2025년 10월 고3 학력평가 (미적분)

\(\sqrt[3]{3} \times 9^{\dfrac{1}{3}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + 2x + 1\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은?

첫째항이 8이고 공비가 0이 아닌 등비수열 \({a_n}\)이 \(a_1 a_3 = 2 a_2 a_4\)를 만족시킬 때, \(a_5\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + a \quad (x < 3) \\ x + 2a \quad (x \geq 3) \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x^2 - x)(2 x^2 - 5)\)에 대하여 \(f'(2)\)의 값은?

\(\pi < \theta < \dfrac{3}{2} \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\tan(\pi - \theta) = -2\)일 때, \(\cos \theta - \sin \theta\)의 값은?

곡선 \(y = x^3 - 6 x + 7\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 \(y\)절편은?

두 실수 \(a\), \(b\)가 \(3 a + b = \log_3 45\), \(a + b = \log_9 5\)를 만족시킬 때, \(a - b\)의 값은?

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 위치가 각각 \(x_1 = -t^3 + 7 t^2 - 10 t\), \(x_2 = t^2 + 2 t\)이다. 두 점 P, Q의 속도가 같아지는 순간 두 점 P, Q 사이의 거리는?

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 2a]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 3 \sin \dfrac{\pi x}{a} + b\)의 그래프가 \(x\)축과 오직 한 점 \((2, 0)\)에서 만날 때, \(a + b\)의 값은?

이차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((x + 3) f(x) = \displaystyle\int_{-3}^x (4 f(t) - 2 t^2) d t\)를 만족시킨다. \(f(2)\)의 값은?

모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{30} a_n\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M\), \(m\)이라 할 때, \(M - m\)의 값은? 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(3 a_n^2 + 2 n a_n - 8 n^2 = 0\)이다.

상수 \(a (a > 1)\)에 대하여 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f(0) = f(a) = f(a + 1) = 0\)을 만족시킨다. 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = 2 x\)가 세 점 O, P, Q \((\overline{O P} < \overline{O Q})\)에서 만난다. 두 점 R\((a, 0)\), S\((a + 1, 0)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 두 선분 OP, OR로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\), 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 RS로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\)라 하자. \(\overline{O Q} = 5 \sqrt{5}\)일 때, \(A - B\)의 값은? (단, O는 원점이다.)

그림과 같이 \(\overline{B C} = 6\)인 삼각형 ABC에서 선분 AC를 \(4 : 3\)으로 내분하는 점을 D라 하자. 선분 BD 위의 점 E가 \(\angle D A E = \angle D B C\), \(\sin(\angle D A E) : \sin(\angle E D A) = 1 : 3\)을 만족시킨다. \(\overline{A E} = \sqrt{5}\)일 때, 삼각형 BCD의 외접원의 넓이는?

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} |f(t)| d t + |\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t|\)라 하자. 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(g(x) = 0\)을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 범위는 \(-7 \leq x \leq 0\)이다. (나) 양수 \(p\)에 대하여 \(g(x) = 81\)을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 범위는 \(4 p \leq x \leq 7 p\)이다. \(f(-10)\)의 값은?

방정식 \(\log_4 (x + 2) + \log_4 2 = \log_2 (x - 2)\)를 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 6 x^2 - 2 x\)이고 \(f(1) = 3\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^7 (a_n - 2)(b_n - 2) = 60\), \(\displaystyle\sum_{n=1}^7 (a_n + b_n) = 44\)일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^7 a_n b_n\)의 값을 구하시오.

두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = x^3 - 6 x^2 + a x + b\)라 하자. 함수 \(f(x)\)는 \(x = 3\)에서 극값을 갖고, 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값의 합이 8이다. \(a + b\)의 값을 구하시오.

상수 \(a\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는 함수 \(f(x) = \begin{cases} 2^{x+2} + 7 \quad (x < -2) \\ -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-a} + 10 \quad (x \geq -2) \end{cases}\)가 있다. 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(x + 2^a y - t = 0\)이 만나는 점의 개수를 \(g(t)\)라 하자. \(g(t) = 2\)를 만족시키는 \(t\)의 최솟값이 함수 \(f(x)\)의 최솟값과 같도록 하는 모든 \(2^a\)의 값의 곱을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow k} \dfrac{2 x^2 f(x) - (f(k))^2}{x - k} = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow k} \dfrac{(f(x))^2 - (f(k))^2}{x - k}\)을 만족시키는 실수 \(k\)는 \(t\), \(-t\) \((t > 1)\)뿐이다. 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 17일 때, \(f(4)\)의 값을 구하시오.

실수 \(k\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 \({a_n}\)이 있다. \(a_1 = 3\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} |a_n + n| \quad (a_n < 0) \\ a_n - 10 + k \quad (a_n \geq 0) \end{cases}\)이다. \(a_4 \times a_5 = 0\)이 되도록 하는 \(k\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M + m = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan 5 x}{e^x - 1}\)의 값은?

\(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2 n + k}\)의 값은?

등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{a_n^2 + 2 n} - a_n) = \dfrac{1}{3}\)일 때, 수열 \({a_n}\)의 공차는?

그림과 같이 곡선 \(y = 2 \sqrt{x} e^{-x^2}\)과 \(x\)축 및 두 직선 \(x = \dfrac{1}{2}\), \(x = 1\)로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

세 실수 \(k (k < -1)\), \(a\), \(b (1 < a < b)\)에 대하여 두 점 A\((a, b)\), B\((b, a)\)가 곡선 \(C : x^2 - x y + y^2 + k = 0\) 위에 있다. 곡선 \(C\) 위의 점 A에서의 접선과 곡선 \(C\) 위의 점 B에서의 접선이 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 하자. \(\overline{A B} = 2 \sqrt{2}\), \(\tan \theta = \dfrac{4}{3}\)일 때, \(k + a + b\)의 값은?

최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) > 0\)이다. 상수 \(k\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \displaystyle\int_{k}^{x} f'(t) \ln f(t) d t\)라 하자. 함수 \(g(x)\)가 \(x = a\)에서 극대 또는 극소인 모든 \(a\)를 작은 수부터 크기순으로 나열하면 \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\)이다. 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(a_2)\)의 값은? (가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x) \geq 0\)이다. (나) \(\displaystyle\int_{a_1}^{a_3} (g(x) + f(x) - f(x) \ln f(x)) d x = \dfrac{3}{2}\)

등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n + a_{n+1}) = 5\), \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(|a_{n+1} + a_{n+2}| \times \sin \dfrac{n \pi}{2}\right) = 2\)일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (100 a_n - m a_{3n})\)의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 \(m\)의 최댓값을 구하시오.

함수 \(f(x) = a x^3 - 2 a x^2 + b x - b - 2\)가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 \(a (a \neq 0)\), \(b\)에 대하여 \(h'(-\sqrt{2})\)의 최댓값이 \(\dfrac{k}{\pi}\)일 때, \(k^2\)의 값을 구하시오. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(g(x) = \begin{cases} f(x) + 2 \quad (x < 0 \text{또는} x > 2) \\ -2 \cos(\dfrac{\pi}{4} f(x)) \quad (0 \leq x \leq 2) \end{cases}\)는 역함수 \(h(x)\)를 갖는다.