2025년 7월 고3 학력평가 (미적분)

\(\sqrt[4]{3} \times 3^{\dfrac{3}{4}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + x\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} (f(1+h) - f(1))/h\)의 값은?

모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_1 \times a_{13} = 64\), \(\dfrac{a_5}{a_2} = 2\)일 때, \(a_4\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} a x^3 - 5 \text{ (} x < 2 \text{)} \\ a x + 1 \text{ (} x \geq 2 \text{)} \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = (x^2 - 1)f(x)\)라 하자. \(f(1) = 5\)일 때, \(g'(1)\)의 값은?

\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)일 때, \(\sin \theta \cos \theta\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{1}^{x} f(t) d t = x f(x) - x^3\)을 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값은?

\(1\)이 아닌 두 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(\log_2 a + \log_4 (a b) = \dfrac{5}{2}\)일 때, \(a + b\)의 값은?

이차함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\int_{-1}^1 f'(x) d x = 0\)을 만족시킬 때, \(f(0) - f(-1) + \displaystyle\int_{0}^{1} {x^2 + 2x + f'(x)} d x\)의 값은?

다음과 같이 \(0 \leq x < 2\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 있다. \(n - 1 \leq x < n\)일 때, \(f(x) = 3^n \sin(\pi x) + 4\)이다. (단, \(n = 1, 2\)) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위의 점 중 \(y\)좌표가 자연수인 점의 개수는?

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P\), \(Q\)의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 위치가 각각 \(x_1 = t^3 - 5t^2 + 10t\), \(x_2 = \dfrac{5}{2} t^2 - 2t - 10\)이다. 두 점 \(P\), \(Q\) 사이의 거리가 최소가 되는 순간 점 \(P\)의 가속도는?

첫째항이 \(1\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)이 있다. 수열 \(\{b_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_{n+1} = \begin{cases} b_n + 1 \text{ (n이 3의 배수인 경우)} \\ b_n + a_n \text{ (n이 3의 배수가 아닌 경우)} \end{cases}\)를 만족시킨다. \(b_9 - b_3 = 27\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 - 4x + 5\)와 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} f(x + a) + b \text{ (} x < 0 \text{)} \\ f(x) \text{ (} x \geq 0 \text{)} \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 연속이다. 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 직선 \(y = t\)가 만나는 점의 개수를 \(h(t)\)라 하자. \(|\operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow k+} h(t) - \operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow k-} h(t)| = 2\)를 만족시키는 서로 다른 모든 실수 \(k\)의 값이 \(1, 4, 5\)일 때, \(g(-4)\)의 값은?

그림과 같이 반지름의 길이가 \(3\sqrt{2}\)인 원 \(O\)의 외부에 있는 점 \(A\)에서 원 \(O\)에 그은 두 접선을 각각 \(l\), \(m\)이라 하고, 두 직선 \(l\), \(m\)이 원 \(O\)와 만나는 점을 각각 \(B\), \(C\)라 하자. 점 \(B\)를 지나고 직선 \(l\)에 수직인 직선이 원 \(O\)와 만나는 두 점 중에서 \(B\)가 아닌 점을 \(P\), 직선 \(A P\)가 원 \(O\)와 만나는 두 점 중에서 \(P\)가 아닌 점을 \(Q\)라 하면 \(\overline{A B} = 12\)일 때, \(\sin(\angle B P Q) : \sin(\angle Q P C) = 3 : 1\)이다. 삼각형 \(B Q C\)의 넓이는?

함수 \(f(x) = x^2 + a x + b\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} |f(x)| - x^2 \text{ (} x \leq 0 \text{)} \\ |f(x)|^2 + x^3 \text{ (} x > 0 \text{)} \end{cases}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)는 \(x = b\)에서만 미분가능하지 않다. (나) 방정식 \(g(x) = 0\)은 음의 실근을 갖는다. \(g\left(-\dfrac{1}{2}\right) + g(3)\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

방정식 \(2 \log_3 (x + 1) = \log_3 (x + 7)\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 6x^2 + 1\)이고 \(f(0) = 2\)일 때, \(f(1)\)의 값을 구하시오.

두 수열 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{19} (2 a_{k+1} - b_k) = 150\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{19} (a_{k+1} + b_k) = 330\)이다. \(a_1 = 3\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} a_k\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = f(-x)\)를 만족시킨다. 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 극솟값 \(-6\)을 가질 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 구하시오.

두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = -2^{-x + a} + b\)가 있다. 집합 \(\{x | x \neq 4, x\)는 실수\(\}\)에서 정의된 함수 \(g(x) = f(x) + 2^x + \dfrac{|x - 4|}{x - 4} {f(x) - 2^x}\)이 다음 조건을 만족시킬 때, \(g(6)\)의 값을 구하시오. 모든 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 직선 \(y = t\)가 만나는 점의 개수는 \(0\) 또는 \(2\)이다.

함수 \(f(x) = -x^2 + k x\) \((k > 0)\)의 그래프 위에 있는 제 \(1\) 사분면 위의 점 \(A(a, f(a))\) \(\left(a > \dfrac{k}{2}\right)\)에서의 접선의 방정식을 \(y = g(x)\)라 하고, 직선 \(y = g(x)\)의 \(x\)절편을 \(b\)라 하자. 점 \(A\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하고, 삼각형 \(A O H\)의 넓이를 \(S\)라 할 때, 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) d x = S\) (나) \(\displaystyle\int_{0}^{a} {f(x) - \dfrac{1}{2} a x} d x = \dfrac{32}{3}\) \(g(-k)\)의 값을 구하시오. (단, \(O\)는 원점이고, \(k\)는 상수이다.)

모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_6 = 6\)이 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합을 구하시오. (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+2} = \begin{cases} a_{n+1} + a_n \text{ (} a_n \text{ 이 홀수인 경우)} \\ \dfrac{1}{2} a_n \text{ (} a_n \text{ 이 짝수인 경우)} \end{cases}\)이다. (나) 네 항 \(a_2, a_3, a_4, a_5\) 중 짝수인 항의 개수는 \(1\)이다.

\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} (e^{7x} - 1)/x\)의 값은?

매개변수 \(t\)로 나타내어진 곡선 \(x = t + \sin t\), \(y = -4 \cos t + 2 \sin^2 t\)에서 \(t = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, \(d \dfrac{y}{d} x\)의 값은?

\(x > 0\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 \(f(x) = \operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\left(\dfrac{x}{5}\right)^{n+1} + 2x}{\left(\dfrac{x}{5}\right)^n + 1}\)일 때, \(f(k) = 5\)를 만족시키는 모든 양수 \(k\)의 값의 합은?

양수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y = \ln(x)/x\) 위의 한 점 \(P(t, \ln(t)/t)\)와 점 \(A(0, 1)\)을 지나는 직선의 기울기를 \(f(t)\)라 할 때, \(\displaystyle\int_{1}^{e} f(t) d t\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\)가 실수 \(k\) \((k \neq 0)\)에 대하여 \(f(3 - 2k) = f(3)\)을 만족시킨다. 함수 \(g(x) = (f(x) + k)/e^{f(x)}\)가 \(x = 3\)에서 극대이고 \(g(3) = e\)일 때, \(g(k)\)의 값은?

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 \(f(x) = \begin{cases} \ln(-x)/x \text{ (} x < 0 \text{)} \\ -x^2 + 2x + a \text{ (} x \geq 0 \text{)} \end{cases}\)이다. 실수 \(t\) \((0 < t < 2)\)에 대하여 \(f'(x) = t\)를 만족시키는 음수 \(x\)의 값을 \(g(t)\)라 하고, 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시키도록 하는 \(a\)의 값을 \(h(t)\)라 하자. \(k \geq a\)인 모든 실수 \(k\)에 대하여 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = t x + k\)가 만나는 서로 다른 점의 개수는 \(2\)이다. \(g(1) + h'(1)\)의 값은? (단, \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} \ln(x)/x = 0\))

첫째항이 자연수이고 공비가 \(-\dfrac{1}{2}\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)이 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (|a_n + 1| - a_n - 1) = 26\)을 만족시킨다. \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} e^{\cos \pi t} d t\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 \(h(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(h(g(x) + 2) = 2x^3 + 6 f(1) x^2 + 1\)을 만족시킨다. \(\displaystyle\int_{3}^{7} \dfrac{h'(x)}{f(x)} d x = k \times {f(1)}^2\)일 때, 실수 \(k\)의 값을 구하시오.