2025년 9월 고1 학력평가

두 다항식 \(A = 2x^2 + x y + y^2\), \(B = x^2 + 2 x y - y^2\)에 대하여 \(A + B\)를 간단히 하면?

두 행렬 \(A = \begin{pmatrix} 6 & a+1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ b-1 & 1 \end{pmatrix}\)에 대하여 \(A = B\)일 때, \(a \times b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

복소수 \(z = 1 + 3i\)의 켤레복소수가 \(\overline{z}\)일 때, \((z + \overline{z}) i\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))

등식 \(a (x + 2)^2 + 1 = 2 x^2 + b x + 9\)가 \(x\)에 대한 항등식일 때, 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a + b\)의 값은?

\(x\)에 대한 이차방정식이 중근을 갖도록 하는 상수의 값은? (OCR 수식 누락)

\(x\)에 대한 이차부등식의 해가 주어졌을 때, 두 상수에 대한 식의 값은? (OCR 수식 누락)

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 정할 때, 조건을 만족시키는 모든 순서쌍의 개수는? (OCR 수식 누락)

행렬 \(A = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)에 대하여 행렬 \(A^2 + A^3\)의 모든 성분의 합은?

다항식 \(x (x - 4)(x^2 - 4 x + 7) + 12\)가 \((x - 1)(x + a)(x + b)^2\)으로 인수분해될 때, 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(2 a + b\)의 값은?

연립방정식 \(\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ 3 x^2 - x y - 7 y = 3 \end{cases}\)의 해를 \(x = \alpha\), \(y = \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta\)의 값은?

다음 조건을 만족시키는 모든 정수 \(k\)의 개수는? (가) \(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 + k x + 3 k = 0\)이 서로 다른 두 허근을 갖는다. (나) \(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 2 (k - 3) x + 4 k - 7 = 0\)이 실근을 갖는다.

A 고등학교와 B 고등학교 학생들은 음악 활동으로 피아노와 드럼을 배우고 있다. <표1>은 A 고등학교와 B 고등학교의 남학생 수와 여학생 수를 나타낸 것이다. 두 학교 모두 <표2>와 같이 남학생의 20%는 피아노를, 80%는 드럼을 배우고, 여학생의 70%는 피아노를, 30%는 드럼을 배운다. <표1>과 <표2>를 각각 행렬 \(P = \begin{pmatrix} 120 & 160 \\ 130 & 140 \end{pmatrix}\), \(Q = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.8 \\ 0.7 & 0.3 \end{pmatrix}\)으로 나타낼 때, B 고등학교에서 드럼을 배우는 모든 학생 수를 나타낸 것은?

두 이차정사각행렬 \(A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & -2 \end{pmatrix}\), \(B\)가 \(A + 2 B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}\), \(A B = O\)를 만족시킬 때, 행렬 \(B\)의 모든 성분의 합은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이고, \(O\)는 영행렬이다.)

\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} |x - k| \leq 4 \\ x^2 - 11 x + 18 < 0 \end{cases}\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 3이 되도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 합은?

두 정수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(x\)에 대한 두 다항식 \(P(x) = x^4 + x^3 + 2 x - 4\), \(Q(x) = x^4 + x^3 + a x^2 + b x + 1\)이 모두 \(x + b\)로 나누어떨어질 때, \(P(b) + Q(a)\)의 값은?

최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 방정식 \(f(x) = 0\)은 서로 다른 두 실근을 갖고, 두 근의 곱은 4이다. 방정식 \(f(x) = -x + 1\)의 두 근의 차가 2일 때, \(f(6)\)의 값은?

이차항의 계수가 3인 이차함수 \(f(x)\)와 일차항의 계수가 12인 일차함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(3)\)의 값은? (가) \(f(0) - g(0) = f(2) - g(2) = 3\) (나) 방정식 \(f(x) + g(x) = 0\)이 중근을 갖는다.

\(x\)에 대한 삼차방정식 \(x^3 - 6 x^2 + (k + 8) x - 2 k = 0\)은 서로 다른 세 실근 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) \((\alpha < \beta < \gamma)\)를 갖는다. \(2 \alpha + \beta = 2 \gamma\)일 때, 상수 \(k\)의 값은?

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 이차함수 \(f(x) = a (x - b)^2\)이 있다. 실수 \(k\)에 대하여 \(k \leq x \leq k + 2\)에서 이차함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 차를 \(g(k)\)라 할 때, 함수 \(g(k)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(g(3) = a\) (나) \(g(2) + g(6) = 32\) \(f(6)\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(a\) \((a < 0)\)인 두 이차함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대하여 \(f(3) = g(3)\)이다. 함수 \(h(x)\)를 \(h(x) = \begin{cases} f(x) \text{ } (x \leq 3) \\ g(x) \text{ } (x > 3) \end{cases}\)이라 할 때, 함수 \(h(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(y = h(x)\)의 그래프와 직선 \(y = f(0)\)이 만나는 점의 \(x\)좌표는 \(0\), \(4\), \(12\) 뿐이다. (나) 두 실수 \(\alpha\), \(\beta\) \((\alpha < 3 < \beta)\)에 대하여 함수 \(y = h(x)\)의 그래프와 직선 \(y = 2 x - 8\)이 만나는 점의 \(x\)좌표는 \(\alpha\), \(3\), \(\beta\)이다. \(\alpha + \beta = 6\)일 때, \(h(-2) + h(5)\)의 값은?

그림과 같이 월요일부터 금요일까지 총 5일 동안 진행되는 스포츠 주간에 서로 다른 네 종목 A, B, C, D를 활동하기 위한 스포츠 활동 신청서가 있다. 매일 서로 다른 두 종목씩 하루도 빠짐없이 활동하도록 다음 규칙에 따라 스포츠 활동 신청서를 작성하는 경우의 수는? (단, 종목을 신청하는 순서는 고려하지 않는다.) (가) 각 종목은 적어도 2일을 선택하여 활동한다. (나) 종목 A와 종목 B는 같은 요일에 활동하지 않는다. (다) 종목 B와 종목 C는 하루만 같은 요일에 활동한다.

\(attach(P, bl: 4)_3 + attach(C, bl: 4)_3\)의 값을 구하시오.

연립부등식 \(\begin{cases} 3 x \leq x + 16 \\ x + 8 \leq 4 x - 10 \end{cases}\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.

두 이차정사각행렬 \(A\), \(B\)에 대하여 \(A + B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\), \(A - 2 B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & -11 \end{pmatrix}\)일 때, 행렬 \(B\)의 모든 성분의 합을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 이차다항식 \(P(x)\)를 \(x - 1\)로 나눈 나머지가 2이고, \(x - 2\)로 나눈 나머지가 3이다. \(P(x)\)를 \(x - 3\)으로 나눈 나머지를 구하시오.

다음 조건을 만족시키는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오. (가) 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수 중 7의 개수는 1이다. (나) 백의 자리의 수와 일의 자리의 수의 곱을 2로 나눈 나머지는 1이다.

상수 \(a\)에 대하여 다항식 \(f(x)\)를 \((x - a)^2\)으로 나눈 나머지는 \(2 f(x) + 6 x^2 - 4\)이다. \((f(x))^2 - 2 f(x) + 3\)을 \(x^2 - 4 x - 5\)로 나눈 나머지가 2일 때, \(f(a^2)\)의 값을 구하시오.

이차함수 \(f(x) = \dfrac{1}{2} x^2 - 2 x\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 두 점을 각각 O, A라 하자. \(0 < m < 2\)인 실수 \(m\)에 대하여 점 O를 지나고 기울기가 \(m\)인 직선 \(l_1\)이 이차함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 만나는 점 중 O가 아닌 점을 B, 점 A를 지나고 기울기가 \(m\)인 직선 \(l_2\)가 이차함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 만나는 점 중 A가 아닌 점을 C라 하자. 두 점 B, C에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 하고, 두 삼각형 AEC, ADB의 넓이를 각각 \(S_1\), \(S_2\)라 하자. \(S_1 - S_2\)의 최댓값을 \(\dfrac{q}{p}\)라 할 때, \(p \times q\)의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

1부터 8까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 8장의 카드가 있다. 이 8장의 카드 중에서 6장의 카드를 택하여 왼쪽부터 모두 일렬로 나열한다. 이 6장의 카드에 적힌 수를 왼쪽부터 순서대로 \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\), \(a_6\)이라 할 때, 세 자연수 \(A\), \(B\), \(C\)를 \(A = a_1 \times 100 + a_2 \times 10 + a_3\), \(B = a_4 \times 10 + a_5\), \(C = a_6\)이라 하자. 두 수 \(A + B + C\), \(A - B - C\)가 모두 5의 배수가 되도록 하는 \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\), \(a_6\)의 모든 순서쌍 \((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6)\)의 개수를 구하시오.

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 이차함수 \(f(x) = \dfrac{1}{4} (x - 4)^2 + a\)와 두 일차함수 \(g(x) = b x + 7\), \(h(x) = -\dfrac{1}{b} x + 7\)이 있다. 세 함수 \(f(x)\), \(g(x)\), \(h(x)\)와 두 실수 \(\alpha\), \(\beta\) \((\alpha < \beta)\)가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((f(x) - g(x))(f(x) - h(x)) = \dfrac{1}{16} (x - \alpha)^n (x - \beta)^{4 - n}\)을 만족시키는 자연수 \(n\)이 존재한다. (단, \(1 \leq n \leq 3\)) 네 점 \(A(\alpha, f(\alpha))\), \(B(\beta, f(\beta))\), \(C(\alpha, 0)\), \(D(\beta, 0)\)에 대하여 사각형 ACDB의 넓이의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M + m = p + q \sqrt{5}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 유리수이다.)