2024년 7월 고3 학력평가

\(\sqrt[3]{16} \times 2^{-\dfrac{1}{3}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = 2x^2 + 5x - 2\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1}\)의 값은?

\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\tan \theta = -2\)일 때, \(\sin(\pi + \theta)\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1+} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2-} f(x)\)의 값은?

삼차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) - f(1) = x^3 + 4x^2 - 5x\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\int_{1}^{2} f'(x) d x\)의 값은?

모든 항이 양수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\dfrac{a_3 + a_4}{a_1 + a_2} = 4\), \(a_2 a_4 = 1\)일 때, \(a_6 + a_7\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 2a\)의 극솟값이 \(a + 3\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

삼차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x f'(x) = 6 x^3 - x + f(0) + 1\)을 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값은?

좌표평면 위에 서로 다른 세 점 \(A(\log_2 a, \log_4 b)\), \(B(\log_4 a, \log_2 b)\), \(C(\log_2 b, \log_4 a)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC가 있다. 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 \((2, 2)\)일 때, \(\log_2 (a b)\)의 값은?

양수 \(a\)에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = 3 t (a - t)\)이다. 시각 \(t = 0\)에서 점 P의 위치는 \(0\)이고, 시각 \(t = a\)에서 점 P의 위치는 \(4\)이다. 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 2a\)까지 점 P가 움직인 거리는?

공차가 \(d (0 < d < 1)\)인 등차수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_5\)는 자연수이다. (나) 수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(S_8 = \dfrac{68}{3}\)이다. \(a_{16}\)의 값은?

두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(0 \leq x < 4\)일 때, \(f(x) = x^3 + a x^2 + b x\)이다. (나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 4) = f(x) + 16\)이다. \(\displaystyle\int_{4}^{7} f(x) d x\)의 값은?

그림과 같이 \(\overline{B C} = \dfrac{36 \sqrt{7}}{7}\), \(\sin(\angle B A C) = \dfrac{2 \sqrt{7}}{7}\), \(\angle A C B = \dfrac{\pi}{3}\)인 삼각형 ABC가 있다. 삼각형 ABC의 외접원의 중심을 O, 직선 AO가 변 BC와 만나는 점을 D라 하자. 삼각형 ADC의 외접원의 중심을 O'이라 할 때, \(\overline{A O'} = 5 \sqrt{3}\)이다. \(\overline{O O'}^2\)의 값은? (단, \(0 < \angle B A C < \dfrac{\pi}{2}\))

양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = \begin{cases} -2 (x + 1)^2 + 4 & \quad \quad x \leq 0 \\ a (x - 5) & \quad \quad x > 0 \end{cases}\)이다. 함수 \(f(x)\)와 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(g(x)\)에 대하여 \(f(k) = g(k)\)를 만족시키는 서로 다른 모든 실수 \(k\)의 값이 \(-2\), \(0\), \(2\)일 때, \(g(2 a)\)의 값은?

첫째항이 자연수인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{1}{2} a_n & \quad \quad \left(\dfrac{1}{2} a_n \text{이 자연수인 경우}\right) \\ (a_n - 1)^2 & \quad \quad \left(\dfrac{1}{2} a_n \text{이 자연수가 아닌 경우}\right) \end{cases}\)를 만족시킬 때, \(a_7 = 1\)이 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합은?

방정식 \(\log_5 (x + 9) = \log_5 4 + \log_5 (x - 6)\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = (x - 3)(x^2 + x - 2)\)에 대하여 \(f'(5)\)의 값을 구하시오.

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{15} (3 a_k + 2) = 45\), \(2 \displaystyle\sum_{k=1}^{15} a_k = 42 + \displaystyle\sum_{k=1}^{14} a_k\)일 때, \(a_{15}\)의 값을 구하시오.

양수 \(a\)에 대하여 \(0 \leq x \leq 3\)에서 정의된 두 함수 \(f(x) = a \sin \pi x\), \(g(x) = a \cos \pi x\)가 있다. 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)가 만나는 서로 다른 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 \(2\)일 때, \(a^2\)의 값을 구하시오.

두 함수 \(f(x) = x^3 - 12 x\), \(g(x) = a (x - 2) + 2 (a \neq 0)\)에 대하여 함수 \(h(x)\)는 \(h(x) = \begin{cases} f(x) & \quad \quad (f(x) \geq g(x)) \\ g(x) & \quad \quad (f(x) < g(x)) \end{cases}\)이다. 함수 \(h(x)\)가 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 범위는 \(m < a < M\)이다. 함수 \(y = h(x)\)의 그래프와 직선 \(y = k\)가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)가 존재한다. \(10 \times (M - m)\)의 값을 구하시오.

\(m \leq -10\)인 상수 \(m\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = \begin{cases} |5 \log_2 (4 - x) + m| & \quad \quad (x \leq 0) \\ 5 \log_2 x + m & \quad \quad (x > 0) \end{cases}\)이다. 실수 \(t (t > 0)\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) = t\)의 모든 실근의 합을 \(g(t)\)라 하자. 함수 \(g(t)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(m)\)의 값을 구하시오. \(t \geq a\)인 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(g(t) = g(a)\)가 되도록 하는 양수 \(a\)의 최솟값은 \(2\)이다.

두 자연수 \(a\), \(b (a < b < 8)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = \begin{cases} |x + 3| - 1 & \quad \quad (x < a) \\ x - 10 & \quad \quad (a \leq x < b) \\ |x - 9| - 1 & \quad \quad (x \geq b) \end{cases}\)이다. 함수 \(f(x)\)와 양수 \(k\)는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(f(x) f(x + k)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) \(f(k) < 0\) \(f(a) \times f(b) \times f(k)\)의 값을 구하시오.