2021년 7월 고3 학력평가

\(4^{\dfrac{1}{2}} + \log_2 8\)의 값은?

\(\displaystyle\int_{0}^{1} (2x+3) d x\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 - a x\)에 대하여 \(f'(1) = 0\)일 때, 상수 \(a\)의 값은?

닫힌구간 \([-2, 2]\)에서 정의된 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1+} f(x)\)의 값은?

부등식 \(5^{2x-7} \leq \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-2}\)을 만족시키는 자연수 \(x\)의 개수는?

\(\cos(-\theta) + \sin(\pi + \theta) = \dfrac{3}{5}\)일 때, \(\sin \theta \cos \theta\)의 값은?

수열 \({a_n}\)은 \(a_1 = 10\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} 5 - \dfrac{10}{a_n} & \quad \quad (a_n \text{이 정수인 경우}) \\ -2 a_n + 3 & \quad \quad (a_n \text{이 정수가 아닌 경우}) \end{cases}\)를 만족시킨다. \(a_9 + a_{12}\)의 값은?

첫째항이 \(a (a > 0)\)이고, 공비가 \(r\)인 등비수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(2a = S_2 + S_3\), \(r^2 = 64 a^2\)일 때, \(a_5\)의 값은?

\(2\) 이상의 두 자연수 \(a\), \(n\)에 대하여 \((\sqrt[n]{a})^3\)의 값이 자연수가 되도록 하는 \(n\)의 최댓값을 \(f(a)\)라 하자. \(f(4) + f(27)\)의 값은?

\(0 \leq x < 2 \pi\)일 때, 방정식 \(3 \cos^2 x + 5 \sin x - 1 = 0\)의 모든 해의 합은?

\(a > 1\)인 실수 \(a\)에 대하여 두 함수 \(f(x) = \dfrac{1}{2} \log_a (x - 1) - 2\), \(g(x) = \log_{\dfrac{1}{a}} (x - 2) + 1\)이 있다. 직선 \(y = -2\)와 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 만나는 점을 \(A\)라 하고, 직선 \(x = 10\)과 두 함수 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\)의 그래프가 만나는 점을 각각 \(B\), \(C\)라 하자. 삼각형 \(A C B\)의 넓이가 \(28\)일 때, \(a^{10}\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)는 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 - 3x - 5} = 2\)를 만족시키고, 함수 \(g(x)\)는 \(g(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x - 3} & \quad \quad (x \neq 3) \\ 1 & \quad \quad (x = 3) \end{cases}\)이다. 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대하여 함수 \(f(x) g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \(f(1)\)의 값은?

첫째항이 \(1\)인 수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. 다음은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \((n+1) S_{n+1} = \log_2 (n+2) + \displaystyle\sum_{k=1}^n S_k \quad cdots (*)\)가 성립할 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k a_k\)를 구하는 과정이다. 주어진 식 \((*)\)에 의하여 \(n S_n = \log_2 (n+1) + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} S_k \ (n \geq 2) cdots circle.small\)이다. \((*)\)에서 \(circle.small\)을 빼서 정리하면 \((n+1) S_{n+1} - n S_n = \log_2 (n+2) - \log_2 (n+1) + \displaystyle\sum_{k=1}^n S_k - \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} S_k \ (n \geq 2)\)이므로 \(((가)) \times a_{n+1} = \log_2 \dfrac{n+2}{n+1} \ (n \geq 2)\)이다. \(a_1 = 1 = \log_2 2\)이고, \(2 S_2 = \log_2 3 + S_1 = \log_2 3 + a_1\)이므로 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(n a_n = (나)\)이다. 따라서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k a_k = (다)\)이다. 위의 \((가)\), \((나)\), \((다)\)에 알맞은 식을 각각 \(f(n)\), \(g(n)\), \(h(n)\)이라 할 때, \(f(8) - g(8) + h(8)\)의 값은?

시각 \(t = 0\)일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = 3 t^2 - 6 t\)일 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. 시각 \(t = 2\)에서 점 \(P\)의 움직이는 방향이 바뀐다. ㄴ. 점 \(P\)가 출발한 후 움직이는 방향이 바뀔 때 점 \(P\)의 위치는 \(-4\)이다. ㄷ. 점 \(P\)가 시각 \(t = 0\)일 때부터 가속도가 \(12\)가 될 때까지 움직인 거리는 \(8\)이다.

최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)에 대하여 방정식 \(f'(x) = 0\)의 서로 다른 세 실근 \(\alpha\), \(0\), \(\beta\) \((\alpha < 0 < \beta)\)가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 함수 \(f(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 \(f(x) = 9\)는 서로 다른 세 실근을 가진다. (나) \(f(\alpha) = -16\) 함수 \(g(x) = |f'(x)| - f'(x)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{10} g(x) d x\)의 값은?

두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1} \dfrac{x^2 + 4x + a}{x + 1} = b\)일 때, \(a + b\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 3 x^2 + 6 x - 4\)이고 \(f(1) = 5\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 + a x\)에서 \(x\)의 값이 \(1\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율이 \(f'(a)\)의 값과 같게 되도록 하는 양수 \(a\)에 대하여 \(3 a^2\)의 값을 구하시오.

두 다항함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{f(x) - 4}{x^2 - 4} = 2\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{g(x) + 1}{x - 2} = 8\)을 만족시킨다. 함수 \(h(x) = f(x) g(x)\)에 대하여 \(h'(2)\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 원 위의 점 \(C\)에 대하여 \(\overline{B C} = 12 \sqrt{2}\), \(\cos(\angle C A B) = \dfrac{1}{3}\)이다. 선분 \(A B\)를 \(5 : 4\)로 내분하는 점을 \(D\)라 할 때, 삼각형 \(C A D\)의 외접원의 넓이는 \(S\)이다. \(\dfrac{S}{\pi}\)의 값을 구하시오.

공차가 \(d\)이고 모든 항이 자연수인 등차수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_1 \leq d\) (나) 어떤 자연수 \(k (k \geq 3)\)에 대하여 세 항 \(a_2\), \(a_k\), \(a_{3k-1}\)이 이 순서대로 등비수열을 이룬다. \(90 \leq a_{16} \leq 100\)일 때, \(a_{20}\)의 값을 구하시오.

삼차함수 \(f(x) = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} x (x - 3)(x + 3)\)에 대하여 \(x \geq -3\)에서 정의된 함수 \(g(x)\)는 \(g(x) = \begin{cases} f(x) & \quad \quad (-3 \leq x < 3) \\ \dfrac{1}{k+1} f(x - 6k) & \quad \quad (6k - 3 \leq x < 6k + 3) \end{cases}\) (단, \(k\)는 모든 자연수) 이다. 자연수 \(n\)에 대하여 직선 \(y = n\)과 함수 \(y = g(x)\)의 그래프가 만나는 점의 개수를 \(a_n\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{12} a_n\)의 값을 구하시오.

\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\) 인 \(\theta\) 에 대하여 \(\sin \theta = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\) 일 때, \(\sec \theta\) 의 값은?

\(\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} 2 \cos 2x \sin^2 2x \, d x\) 의 값은?

자연수 \(r\) 에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} \dfrac{3^n + r^{n+1}}{3^n + 7 \times r^n} = 1\) 이 성립하도록 하는 모든 \(r\) 의 값의 합은?

그림과 같이 한 변의 길이가 4인 정사각형 \(O A_1 B_1 C_1\) 의 대각선 \(O B_1\) 을 3:1로 내분하는 점을 \(D_1\) 이라 하고, 네 선분 \(A_1 B_1\), \(B_1 C_1\), \(C_1 D_1\), \(D_1 A_1\) 로 둘러싸인 도형의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 중심이 \(O\) 이고 두 직선 \(A_1 D_1\), \(C_1 D_1\) 에 동시에 접하는 원과 선분 \(O B_1\) 이 만나는 점을 \(B_2\) 라 하자. 선분 \(O B_2\) 를 대각선으로 하는 정사각형 \(O A_2 B_2 C_2\) 를 그리고 정사각형 \(O A_2 B_2 C_2\) 에 그림 \(R_1\) 을 얻는 것과 같은 방법으로 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 그림 \(R_n\) 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} S_n\) 의 값은?

곡선 \(y = x e^{-2x}\) 의 변곡점을 \(A\) 라 하자. 곡선 \(y = x e^{-2x}\) 위의 점 \(A\) 에서의 접선이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(B\) 라 할 때, 삼각형 \(O A B\) 의 넓이는? (단, \(O\) 는 원점이다.)

그림과 같이 반지름의 길이가 5인 원에 내접하고, \(\overline{A B} = \overline{A C}\) 인 삼각형 \(A B C\) 가 있다. \(\angle B A C = \theta\) 라 하고, 점 \(B\) 를 지나고 직선 \(A B\) 에 수직인 직선이 원과 만나는 점 중 \(B\) 가 아닌 점을 \(D\), 직선 \(B D\) 와 직선 \(A C\) 가 만나는 점을 \(E\) 라 하자. 삼각형 \(A B C\) 의 넓이를 \(f(\theta)\), 삼각형 \(C D E\) 의 넓이를 \(g(\theta)\) 라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{g(\theta)}{\theta^2 \times f(\theta)}\) 의 값은? (단, \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\))

함수 \(f(x) = x^3 - x\) 와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 역함수가 존재하는 삼차함수 \(g(x) = a x^3 + x^2 + b x + 1\) 이 있다. 함수 \(g(x)\) 의 역함수 \(g^{-1}(x)\) 에 대하여 함수 \(h(x)\) 를 \(h(x) = \begin{cases} (f \circ g^{-1})(x) & \quad \text{if } x < 0 \text{또는} x > 1 \\ \dfrac{1}{\pi} \sin \pi x & \quad \text{if } 0 \leq x \leq 1 \end{cases}\) 이라 하자. 함수 \(h(x)\) 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, \(g(a+b)\) 의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\) 는 상수이다.)

두 자연수 \(a\), \(b\) 에 대하여 이차함수 \(f(x) = a x^2 + b\) 가 있다. 함수 \(g(x)\) 를 \(g(x) = \ln f(x) - \dfrac{1}{10} {f(x) - 1}\) 이라 하자. 실수 \(t\) 에 대하여 직선 \(y = |g(t)|\) 와 함수 \(y = |g(x)|\) 의 그래프가 만나는 점의 개수를 \(h(t)\) 라 하자. 두 함수 \(g(x)\), \(h(t)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\) 는 \(x = 0\) 에서 극솟값을 갖는다. (나) 함수 \(h(t)\) 가 \(t = k\) 에서 불연속인 \(k\) 의 값의 개수는 7이다. \(\displaystyle\int_{0}^{a} e^x f(x) \, d x = m e^a - 19\) 일 때, 자연수 \(m\) 의 값을 구하시오.

두 벡터 \(\overrightarrow{a} = (2, 4)\), \(\overrightarrow{b} = (-1, k)\)에 대하여 두 벡터 \(\overrightarrow{a}\)와 \(\overrightarrow{b}\)가 서로 평행하도록 하는 실수 \(k\)의 값은?

쌍곡선 \(x^2 - y^2 = 1\) 위의 점 \(P(a, b)\)에서의 접선의 기울기가 \(2\)일 때, \(a b\)의 값은? (단, 점 \(P\)는 제1사분면 위의 점이다.)

점 \(A(2, 6)\)과 직선 \(l : \dfrac{x - 5}{2} = y - 5\) 위의 한 점 \(P\)에 대하여 벡터 \(\overrightarrow{A P}\)와 직선 \(l\)의 방향벡터가 서로 수직일 때, \(|\overrightarrow{O P}|\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.)

그림과 같이 두 점 \(F(\sqrt{7}, 0)\), \(F'(-\sqrt{7}, 0)\)을 초점으로 하고 장축의 길이가 \(8\)인 타원이 있다. \(\overline{F F'} = \overline{P F'}\), \(\overline{F P} = 2 \sqrt{3}\)을 만족시키는 점 \(P\)에 대하여 점 \(F'\)을 지나고 선분 \(F P\)에 수직인 직선이 타원과 만나는 점 중 제1사분면 위의 점을 \(Q\)라 할 때, 선분 \(F Q\)의 길이는? (단, 점 \(P\)는 제1사분면 위의 점이다.)

그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 있는 서로 다른 두 점 \(A\), \(B\)와 평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 서로 다른 네 점 \(C\), \(D\), \(E\), \(F\)가 있다. 사각형 \(A B C D\)는 한 변의 길이가 \(6\)인 정사각형이고 사각형 \(A B E F\)는 \(\overline{A F} = 12\)인 직사각형이다. 정사각형 \(A B C D\)의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이는 \(18\)이고, 점 \(F\)의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영을 \(H\)라 하면 \(\overline{F H} = 6\)이다. 정사각형 \(A B C D\)의 평면 \(A B E F\) 위로의 정사영의 넓이는? (단, \(0 < \angle D A F < \dfrac{\pi}{2}\))

그림과 같이 좌표평면에서 포물선 \(y^2 = 4 x\)의 초점 \(F\)를 지나고 \(x\)축과 수직인 직선 \(l_1\)이 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, 점 \(F\)를 지나고 기울기가 \(m\) \((m > 0)\)인 직선 \(l_2\)가 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. 삼각형 \(F C A\)의 넓이가 삼각형 \(F D B\)의 넓이의 \(5\)배일 때, \(m\)의 값은? (단, 두 점 \(A\), \(C\)는 제1사분면 위의 점이고, 두 점 \(B\), \(D\)는 제4사분면 위의 점이다.)

그림과 같이 \(\overline{A B} = 4\), \(\overline{C D} = 8\), \(\overline{B C} = \overline{B D} = 4 \sqrt{5}\)인 사면체 \(A B C D\)에 대하여 직선 \(A B\)와 평면 \(A C D\)는 서로 수직이다. 두 선분 \(C D\), \(D B\)의 중점을 각각 \(M\), \(N\)이라 할 때, 선분 \(A M\) 위의 점 \(P\)에 대하여 선분 \(D B\)와 선분 \(P N\)은 서로 수직이다. 두 평면 \(P D B\)와 \(C D B\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(40 \cos^2 \theta\)의 값을 구하시오.

평면 위에 \(\overline{O A} = 2 + 2 \sqrt{3}\), \(\overline{A B} = 4\), \(\angle C O A = \dfrac{\pi}{3}\), \(\angle A = \angle B = \dfrac{\pi}{2}\)를 만족시키는 사다리꼴 \(O A B C\)가 있다. 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 원 위의 점 \(P\)에 대하여 \(\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O P}\)의 값이 최대가 되도록 하는 점 \(P\)를 \(Q\)라 할 때, 직선 \(O Q\)가 원과 만나는 점 중 \(Q\)가 아닌 점을 \(D\)라 하자. 원 위의 점 \(R\)에 대하여 \(\overrightarrow{D Q} \cdot \overrightarrow{A R}\)의 최댓값을 \(M\)이라 할 때, \(M^2\)의 값을 구하시오.

두 사건 \(A\)와 \(B\)는 서로 배반사건이고 \(P(A) = \dfrac{1}{12}\), \(P(A \cup B) = \dfrac{11}{12}\)일 때, \(P(B)\)의 값은?

다항식 \((2x+1)^7\)의 전개식에서 \(x^2\)의 계수는?

확률변수 \(X\)의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

\(X\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	합계
\(P(X=x)\)	\(a\)	\(\dfrac{1}{2}a\)	\(\dfrac{3}{2}a\)	\(1\)

\(E(X)\)의 값은?

한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 \(a\), \(b\), \(c\)라 할 때, \((a-2)^2 + (b-3)^2 + (c-4)^2 = 2\)가 성립할 확률은?

3개의 문자 A, B, C를 포함한 서로 다른 6개의 문자를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 두 문자 B와 C 사이에 문자 A를 포함하여 1개 이상의 문자가 있도록 나열하는 경우의 수는?

확률변수 \(X\)는 정규분포 \(N(m, 2^2)\), 확률변수 \(Y\)는 정규분포 \(N(m, \sigma^2)\)을 따른다. 상수 \(a\)에 대하여 두 확률변수 \(X\), \(Y\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(Y = 3X - a\) (나) \(P(X \leq 4) = P(Y \geq a)\) \(P(Y \geq 9)\)의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

1, 2, 3, 4, 5의 숫자가 하나씩 적힌 카드가 각각 1장, 2장, 3장, 4장, 5장이 있다. 이 15장의 카드 중에서 임의로 2장의 카드를 동시에 선택하는 시행을 한다. 이 시행에서 선택한 2장의 카드에 적힌 두 수의 곱의 모든 양의 약수의 개수가 3 이하일 때, 그 두 수의 합이 짝수일 확률은 \(\dfrac{q}{p}\)이다. \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

네 명의 학생 A, B, C, D에게 검은 공 4개, 흰 공 5개, 빨간 공 5개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) (가) 각 학생이 받는 공의 색의 종류의 수는 2이다. (나) 학생 A는 흰 공과 검은 공을 받으며 흰 공보다 검은 공을 더 많이 받는다. (다) 학생 A가 받는 공의 개수는 홀수이며 학생 A가 받는 공의 개수 이상의 공을 받는 학생은 없다.