2025학년도 수능 (수학 영역) (기하)

\(\sqrt[3]{5} \times 25^{\dfrac{1}{3}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 - 8x + 7\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}\)의 값은?

첫째항과 공비가 모두 양수 \(k\)인 등비수열 \({a_n}\)이 \(\dfrac{a_4}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_1} = 30\)을 만족시킬 때, \(k\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} 5x + a & \quad \text{if } x < -2 \\ x^2 - a & \quad \text{if } x \geq -2 \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x^2 + 1)(3x^2 - x)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?

\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = -\dfrac{1}{5}\)일 때, \(\dfrac{\sin \theta}{1 - \cos^2 \theta}\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t = 3x^3 + 2x\)를 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값은?

두 실수 \(a = 2 \log \dfrac{1}{\sqrt{10}} + \log_2 20\), \(b = \log 2\)에 대하여 \(a \times b\)의 값은?

함수 \(f(x) = 3x^2 - 16x - 20\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{-2}^a f(x) d x = \displaystyle\int_{-2}^0 f(x) d x\)일 때, 양수 \(a\)의 값은?

닫힌구간 \([0, 2 \pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = a \cos b x + 3\)이 \(x = \dfrac{\pi}{3}\)에서 최댓값 13을 갖도록 하는 두 자연수 \(a, b\)의 순서쌍 \((a, b)\)에 대하여 \(a + b\)의 최솟값은?

시각 \(t = 0\)일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 위치 \(x\)가 \(x = t^3 - \dfrac{3}{2} t^2 - 6t\)이다. 출발한 후 점 P의 운동 방향이 바뀌는 시각에서의 점 P의 가속도는?

\(a_1 = 2\)인 수열 \({a_n}\)과 \(b_1 = 2\)인 등차수열 \({b_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{b_{k+1}} = \dfrac{1}{2} n^2\)을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k\)의 값은?

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f(1) = f(2) = 0\), \(f'(0) = -7\)을 만족시킨다. 원점 O와 점 \(P(3, f(3))\)에 대하여 선분 OP가 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점 중 P가 아닌 점을 Q라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y\)축 및 선분 OQ로 둘러싸인 부분의 넓이를 A, 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 PQ로 둘러싸인 부분의 넓이를 B라 할 때, \(B - A\)의 값은?

그림과 같이 삼각형 ABC에서 선분 AB 위에 \(\overline{A D} : \overline{D B} = 3 : 2\)인 점 D를 잡고, 점 A를 중심으로 하고 점 D를 지나는 원을 O, 원 O와 선분 AC가 만나는 점을 E라 하자. \(\sin A : \sin C = 8 : 5\)이고, 삼각형 ADE와 삼각형 ABC의 넓이의 비가 \(9 : 35\)이다. 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이가 7일 때, 원 O 위의 점 P에 대하여 삼각형 PBC의 넓이의 최댓값은? (단, \(\overline{A B} < \overline{A C}\))

상수 \(a (a \neq 3 \sqrt{5})\)와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} x^3 + a x^2 + 15 x + 7 & \quad \text{if } x \leq 0 \\ f(x) & \quad \text{if } x > 0 \end{cases}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (나) \(x\)에 대한 방정식 \(g'(x) \times g'(x - 4) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수는 4이다. \(g(-2) + g(2)\)의 값은?

방정식 \(\log_2 (x - 3) = \log_4 (3 x - 5)\)를 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 9 x^2 + 4 x\)이고 \(f(1) = 6\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n + a_{n+4} = 12\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{16} a_n\)의 값을 구하시오.

양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = 2 x^3 - 3 a x^2 - 12 a^2 x\)라 하자. 함수 \(f(x)\)의 극댓값이 \(\dfrac{7}{27}\)일 때, \(f(3)\)의 값을 구하시오.

곡선 \(y = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-3}\)과 직선 \(y = x\)가 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(k\)라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(x > k\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-3}\)이고 \(f(f(x)) = 3 x\)이다. \(f\left(\dfrac{1}{k^3 \times 5^{3 k}}\right)\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 + a x^2 + b x + 4\)가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 \(a, b\)에 대하여 \(f(1)\)의 최댓값을 구하시오. 모든 실수 \(\alpha\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \alpha} \dfrac{f(2 x + 1)}{f(x)}\)의 값이 존재한다.

모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(|a_1|\)의 값의 합을 구하시오. (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} a_n - 3 & \quad \text{if } |a_n| \text{ 이 홀수 } \\ \dfrac{1}{2} a_n & \quad \text{if } |a_n| \text{ 이 짝수 } \end{cases}\)이다. (나) \(|a_m| = |a_{m+2}|\)인 자연수 \(m\)의 최솟값은 3이다.

두 벡터 \(\overrightarrow{a} = (k, 3)\), \(\overrightarrow{b} = (1, 2)\)에 대하여 \(\overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b} = (6, 9)\)일 때, \(k\)의 값은?

꼭짓점의 좌표가 \((1, 0)\)이고, 준선이 \(x = -1\)인 포물선이 점 \((3, a)\)를 지날 때, 양수 \(a\)의 값은?

좌표공간의 두 점 \(A(a, b, 6)\), \(B(-4, -2, c)\)에 대하여 선분 AB를 \(3 : 2\)로 내분하는 점이 \(z\)축 위에 있고, 선분 AB를 \(3 : 2\)로 외분하는 점이 \(x y\)평면 위에 있을 때, \(a + b + c\)의 값은?

자연수 \(n (n \geq 2)\)에 대하여 직선 \(x = \dfrac{1}{n}\)이 두 타원 \(C_1: \dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1\), \(C_2: 2 x^2 + \dfrac{y^2}{2} = 1\)과 만나는 제1사분면 위의 점을 각각 P, Q라 하자. 타원 \(C_1\) 위의 점 P에서의 접선의 \(x\)절편을 \(\alpha\), 타원 \(C_2\) 위의 점 Q에서의 접선의 \(x\)절편을 \(\beta\)라 할 때, \(6 \leq \alpha - \beta \leq 15\)가 되도록 하는 모든 \(n\)의 개수는?

그림과 같이 \(\overline{A B} = 6\), \(\overline{B C} = 4 \sqrt{5}\)인 사면체 ABCD에 대하여 선분 BC의 중점을 M이라 하자. 삼각형 AMD가 정삼각형이고 직선 BC는 평면 AMD와 수직일 때, 삼각형 ACD에 내접하는 원의 평면 BCD 위로의 정사영의 넓이는?

좌표공간에 \(\overline{A B} = 8\), \(\overline{B C} = 6\), \(\angle A B C = \dfrac{\pi}{2}\)인 직각삼각형 ABC와 선분 AC를 지름으로 하는 구 S가 있다. 직선 AB를 포함하고 평면 ABC에 수직인 평면이 구 S와 만나서 생기는 원을 O라 하자. 원 O 위의 점 중에서 직선 AC까지의 거리가 4인 서로 다른 두 점을 P, Q라 할 때, 선분 PQ의 길이는?

두 초점이 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0) (c > 0)\)인 쌍곡선 \(x^2 - \dfrac{y^2}{35} = 1\)이 있다. 이 쌍곡선 위에 있는 제1사분면 위의 점 P에 대하여 직선 PF' 위에 \(\overline{P Q} = \overline{P F}\)인 점 Q를 잡자. 삼각형 QF'F와 삼각형 FF'P가 서로 닮음일 때, 삼각형 PFQ의 넓이는 \(\dfrac{q}{p} \sqrt{5}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(\overline{P F'} < \overline{Q F'}\)이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

좌표평면에 한 변의 길이가 4인 정사각형 ABCD가 있다. \(|\overrightarrow{X B} + \overrightarrow{X C}| = |\overrightarrow{X B} - \overrightarrow{X C}|\)를 만족시키는 점 X가 나타내는 도형을 S라 하자. 도형 S 위의 점 P에 대하여 \(4 \overrightarrow{P Q} = \overrightarrow{P B} + 2 \overrightarrow{P D}\)를 만족시키는 점을 Q라 할 때, \(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A Q}\)의 최댓값과 최솟값을 각각 M, m이라 하자. \(M \times m\)의 값을 구하시오.