2022년 9월 고2 학력평가

\(27^{\dfrac{2}{3}}\)의 값은?

\(\log_3 18 - \log_3 2\)의 값은?

\(12 \cos \dfrac{4}{3} \pi\)의 값은?

모든 항이 양수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_3 = 6\), \(a_6 = 3 a_4\)일 때, \(a_9\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1+} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1-} f(x)\)의 값은?

등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k = 30\)일 때, \(a_2 + a_4\)의 값은?

중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{6}\)이고 호의 길이가 \(\pi\)인 부채꼴의 넓이는?

함수 \(y = \log_3 (2x+1)\)의 역함수의 그래프가 점 \((4, a)\)를 지날 때, \(a\)의 값은?

\(\overline{A B} = 3\), \(\overline{B C} = 6\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. \(\angle A B C = \theta\)에 대하여 \(\sin \theta = \dfrac{2 \sqrt{14}}{9}\)일 때, 선분 \(A C\)의 길이는? (단, \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\))

첫째항이 \(1\)이고 공차가 \(3\)인 등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}\)의 값은?

그림과 같이 곡선 \(y = \log_4 x\) 위의 점 \(A\)와 곡선 \(y = -\log_4 (x+1)\) 위의 점 \(B\)가 있다. 점 \(A\)의 \(y\)좌표가 \(1\)이고, \(x\)축이 삼각형 \(O A B\)의 넓이를 이등분할 때, 선분 \(O B\)의 길이는? (단, \(O\)는 원점이다.)

모든 항이 양수인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\log_2 \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{1}{2}\)를 만족시킨다. 수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(\dfrac{S_{12}}{S_6}\)의 값은?

첫째항이 \(\dfrac{1}{2}\)인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = -\dfrac{1}{a_n - 1}\)을 만족시킨다. 수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(S_m = 11\)을 만족시키는 자연수 \(m\)의 값은?

그림과 같이 중심이 \(O\)이고 반지름의 길이가 \(6\)인 부채꼴 \(O A B\)가 있다. \(\overline{A B} = 8 \sqrt{2}\)이고 부채꼴 \(O A B\)의 호 \(A B\) 위의 한 점 \(P\)에 대하여 \(\angle B P A > 90^{\circ}\), \(\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 1\)일 때, 선분 \(B P\)의 길이는?

첫째항이 양수이고 공차가 \(2\)인 등차수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(a_k = 31\), \(S_{k+10} = 640\)을 만족시키는 자연수 \(k\)에 대하여 \(S_k\)의 값은?

집합 \(\{x | -4 \leq x \leq 4\}\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 2 \sin \dfrac{\pi x}{4}\)가 있다. 그림과 같이 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 직선 \(y = \sqrt{2}\)와 만나는 서로 다른 두 점을 \(A\), \(B\)라 하고, 두 점 \(B\), \(O\)를 지나는 직선이 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 만나는 점 중 \(B\)와 \(O\)가 아닌 점을 \(C\)라 하자. \(\angle B A C = \theta\)라 할 때, \(\sin \theta\)의 값은? (단, 점 \(B\)의 \(x\)좌표는 점 \(A\)의 \(x\)좌표보다 크고, \(O\)는 원점이다.)

실수 \(a (a > 1)\)과 자연수 \(n\)에 대하여 직선 \(x = n\)이 두 함수 \(y = 3 a^x\), \(y = 3 a^{x-1}\)의 그래프와 만나는 점을 각각 \(P_n\), \(Q_n\)이라 하자. 선분 \(P_n Q_n\)의 길이를 \(l_n\), 사다리꼴 \(P_n Q_n Q_{n+2} P_{n+2}\)의 넓이를 \(S_n\)이라 하자. 두 실수 \(L\), \(S\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} l_k = L\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 S_{4k-3} = S\)일 때, 다음은 \(\dfrac{S}{L} = \dfrac{2}{5}\)를 만족시키는 \(a\)의 값을 구하는 과정이다. 두 점 \(P_n\), \(Q_n\)의 좌표는 각각 \((n, 3 a^n)\), \((n, 3 a^{n-1})\)이고 선분 \(P_n Q_n\)의 길이 \(l_n\)은 \(l_n = 3 (a-1) \times a^{n-1}\)이므로 \(L = \displaystyle\sum_{k=1}^{20} l_k = 3 \times (\text{(가)})\)이다. 사다리꼴 \(P_n Q_n Q_{n+2} P_{n+2}\)의 넓이 \(S_n\)은 \(S_n = 3 (a-1) \times (a^{n-1} + a^{n+1})\)이므로 \(S = \displaystyle\sum_{k=1}^5 S_{4k-3} = S_1 + S_5 + S_9 + S_{13} + S_{17} = \dfrac{3}{(\text{(나)})} \times (\text{(가)})\)이다. 따라서 \(\dfrac{S}{L} = \dfrac{\dfrac{3}{(\text{(나)})} \times (\text{(가)})}{3 \times (\text{(가)})} = \dfrac{1}{(\text{(나)})} = \dfrac{2}{5}\)이므로 \(a = \) (다) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(a)\), \(g(a)\)라 하고, (다)에 알맞은 수를 \(p\)라 할 때, \(\dfrac{f(\sqrt{2})}{g(20 p)}\)의 값은?

집합 \(\{x | -\pi \leq x \leq \pi\}\)에서 정의된 함수 \(f(x) = |\sin 2x + \dfrac{2}{3}|\)가 있다. 양수 \(k\)에 대하여 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 두 직선 \(y = 3k\), \(y = k\)와 만나는 서로 다른 점의 개수를 각각 \(m\), \(n\)이라 할 때, \(|m - n| = 3\)을 만족시킨다. \(-\pi \leq x \leq \pi\)일 때, \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) = k\)의 모든 실근의 합은?

그림과 같이 곡선 \(y = \log_2 x\) 위의 한 점 \(A(x_1, y_1)\)을 지나고 기울기가 \(-1\)인 직선이 곡선 \(y = 2^x\)과 만나는 점을 \(B(x_2, y_2)\)라 하고, 두 점 \(B\), \(O\)를 지나는 직선 \(l\)이 곡선 \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\)과 만나는 점을 \(C(x_3, y_3)\)이라 하자. 삼각형 \(O A B\)의 넓이가 삼각형 \(O A C\)의 넓이의 \(2\)배일 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(x_1 > 1\)이고, \(O\)는 원점이다.) ㄱ. \(\overline{O C} = \dfrac{1}{2} \overline{O A}\) ㄴ. \(x_2 + y_1 = 4 x_3\) ㄷ. 직선 \(l\)의 기울기는 \(3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{1}{3}}\)이다.

그림과 같이 양수 \(a\)에 대하여 \(\overline{A B} = 4\), \(\overline{B C} = a\), \(\overline{C A} = 8\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. \(\angle B A C\)의 이등분선이 선분 \(B C\)와 만나는 점을 \(P\)라 하자. \(a (\sin B + \sin C) = 6 \sqrt{3}\)일 때, 선분 \(A P\)의 길이는? (단, \(\angle B A C > 90^{\circ}\))

양수 \(a\)와 \(0\)이 아닌 실수 \(d\)에 대하여 첫째항이 모두 \(a\)이고, 공차가 각각 \(d\), \(-2d\)인 두 등차수열 \({a_n}\)과 \({b_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(|a_1| = |b_7|\) (나) \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n (|a_k| - |b_k|)\)라 할 때, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n \leq 108\)이고, \(S_p = 108\)인 자연수 \(p\)가 존재한다. \(S_n \geq 0\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최댓값을 \(m\)이라 할 때, \(a_m\)의 값은?

\(\cos \theta = \dfrac{1}{3}\)일 때, \(9 \sin^2 \theta\)의 값을 구하시오.

방정식 \(4^x - 15 \times 2^{x+1} - 64 = 0\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

\(\log_5 2 = a\), \(\log_2 7 = b\)일 때, \(25^{a b}\)의 값을 구하시오.

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (a_k)^2 = 20\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (a_k + 1)^2 = 50\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하시오.

두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 8\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{g(x)}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{2}\)을 만족시킬 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x+1) f(x)}{g(x)}\)의 값을 구하시오.

두 함수 \(f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x - a}\), \(g(x) = (x - 1)(x - 3)\)에 대하여 합성함수 \(h(x) = (f \circ g)(x)\)라 하자. 함수 \(h(x)\)가 \(0 \leq x \leq 5\)에서 최솟값 \(\dfrac{1}{4}\), 최댓값 \(M\)을 갖는다. \(M\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

\(2\) 이상의 자연수 \(n\)과 상수 \(k\)에 대하여 \(n^2 - 17 n + 19 k\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 하자. \(\displaystyle\sum_{n=2}^{19} f(n) = 19\)를 만족시키는 자연수 \(k\)의 값을 구하시오.

양수 \(m\)과 \(0\)이 아닌 실수 \(a\)에 대하여 두 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + (a - 1) x - a^2 + 2 \text{ } (x \leq 2 m) \\ -3 x + 4 a \text{ } (x > 2 m) \end{cases}\) \(g(x) = \begin{cases} a x - a \text{ } (x \leq m + 1) \\ x - a + 1 \text{ } (x > m + 1) \end{cases}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \alpha-} f(x) \neq \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \alpha+} f(x)\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \beta-} g(x) \neq \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \beta+} g(x)\)인 실수 \(\alpha\), \(\beta\)가 존재한다. (나) 모든 실수 \(k\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow k} \dfrac{f(x)}{g(x)}\)의 값이 존재한다. \(m + g(a^2)\)의 값을 구하시오.

\(\dfrac{12}{5} < k \leq 4\)인 상수 \(k\)와 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(n\)이 짝수이면 \(a_n\)은 \(0 \leq x \leq 2\)에서 직선 \(y = -\dfrac{k}{2 n}\)와 곡선 \(y = 2 \sin \left(n \pi x + \dfrac{\pi}{2}\right) + |k \sin^2 (n \pi x) - (k - 1)|\)이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다. (나) \(n\)이 홀수이면 \(a_n\)은 \(0 \leq x \leq 2\)에서 직선 \(y = \dfrac{k + 1}{n}\)과 곡선 \(y = 2 \sin \left(n \pi x + \dfrac{\pi}{2}\right) + |k \sin^2 (n \pi x) - (k - 1)|\)이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다. \(0 < a_2 < 6\)일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^5 a_n\)의 값을 구하시오.