2023년 3월 고3 학력평가

\(\sqrt[3]{8} \times \dfrac{2^\sqrt{2}}{2^{1+\sqrt{2}}}\) 의 값은?

함수 \(f(x) = 2x^3 - x^2 + 6\) 에 대하여 \(f'(1)\) 의 값은?

등비수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_5 = 4\), \(a_7 = 4 a_6 - 16\) 을 만족시킬 때, \(a_8\) 의 값은?

다항함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(\displaystyle\int_{1}^{x} f(t) d t = x^3 - a x + 1\) 을 만족시킬 때, \(f(2)\) 의 값은? (단, \(a\) 는 상수이다.)

\(\cos(\pi + \theta) = \dfrac{1}{3}\) 이고 \(\sin(\pi + \theta) > 0\) 일 때, \(\tan \theta\) 의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 - a x + 1 & \quad \text{if } x < 2 \\ -x + 1 & \quad \text{if } x \geq 2 \end{cases}\) 에 대하여 함수 \(\{f(x)\}^2\) 이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 \(a\) 의 값의 합은?

함수 \(y = |x^2 - 2 x| + 1\) 의 그래프와 \(x\) 축, \(y\) 축 및 직선 \(x = 2\) 로 둘러싸인 부분의 넓이는?

두 점 \(A(m, m+3)\), \(B(m+3, m-3)\) 에 대하여 선분 \(A B\) 를 \(2:1\) 로 내분하는 점이 곡선 \(y = \log_4 (x + 8) + m - 3\) 위에 있을 때, 상수 \(m\) 의 값은?

함수 \(f(x) = |x^3 - 3 x^2 + p|\) 는 \(x = a\) 와 \(x = b\) 에서 극대이다. \(f(a) = f(b)\) 일 때, 실수 \(p\) 의 값은? (단, \(a, b\) 는 \(a \neq b\) 인 상수이다.)

공차가 양수인 등차수열 \(\{a_n\}\) 이 다음 조건을 만족시킬 때, \(a_{10}\) 의 값은? (가) \(|a_4| + |a_6| = 8\) (나) \(\displaystyle\sum_{k=1}^9 a_k = 27\)

그림과 같이 \(\angle B A C = 60^{\circ}\), \(\overline{A B} = 2 \sqrt{2}\), \(\overline{B C} = 2 \sqrt{3}\) 인 삼각형 \(A B C\) 가 있다. 삼각형 \(A B C\) 의 내부의 점 \(P\) 에 대하여 \(\angle P B C = 30^{\circ}\), \(\angle P C B = 15^{\circ}\) 일 때, 삼각형 \(A P C\) 의 넓이는?

곡선 \(y = x^2\) 과 기울기가 \(1\) 인 직선 \(l\) 이 서로 다른 두 점 \(A, B\) 에서 만난다. 양의 실수 \(t\) 에 대하여 선분 \(A B\) 의 길이가 \(2 t\) 가 되도록 하는 직선 \(l\) 의 \(y\) 절편을 \(g(t)\) 라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow \infty} \dfrac{g(t)}{t^2}\) 의 값은?

두 함수 \(f(x) = x^2 + a x + b\), \(g(x) = \sin x\) 가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(2)\) 의 값은? (단, \(a, b\) 는 상수이고, \(0 \leq a \leq 2\) 이다.) (가) \(\{g(a \pi)\}^2 = 1\) (나) \(0 \leq x \leq 2 \pi\) 일 때, 방정식 \(f(g(x)) = 0\) 의 모든 해의 합은 \(\dfrac{5}{2} \pi\) 이다.

세 양수 \(a, b, k\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 를 \(f(x) = \begin{cases} a x & \quad \text{if } x < k \\ -x^2 + 4 b x - 3 b^2 & \quad \text{if } x \geq k \end{cases}\) 라 하자. 함수 \(f(x)\) 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(a = 1\) 이면 \(f'(k) = 1\) 이다. ㄴ. \(k = 3\) 이면 \(a = -6 + 4 \sqrt{3}\) 이다. ㄷ. \(f(k) = f'(k)\) 이면 함수 \(y = f(x)\) 의 그래프와 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 \(\dfrac{1}{3}\) 이다.

모든 항이 자연수인 수열 \(\{a_n\}\) 이 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_{n+2} = \begin{cases} a_{n+1} + a_n & \quad \text{if } (a_{n+1} + a_n) \text{ 홀수인 경우} \\ \dfrac{1}{2}(a_{n+1} + a_n) & \quad \text{if } (a_{n+1} + a_n) \text{ 짝수인 경우} \end{cases}\) 를 만족시킨다. \(a_1 = 1\) 일 때, \(a_6 = 34\) 가 되도록 하는 모든 \(a_2\) 의 값의 합은?

\(\log_2 96 - \dfrac{1}{\log_6 2}\) 의 값을 구하시오.

직선 \(y = 4 x + 5\) 가 곡선 \(y = 2 x^4 - 4 x + k\) 에 접할 때, 상수 \(k\) 의 값을 구하시오.

\(n\) 이 자연수일 때, \(x\) 에 대한 이차방정식 \(x^2 - 5 n x + 4 n^2 = 0\) 의 두 근을 \(\alpha_n, \beta_n\) 이라 하자. \(\displaystyle\sum_{n=1}^7 (1 - \alpha_n)(1 - \beta_n)\) 의 값을 구하시오.

시각 \(t = 0\) 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\) 의 시각 \(t (t \geq 0)\) 에서의 속도가 각각 \(v_1(t) = 3 t^2 - 15 t + k\), \(v_2(t) = -3 t^2 + 9 t\) 이다. 점 \(P\) 와 점 \(Q\) 가 출발한 후 한 번만 만날 때, 양수 \(k\) 의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 \(1\) 이고 \(f(0) = 1\) 인 삼차함수 \(f(x)\) 와 양의 실수 \(p\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(g'(0) = 0\) (나) \(g(x) = \begin{cases} f(x - p) - f(-p) & \quad \text{if } x < 0 \\ f(x + p) - f(p) & \quad \text{if } x \geq 0 \end{cases}\) \(\displaystyle\int_{0}^{p} g(x) d x = 20\) 일 때, \(f(5)\) 의 값을 구하시오.

그림과 같이 \(1\) 보다 큰 두 실수 \(a, k\) 에 대하여 직선 \(y = k\) 가 두 곡선 \(y = 2 \log_a x + k\), \(y = a^{x - k}\) 과 만나는 점을 각각 \(A, B\) 라 하고, 직선 \(x = k\) 가 두 곡선 \(y = 2 \log_a x + k\), \(y = a^{x - k}\) 과 만나는 점을 각각 \(C, D\) 라 하자. \(\overline{A B} \times \overline{C D} = 85\) 이고 삼각형 \(C A D\) 의 넓이가 \(35\) 일 때, \(a + k\) 의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 \(1\) 인 사차함수 \(f(x)\) 가 있다. 실수 \(t\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \(g(x) = |f(x) - t|\) 라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow k} \dfrac{g(x) - g(k)}{|x - k|}\) 의 값이 존재하는 서로 다른 실수 \(k\) 의 개수를 \(h(t)\) 라 하자. 함수 \(h(t)\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow 4+} h(t) = 5\) (나) 함수 \(h(t)\) 는 \(t = -60\) 과 \(t = 4\) 에서만 불연속이다. \(f(2) = 4\) 이고 \(f'(2) > 0\) 일 때, \(f(4) + h(4)\) 의 값을 구하시오.