2022년 3월 고3 학력평가

\((3 \sqrt{3})^{\dfrac{1}{3}} \times 3^{\dfrac{3}{2}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4\)에 대하여 \(f'(-1)\)의 값은?

등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_4 = 6\), \(2 a_7 = a_{19}\)일 때, \(a_1\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1+} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1-} f(x)\)의 값은?

\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\cos \theta \tan \theta = \dfrac{1}{2}\)일 때, \(\cos \theta + \tan \theta\)의 값은?

함수 \(f(x) = 2x^2 - 3x + 5\)에서 \(x\)의 값이 \(a\)에서 \(a+1\)까지 변할 때의 평균변화율이 \(7\)이다. \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + 2h) - f(a)}{h}\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

그림과 같이 곡선 \(y = x^2 - 4x + 6\) 위의 점 \(A(3, 3)\)에서의 접선을 \(l\)이라 할 때, 곡선 \(y = x^2 - 4x + 6\)과 직선 \(l\) 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

그림과 같이 양의 상수 \(a\)에 대하여 곡선 \(y = 2 \cos a x\) \(\left(0 \leq x \leq \dfrac{2 \pi}{a}\right)\)와 직선 \(y = 1\)이 만나는 두 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하자. \(\overline{A B} = \dfrac{8}{3}\)일 때, \(a\)의 값은?

수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = 3t^2 + a t\)이다. 시각 \(t = 0\)에서의 점 \(P\)의 위치와 시각 \(t = 6\)에서의 점 \(P\)의 위치가 서로 같을 때, 점 \(P\)가 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 6\)까지 움직인 거리는? (단, \(a\)는 상수이다.)

두 함수 \(f(x) = x^2 + 2x + k\), \(g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 2\)에 대하여 함수 \((g \circ f)(x)\)의 최솟값이 \(2\)가 되도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값은?

그림과 같이 두 상수 \(a\), \(k\)에 대하여 직선 \(x = k\)가 두 곡선 \(y = 2^{x-1} + 1\), \(y = \log_2 (x - a)\)와 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, 점 \(B\)를 지나고 기울기가 \(-1\)인 직선이 곡선 \(y = 2^{x-1} + 1\)과 만나는 점을 \(C\)라 하자. \(\overline{A B} = 8\), \(\overline{B C} = 2 \sqrt{2}\)일 때, 곡선 \(y = \log_2 (x - a)\)가 \(x\)축과 만나는 점 \(D\)에 대하여 사각형 \(A C D B\)의 넓이는? (단, \(0 < a < k\))

\(a > 2\)인 상수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \quad \text{if } x \leq 2 \\ -x^2 + a x & \quad \text{if } x > 2 \end{cases}\)라 하자. 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(g(x)\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(h(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(h(1) + h(3)\)의 값은? (가) \(x \neq 1\), \(x \neq a\)일 때, \(h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}\)이다. (나) \(h(1) = h(a)\)

첫째항이 양수인 등차수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(|S_3| = |S_6| = |S_{11}| - 3\)을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)의 첫째항의 합은?

두 함수 \(f(x) = x^3 - k x + 6\), \(g(x) = 2x^2 - 2\)에 대하여 <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(k = 0\)일 때, 방정식 \(f(x) + g(x) = 0\)은 오직 하나의 실근을 갖는다. ㄴ. 방정식 \(f(x) - g(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값은 \(4\)뿐이다. ㄷ. 방정식 \(|f(x)| = g(x)\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(5\)가 되도록 하는 실수 \(k\)가 존재한다.

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 \(A B C D\)에 대하여 \(\overline{A B} = \overline{B C} = 2\), \(\overline{A D} = 3\), \(\angle B A D = \dfrac{\pi}{3}\)이다. 두 직선 \(A D\), \(B C\)의 교점을 \(E\)라 하자. 다음은 \(\angle A E B = \theta\)일 때, \(\sin \theta\)의 값을 구하는 과정이다. 삼각형 \(A B D\)와 삼각형 \(B C D\)에서 코사인법칙을 이용하면 \(\overline{C D} = \) (가) 이다. 삼각형 \(E A B\)와 삼각형 \(E C D\)에서 \(\angle A E B\)는 공통, \(\angle E A B = \angle E C D\)이므로 삼각형 \(E A B\)와 삼각형 \(E C D\)는 닮음이다. 이를 이용하면 \(\overline{E D} = \) (나) 이다. 삼각형 \(E C D\)에서 사인법칙을 이용하면 \(\sin \theta = \) (다) 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(p\), \(q\), \(r\)라 할 때, \((p + q) \times r\)의 값은?

\(\dfrac{\log_5 72}{\log_5 2} - 4 \log_2 \dfrac{\sqrt{6}}{2}\)의 값을 구하시오.

\(\displaystyle\int_{-3}^2 (2x^3 + 6|x|) d x - \displaystyle\int_{-3}^{-2} (2x^3 - 6x) d x\)의 값을 구하시오.

부등식 \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 2^{k-1} < \displaystyle\sum_{k=1}^n (2k - 1) < \displaystyle\sum_{k=1}^5 (2 \times 3^{k-1})\)을 만족시키는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하시오.

모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(3x^4 - 4x^3 - 12 x^2 + k \geq 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.

수열 \({a_n}\)은 \(1 < a_1 < 2\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} -2 a_n & \quad \text{if } a_n < 0 \\ a_n - 2 & \quad \text{if } a_n \geq 0 \end{cases}\)을 만족시킨다. \(a_7 = -1\)일 때, \(40 \times a_1\)의 값을 구하시오.

상수 \(k\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 좌표평면의 점 \(A\)가 오직 하나 존재한다. (가) 점 \(A\)는 곡선 \(y = \log_2 (x + 2) + k\) 위의 점이다. (나) 점 \(A\)를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점은 곡선 \(y = 4^{x+k} + 2\) 위에 있다. \(k_1 \times k_2\)의 값을 구하시오. (단, \(k_1 \neq k_2\))

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)와 최고차항의 계수가 \(1\)이고 상수항이 \(0\)인 삼차함수 \(g(x)\)가 있다. 양의 상수 \(a\)에 대하여 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) g(x) = a |x(x-2)(x-4)|\)이다. (나) 방정식 \(f(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수는 \(2\)이다. \(f(5) + g(5)\)의 값을 구하시오.