2023년 7월 고3 학력평가

\(4^{1-\sqrt{3}} \times 2^{2 \sqrt{3} - 1}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 - 7x + 5\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}\)의 값은?

\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = \dfrac{3}{5}\)이고 \(\sin \theta \cos \theta < 0\)일 때, \(\sin \theta + 2 \cos \theta\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1^+} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1^-} f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} 3x + a & \quad \text{if } x \leq 1 \\ 2 x^3 + b x + 1 & \quad \text{if } x > 1 \end{cases}\)이 \(x = 1\)에서 미분가능할 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a, b\)는 상수이다.)

모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_3^2 = a_6\), \(a_2 - a_1 = 2\)일 때, \(a_5\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + a x^2 - 9x + 4\)가 \(x = 1\)에서 극값을 갖는다. 함수 \(f(x)\)의 극댓값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = t^2 - 4t + 3\)이다. 점 \(P\)가 시각 \(t = 1, t = a (a > 1)\)에서 운동 방향을 바꿀 때, 점 \(P\)가 시각 \(t = 0\)에서 \(t = a\)까지 움직인 거리는?

\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \((x^n - 8)(x^{2n} - 8) = 0\)의 모든 실근의 곱이 \(-4\)일 때, \(n\)의 값은?

\(0 \leq x < 2 \pi\)일 때, 곡선 \(y = |4 \sin 3x + 2|\)와 직선 \(y = 2\)가 만나는 서로 다른 점의 개수는?

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(1+x) + f(1-x) = 0\)이다. (나) \(\displaystyle\int_{-1}^3 f'(x) d x = 12\) \(f(4)\)의 값은?

모든 항이 정수이고 공차가 5인 등차수열 \(\{a_n\}\)과 자연수 \(m\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{2m+1} a_k < 0\) (나) \(|a_m| + |a_{m+1}| + |a_{m+2}| < 13\) \(24 < a_{21} < 29\)일 때, \(m\)의 값은?

그림과 같이 평행사변형 \(A B C D\)가 있다. 점 \(A\)에서 선분 \(B D\)에 내린 수선의 발을 \(E\)라 하고, 직선 \(C E\)가 선분 \(A B\)와 만나는 점을 \(F\)라 하자. \(\cos(\angle A F C) = \dfrac{\sqrt{10}}{10}\), \(\overline{E C} = 10\)이고 삼각형 \(C D E\)의 외접원의 반지름의 길이가 \(5 \sqrt{2}\)일 때, 삼각형 \(A F E\)의 넓이는?

최고차항의 계수가 1이고 \(f(-3) = f(0)\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \begin{cases} f(x) & \quad \text{if } x < -3 \text{또는} x \geq 0 \\ -f(x) & \quad \text{if } -3 \leq x < 0 \end{cases}\)이라 하자. 함수 \(g(x) g(x-3)\)이 \(x = k\)에서 불연속인 실수 \(k\)의 값이 한 개일 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 함수 \(g(x) g(x-3)\)은 \(x = 0\)에서 연속이다. ㄴ. \(f(-6) \times f(3) = 0\) ㄷ. 함수 \(g(x) g(x-3)\)이 \(x = k\)에서 불연속인 실수 \(k\)가 음수일 때 집합 \(\{x | f(x) = 0, x \text{는 실수}\}\)의 모든 원소의 합이 \(-1\)이면 \(g(-1) = -48\)이다.

모든 항이 자연수인 수열 \(\{a_n\}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_1 < 300\) (나) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{1}{3} a_n & \quad \text{if } \log_3 a_n \text{이 자연수인 경우} \\ a_n + 6 & \quad \text{if } \log_3 a_n \text{이 자연수가 아닌 경우} \end{cases}\) \(\displaystyle\sum_{k=4}^7 a_k = 40\)이 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합은?

방정식 \(\log_2 (x - 5) = \log_4 (x + 7)\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 9 x^2 - 8 x + 1\)이고 \(f(1) = 10\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

두 수열 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (2 a_k + 3) = 40\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (a_k - b_k) = -10\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (b_k + 5)\)의 값을 구하시오.

곡선 \(y = x^3 - 10\) 위의 점 \(P(-2, -18)\)에서의 접선과 곡선 \(y = x^3 + k\) 위의 점 \(Q\)에서의 접선이 일치할 때, 양수 \(k\)의 값을 구하시오.

실수 \(t \left(\sqrt{3} < t < \dfrac{13}{4}\right)\)에 대하여 두 함수 \(f(x) = |x^2 - 3| - 2 x\), \(g(x) = -x + t\)의 그래프가 만나는 서로 다른 네 점의 \(x\)좌표를 작은 수부터 크기순으로 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)라 하자. \(x_4 - x_1 = 5\)일 때, 닫힌구간 \([x_3, x_4]\)에서 두 함수 \(y = f(x), y = g(x)\)의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는 \(p - q \sqrt{3}\)이다. \(p \times q\)의 값을 구하시오. (단, \(p, q\)는 유리수이다.)

그림과 같이 곡선 \(y = 2^{x - m} + n (m > 0, n > 0)\)과 직선 \(y = 3 x\)가 서로 다른 두 점 \(A, B\)에서 만날 때, 점 \(B\)를 지나며 직선 \(y = 3 x\)에 수직인 직선이 \(y\)축과 만나는 점을 \(C\)라 하자. 직선 \(C A\)가 \(x\)축과 만나는 점을 \(D\)라 하면 점 \(D\)는 선분 \(C A\)를 \(5 : 3\)으로 외분하는 점이다. 삼각형 \(A B C\)의 넓이가 20일 때, \(m + n\)의 값을 구하시오. (단, 점 \(A\)의 \(x\)좌표는 점 \(B\)의 \(x\)좌표보다 작다.)

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 \(f(x)\)가 있다. 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = f(x) - x - f(t) + t\)라 할 때, 방정식 \(g(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(h(t)\)라 하자. 두 함수 \(f(x)\)와 \(h(t)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow -1} {h(t) - h(-1)} = \operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow 1} {h(t) - h(1)} = 2\) (나) \(\displaystyle\int_{0}^{\alpha} f(x) d x = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} |f(x)| d x\)를 만족시키는 실수 \(\alpha\)의 최솟값은 \(-1\)이다. (다) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{d}{d x} \displaystyle\int_{0}^{x} {f(u) - k u} d u \geq 0\)이 되도록 하는 실수 \(k\)의 최댓값은 \(f'(\sqrt{2})\)이다. \(f(6)\)의 값을 구하시오.

\(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} 2n(\sqrt{n^2+4} - \sqrt{n^2+1})\)의 값은?

함수 \(f(x) = \ln(x^2 - x + 2)\)와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 있다. 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 \(h(x)\)를 \(h(x) = f(g(x))\)라 하자. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{g(x)-4}{x-2} = 12\)일 때, \(h'(2)\)의 값은?

곡선 \(2e^{x+y-1} = 3e^x + x - y\) 위의 점 \((0, 1)\)에서의 접선의 기울기는?

함수 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 \(\displaystyle\int_{1}^{2} (x-1) f'\left(\dfrac{x}{2}\right) d x = 2\)를 만족시킨다. \(f(1) = 4\)일 때, \(\displaystyle\int_{\dfrac{1}{2}}^1 f(x) d x\)의 값은?

그림과 같이 \(\overline{A B_1} = \overline{A C_1} = \sqrt{17}\), \(\overline{B_1 C_1} = 2\)인 삼각형 \(A B_1 C_1\)이 있다. 선분 \(A B_1\) 위의 점 \(B_2\), 선분 \(A C_1\) 위의 점 \(C_2\), 삼각형 \(A B_1 C_1\)의 내부의 점 \(D_1\)을 \(\overline{B_1 D_1} = \overline{B_2 D_1} = \overline{C_1 D_1} = \overline{C_2 D_1}\), \(\angle B_1 D_1 B_2 = \angle C_1 D_1 C_2 = \dfrac{\pi}{2}\)가 되도록 잡고, 두 삼각형 \(B_1 D_1 B_2\), \(C_1 D_1 C_2\)에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\)이라 하자. 그림 \(R_1\)에서 선분 \(A B_2\) 위의 점 \(B_3\), 선분 \(A C_2\) 위의 점 \(C_3\), 삼각형 \(A B_2 C_2\)의 내부의 점 \(D_2\)를 \(\overline{B_2 D_2} = \overline{B_3 D_2} = \overline{C_2 D_2} = \overline{C_3 D_2}\), \(\angle B_2 D_2 B_3 = \angle C_2 D_2 C_3 = \dfrac{\pi}{2}\)가 되도록 잡고, 두 삼각형 \(B_2 D_2 B_3\), \(C_2 D_2 C_3\)에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\)라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} S_n\)의 값은?

그림과 같이 중심이 \(O\)이고 길이가 \(2\)인 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위에 점 \(P\)를 \(\angle P A B = \theta\)가 되도록 잡고, 점 \(P\)를 포함하지 않는 호 \(A B\) 위에 점 \(Q\)를 \(\angle Q A B = 2 \theta\)가 되도록 잡는다. 직선 \(O Q\)가 원과 만나는 점 중 \(Q\)가 아닌 점을 \(R\), 두 선분 \(P A\)와 \(Q R\)가 만나는 점을 \(S\)라 하자. 삼각형 \(B O Q\)의 넓이를 \(f(\theta)\), 삼각형 \(P R S\)의 넓이를 \(g(\theta)\)라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{g(\theta)}{f(\theta)}\)의 값은? (단, \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{6}\))

함수 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(x < 1\)일 때, \(f'(x) = -2x + 4\)이다. (나) \(x \geq 0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x^2 + 1) = a e^{2x} + b x\)이다. (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.) \(\displaystyle\int_{0}^{5} f(x) d x = p e^4 - q\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\), \(q\)는 유리수이다.)

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \sin |\pi f(x)|\)라 하자. 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 \(x\)축이 만나는 점의 \(x\)좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, \(n\)번째 수를 \(a_n\)이라 하자. 함수 \(g(x)\)와 자연수 \(m\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)는 \(x = a_4\)와 \(x = a_8\)에서 극대이다. (나) \(f(a_m) = f(0)\) \(f(a_k) \leq f(m)\)을 만족시키는 자연수 \(k\)의 최댓값을 구하시오.

두 벡터 \(\overrightarrow{a} = (2, 3)\), \(\overrightarrow{b} = (4, -2)\)에 대하여 벡터 \(2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\)의 모든 성분의 합은?

타원 \(\dfrac{x^2}{32} + \dfrac{y^2}{8} = 1\) 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \((a, b)\)에서의 접선이 점 \((8, 0)\)을 지날 때, \(a + b\)의 값은?

좌표평면에서 벡터 \(\overrightarrow{u} = (3, -1)\)에 평행한 직선 \(l\)과 직선 \(m : \dfrac{x - 1}{7} = y - 1\)이 있다. 두 직선 \(l\), \(m\)이 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(\cos \theta\)의 값은?

포물선 \(y^2 = 4 p x\) \((p > 0)\)의 초점 \(F\)를 지나는 직선이 포물선과 서로 다른 두 점 \(A\), \(B\)에서 만날 때, 두 점 \(A\), \(B\)에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. \(\overline{A C} : \overline{B D} = 2 : 1\)이고 사각형 \(A C D B\)의 넓이가 \(12 \sqrt{2}\)일 때, 선분 \(A B\)의 길이는? (단, 점 \(A\)는 제1사분면에 있다.)

공간에 선분 \(A B\)를 포함하는 평면 \(\alpha\)가 있다. 평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 점 \(C\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 할 때, 점 \(H\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\angle A H B = \dfrac{\pi}{2}\) (나) \(\sin(\angle C A H) = \sin(\angle A B H) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 평면 \(A B C\)와 평면 \(\alpha\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(\cos \theta\)의 값은? (단, 점 \(H\)는 선분 \(A B\) 위에 있지 않다.)

두 초점이 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\) \((c > 0)\)인 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)과 점 \(A(0, 6)\)을 중심으로 하고 두 초점을 지나는 원이 있다. 원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제1사분면에 있는 점 \(P\)와 두 직선 \(P F'\), \(A F\)가 만나는 점 \(Q\)가 \(\overline{P F} : \overline{P F'} = 3 : 4\), \(\angle F' Q F = \dfrac{\pi}{2}\) 를 만족시킬 때, \(b^2 - a^2\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 양수이고, 점 \(Q\)는 제2사분면에 있다.)

좌표평면 위에 길이가 \(6\)인 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위의 서로 다른 두 점 \(C\), \(D\)가 \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = 27\), \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D} = 9\), \(\overline{C D} > 3\) 을 만족시킨다. 선분 \(A C\) 위의 서로 다른 두 점 \(P\), \(Q\)와 상수 \(k\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\dfrac{3}{2} \overrightarrow{D P} - \overrightarrow{A B} = k \overrightarrow{B C}\) (나) \(\overrightarrow{Q B} \cdot \overrightarrow{Q D} = 3\) \(k \times (\overrightarrow{A Q} \cdot \overrightarrow{D P})\)의 값을 구하시오.

공간에 중심이 \(O\)이고 반지름의 길이가 \(4\)인 구가 있다. 구 위의 서로 다른 세 점 \(A\), \(B\), \(C\)가 \(\overline{A B} = 8\), \(\overline{B C} = 2 \sqrt{2}\) 를 만족시킨다. 평면 \(A B C\) 위에 있지 않은 구 위의 점 \(D\)에서 평면 \(A B C\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 할 때, 점 \(D\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 직선 \(O C\), \(O D\)가 서로 수직이다. (나) 두 직선 \(A D\), \(O H\)가 서로 수직이다. 삼각형 \(D A H\)의 평면 \(D O C\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(8 S\)의 값을 구하시오. (단, 점 \(H\)는 점 \(O\)가 아니다.)

다항식 \((x^2+2)^6\)의 전개식에서 \(x^8\)의 계수는?

한 개의 주사위를 네 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 \(a, b, c, d\)라 하자. 네 수 \(a, b, c, d\)의 곱 \(a \times b \times c \times d\)가 27의 배수일 확률은?

이산확률변수 \(X\)의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

\(X\)	1	2	3	합계
\(P(X=x)\)	\(a\)	\(a+b\)	\(b\)	1

\(E(X^2) = a + 5\)일 때, \(b - a\)의 값은? (단, \(a, b\)는 상수이다.)

주머니 A에는 흰 공 1개, 검은 공 2개가 들어 있고, 주머니 B에는 흰 공 3개, 검은 공 3개가 들어 있다. 주머니 A에서 임의로 1개의 공을 꺼내어 주머니 B에 넣은 후 주머니 B에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 주머니 B에서 꺼낸 3개의 공 중에서 적어도 한 개가 흰 공일 확률은?

숫자 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2가 하나씩 적힌 7장의 카드가 있다. 이 7장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 이웃하는 두 장의 카드에 적힌 수의 곱이 모두 1 이하가 되도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적힌 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.)

1부터 5까지의 자연수가 하나씩 적힌 5개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 공을 임의로 한 개씩 5번 꺼내어 \(n (1 \leq n \leq 5)\)번째 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 \(a_n\)이라 하자. \(a_k \leq k\)를 만족시키는 자연수 \(k (1 \leq k \leq 5)\)의 최솟값이 3일 때, \(a_1 + a_2 = a_4 + a_5\)일 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)

두 연속확률변수 \(X\)와 \(Y\)가 갖는 값의 범위는 \(0 \leq X \leq 4\), \(0 \leq Y \leq 4\)이고, \(X\)와 \(Y\)의 확률밀도함수는 각각 \(f(x), g(x)\)이다. 확률변수 \(X\)의 확률밀도함수 \(f(x)\)의 그래프는 그림과 같다. 확률변수 \(Y\)의 확률밀도함수 \(g(x)\)는 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 연속이고 \(0 \leq x \leq 4\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \( {g(x) - f(x)}{g(x) - a} = 0 \) (\(a\)는 상수) 를 만족시킨다. 두 확률변수 \(X\)와 \(Y\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(P(0 \leq Y \leq 1) < P(0 \leq X \leq 1)\) (나) \(P(3 \leq Y \leq 4) < P(3 \leq X \leq 4)\) \(P(0 \leq Y \leq 5a) = p - q \sqrt{2}\)일 때, \(p \times q\)의 값을 구하시오. (단, \(p, q\)는 자연수이다.)

집합 \(X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \(f: X \rightarrow X\)의 개수를 구하시오. (가) \(f(7) - f(1) = 3\) (나) 5 이하의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(f(n) \leq f(n+2)\)이다. (다) \(\dfrac{1}{3}|f(2) - f(1)|\)과 \(\dfrac{1}{3} \displaystyle\sum_{k=1}^4 f(2k-1)\)의 값은 모두 자연수이다.