점]

그림과 같이 한 변의 길이가 \(12\)인 정삼각형 \(A B C\)의 변 \(B C\) 위에 \(\overline{D C} = 4\)인 점 \(D\)가 있다. 선분 \(A D\)를 한 변으로 하는 정삼각형 \(A D E\)에 대하여 선분 \(A C\)와 선분 \(D E\)가 만나는 점을 \(F\)라 하자. 다음은 선분 \(C F\)의 길이를 구하는 과정이다. 두 정삼각형 \(A B C\), \(A D E\)에서 \(\overline{A B} = \overline{A C}\), \(\overline{A D} = \overline{A E}\)이고, \(\angle B A D = 60^{\circ} - \angle D A C = \angle C A E\)이므로 삼각형 \(A B D\)와 삼각형 \(A C E\)는 서로 합동이다. 그러므로 \(\angle E C A = 60^{\circ}\), \(\overline{C E} = \) (가) 이다. 한편 각 \(A F D\)와 각 \(C F E\)는 서로 맞꼭지각이고, \(\angle F D A = \angle E C F\)이므로 \(\angle D A F = \angle F E C\)이다. 또한 \(\angle A C D = \angle E C F\)이므로 삼각형 \(A C D\)와 삼각형 \(E C F\)는 서로 닮은 도형이고, 삼각형 \(A C D\)와 삼각형 \(E C F\)의 닮음비는 (나) \(: 2\)이다. 따라서 \(\overline{C F} = \) (다) 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(p\), \(q\), \(r\)이라 할 때, \(p + q + r\)의 값은? (단, 선분 \(A B\)와 선분 \(D E\)는 만나지 않는다.) [4점]

그림과 같이 \(\overline{A B} = \overline{A C} = 25\)이고 \(\overline{B C} = 40\)인 이등변삼각형 \(A B C\)에 대하여 점 \(C\)에서 직선 \(A B\)에 내린 수선의 발을 \(D\)라 하자. 삼각형 \(A B C\)의 내심을 \(I\), 삼각형 \(D B C\)의 내심을 \(J\)라 할 때, 선분 \(I J\)의 길이는? [4점]

이차함수 \(y = x^2 - 2 x + 6\)의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 \((a, b)\)일 때, \(a + b\)의 값을 구하시오. [3점]

\(\angle B = 90^{\circ}\)인 직각삼각형 \(A B C\)에서 \(\overline{B C} = 9\), \(\sin A = \dfrac{3}{5}\)일 때, 선분 \(A C\)의 길이를 구하시오. [3점]

두 자리의 자연수 \(m\)과 세 자리의 자연수 \(n\)에 대하여 \(m \times n = 1265\)일 때, \(m + n\)의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 \(\overline{A B} = \overline{A C}\), \(\angle A < 90^{\circ}\)인 이등변삼각형 \(A B C\)의 외심을 \(O\)라 하자. 점 \(O\)에서 선분 \(A B\)에 내린 수선의 발을 \(D\)라 하고, 직선 \(A O\)와 선분 \(B C\)의 교점을 \(E\)라 하자. \(\overline{A O} = 3 \overline{O E}\)이고 삼각형 \(A D O\)의 넓이가 \(6\)일 때, 삼각형 \(A B C\)의 넓이를 구하시오. [3점]

그림과 같이 한 변의 길이가 \(4 \sqrt{2}\)인 정사각형 \(A B C D\)의 선분 \(A D\) 위에 \(\overline{D E} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)인 점 \(E\)가 있다. 정사각형 내부의 한 점 \(F\)에 대하여 \(\angle C F E = 90^{\circ}\)이고 \(\overline{E F} : \overline{F C} = 4 : 7\)이다. 정사각형 \(A B C D\)에서 사각형 \(E F C D\)를 잘라 내어 모양의 도형을 만들었을 때, 이 도형의 둘레의 길이는 \(a\)이다. \(a^2\)의 값을 구하시오. [4점]

네 수 \(-\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{6}{5}\), \(-\dfrac{3}{4}\), \(\dfrac{2}{9}\) 중 서로 다른 두 수를 곱하여 나올 수 있는 값으로 가장 큰 수를 \(a\), 가장 작은 수를 \(b\)라 할 때, \(120 (a - b)\)의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 \(\overline{A B} = \sqrt{41}\), \(\overline{B C} = 4\), \(\angle C > 90^{\circ}\)인 삼각형 \(A B C\)의 무게중심을 \(G\)라 하자. 직선 \(A G\)와 선분 \(B C\)가 만나는 점을 \(D\)라 할 때, 삼각형 \(A D C\)의 넓이가 \(4\)이다. \(\overline{D G} \times \tan(\angle C D A) = \dfrac{q}{p}\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

그림과 같이 양수 \(a\)에 대하여 꼭짓점이 \(A(-3, -a)\)이고 점 \(B(1, 0)\)을 지나는 이차함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 꼭짓점이 \(C(3, 3 a)\)인 이차함수 \(y = g(x)\)의 그래프가 있다. 점 \(A\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(D\)라 할 때, 사각형 \(A B C D\)의 넓이는 \(16\)이다. 이차함수 \(y = g(x)\)의 그래프가 \(y\)축과 만나는 점이 선분 \(C D\) 위에 있을 때, \(f(-1) \times g(-3)\)의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 \(\overline{A B} = 5 \sqrt{5}\), \(\overline{B C} = 12\), \(\angle C B A < 90^{\circ}\)이고 넓이가 \(120\)인 평행사변형 \(A B C D\)가 있다. 선분 \(A D\) 위에 \(\overline{A E} = 3 \overline{E D}\)인 점 \(E\)를 잡고, 선분 \(C B\)의 연장선 위에 \(\overline{B F} = \overline{E D}\)인 점 \(F\)를 잡는다. 점 \(E\)를 지나고 직선 \(A B\)와 평행한 직선이 선분 \(D F\)와 만나는 점을 \(G\)라 할 때, \(\sin(\angle A G F) = \dfrac{q}{p} \sqrt{85}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]