2022년 4월 고3 학력평가

\((27 \times \sqrt{8})^{\dfrac{2}{3}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + 7x - 4\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?

\(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 3} \dfrac{\sqrt{2x-5}-1}{x-3}\)의 값은?

등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_2 = 1\), \(a_5 = 2(a_3)^2\)일 때, \(a_6\)의 값은?

부등식 \(\log_2 x \leq 4 - \log_2 (x-6)\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합은?

\(\sin \theta + \cos \theta = \dfrac{1}{2}\)일 때, \((2 \sin \theta + \cos \theta)(\sin \theta + 2 \cos \theta)\)의 값은?

\(f(3) = 2\), \(f'(3) = 1\)인 다항함수 \(f(x)\)와 최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(g(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 3} \dfrac{f(x) - g(x)}{x-3} = 1\)을 만족시킬 때, \(g(1)\)의 값은?

공비가 \(\sqrt{3}\)인 등비수열 \({a_n}\)과 공비가 \(-\sqrt{3}\)인 등비수열 \({b_n}\)에 대하여 \(a_1 = b_1\), \(\displaystyle\sum_{n=1}^8 a_n + \displaystyle\sum_{n=1}^8 b_n = 160\)일 때, \(a_3 + b_3\)의 값은?

그림과 같이 두 곡선 \(y = 2^{-x+a}\), \(y = 2^x - 1\)이 만나는 점을 A, 곡선 \(y = 2^{-x+a}\)이 \(y\)축과 만나는 점을 B라 하자. 점 A에서 \(y\)축에 내린 수선의 발을 H라 할 때, \(\overline{OB} = 3 \times \overline{OH}\)이다. 상수 \(a\)의 값은? (단, O는 원점이다.)

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = 3(t-2)(t-a)\) (\(a > 2\)인 상수)이다. 점 P의 시각 \(t = 0\)에서의 위치는 0이고, \(t > 0\)에서 점 P의 위치가 0이 되는 순간은 한 번뿐이다. \(v(8)\)의 값은?

자연수 \(k\)에 대하여 \(0 \leq x < 2\pi\)일 때, \(x\)에 대한 방정식 \(\sin k x = \dfrac{1}{3}\)의 서로 다른 실근의 개수가 8이다. \(0 \leq x < 2\pi\)일 때, \(x\)에 대한 방정식 \(\sin k x = \dfrac{1}{3}\)의 모든 해의 합은?

수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(1 \leq n \leq 4\)인 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n + a_{n+4} = 15\)이다. (나) \(n \geq 5\)인 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} - a_n = n\)이다. \(\displaystyle\sum_{n=1}^4 a_n = 6\)일 때, \(a_5\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{1}{x-2} \displaystyle\int_{1}^{x} (x-t) f(t) d t = 3\)을 만족시킬 때, \(\displaystyle\int_{1}^{2} (4x+1) f(x) d x\)의 값은?

정수 \(k\)와 함수 \(f(x) = \begin{cases} x+1 \text{(} x<0 \text{)} \\ x-1 \text{(} 0 \leq x < 1 \text{)} \\ 0 \text{(} 1 \leq x \leq 3 \text{)} \\ -x+4 \text{(} x > 3 \text{)} \end{cases}\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = |f(x-k)|\)라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. \(k = -3\)일 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 0-} g(x) = g(0)\)이다. ㄴ. 함수 \(f(x) + g(x)\)가 \(x = 0\)에서 연속이 되도록 하는 정수 \(k\)가 존재한다. ㄷ. 함수 \(f(x) g(x)\)가 \(x = 0\)에서 미분가능하도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 합은 \(-5\)이다.

그림과 같이 반지름의 길이가 \(R (5 < R < 5 \sqrt{5})\)인 원에 내접하는 사각형 ABCD가 다음 조건을 만족시킨다. \(\overline{AB} = \overline{AD}\)이고 \(\overline{AC} = 10\)이다. 사각형 ABCD의 넓이는 40이다. 다음은 선분 BD의 길이와 \(R\)의 비를 구하는 과정이다. \(\overline{AB} = \overline{AD} = k\)라 할 때 두 삼각형 ABC, ACD에서 각각 코사인법칙에 의하여 \(\cos(\angle A C B) = \dfrac{1}{20} (\overline{BC} + \dfrac{\text{(가)}}{\overline{BC}})\), \(\cos(\angle D C A) = \dfrac{1}{20} (\overline{CD} + \dfrac{\text{(가)}}{\overline{CD}})\)이다. 이때 두 호 AB, AD에 대한 원주각의 크기가 같으므로 \(\cos(\angle A C B) = \cos(\angle D C A)\)이다. 사각형 ABCD의 넓이는 두 삼각형 ABD, BCD의 넓이의 합과 같으므로 \(\dfrac{1}{2} k^2 \sin(\angle B A D) + \dfrac{1}{2} \times \overline{BC} \times \overline{CD} \times \sin(\pi - \angle B A D) = 40\)에서 \(\sin(\angle B A D) = \) (나) 이다. 따라서 삼각형 ABD에서 사인법칙에 의하여 \(\overline{BD} : R = \) (다) \(: 1\)이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 \(f(k)\)라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(p\), \(q\)라 할 때, \(\dfrac{f(10p)}{q}\)의 값은?

\(\log_2 9 \times \log_3 16\)의 값을 구하시오.

곡선 \(y = -x^2 + 4x - 4\)와 \(x\)축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(12 S\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)의 한 부정적분 \(F(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(F(x) = (x+2) f(x) - x^3 + 12 x\)를 만족시킨다. \(f(0) = 4\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(x^4 - 4 x^3 + 16 x + a \geq 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(a\)의 최솟값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = -f(x)\)를 만족시킨다. 양수 \(t\)에 대하여 좌표평면 위의 네 점 \((t, 0)\), \((0, t)\), \((-t, 0)\), \((0, -t)\)를 꼭짓점으로 하는 마름모가 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점의 개수를 \(g(t)\)라 할 때, 함수 \(g(t)\)는 \(t = a\), \(t = b\)에서 불연속이다. \(a \times b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\)는 \(0 < a < b\)인 상수이다.)

공차가 자연수 \(d\)이고 모든 항이 정수인 등차수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 \(d\)의 값의 합을 구하시오. (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n \neq 0\)이다. (나) \(a_{2m} = -a_m\)이고 \(\displaystyle\sum_{k=m}^{2m} |a_k| = 128\)인 자연수 \(m\)이 존재한다.

양수 \(a\)와 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} {f'(t+a) \times f'(t-a)} d t\)가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 \(g(x)\)는 \(x = \dfrac{1}{2}\)과 \(x = \dfrac{13}{2}\)에서만 극값을 갖는다. \(f(0) = -\dfrac{1}{2}\)일 때, \(a \times f(1)\)의 값을 구하시오.