2022년 11월 고1 학력평가

두 다항식 \(A = 2x^2 + 3y^2 - 2\), \(B = x^2 - y^2\)에 대하여 \(A - B\)는?

두 집합 \(A = {1, 4}\), \(B = {1, 2, a}\)에 대하여 \(A \subset B\)가 되도록 하는 상수 \(a\)의 값은?

이차방정식 \(x^2 - 2x + 5 = 0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \(\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}\)의 값은?

연립부등식 \(\begin{cases} 3x \geq 2x + 3 \\ x - 10 \leq -x \end{cases}\)를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합은?

좌표평면에서 원 \((x-a)^2 + (y+4)^2 = 16\)을 \(x\)축의 방향으로 \(2\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(5\)만큼 평행이동한 도형이 원 \((x-8)^2 + (y-b)^2 = 16\)일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

그림과 같이 두 함수 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\)의 그래프가 있다. 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((g \circ g)(x) = 3x - 1\)일 때, \(((f \circ g) \circ g)(a) = a\)를 만족시키는 실수 \(a\)의 값은?

좌표평면 위의 세 점 \(A(5, 1)\), \(B(-1, 4)\), \(C(a, b)\)에 대하여 선분 \(A B\)를 \(2:1\)로 내분하는 점의 좌표와 선분 \(A C\)를 \(2:1\)로 외분하는 점의 좌표가 서로 같을 때, \(a + b\)의 값은?

실수부분이 \(1\)인 복소수 \(z\)에 대하여 \(\dfrac{z}{2 + i} + \dfrac{\overline{z}}{2 - i} = 2\)일 때, \(z \overline{z}\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\)이고, \(\overline{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수이다.)

좌표평면 위에 두 점 \(A(2, 4)\), \(B(5, 1)\)이 있다. 직선 \(y = -x\) 위의 점 \(P\)에 대하여 \(\overline{A P} = \overline{B P}\)일 때, 선분 \(O P\)의 길이는? (단, \(O\)는 원점이다.)

다항식 \((x^2 + 4)^2 - 3x(x^2 + 4) - 4x^2\)이 \((x + a)^2 (x^2 + b x + c)\)로 인수분해될 때, 세 정수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(a + b + c\)의 값은?

\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} |x - 5| < 1 \\ x^2 - 4 a x + 3 a^2 > 0 \end{cases}\)이 해를 갖지 않도록 하는 자연수 \(a\)의 개수는?

좌표평면 위의 두 점 \(A(1, 0)\), \(B(6, 5)\)와 직선 \(y = x\) 위의 점 \(P\)에 대하여 \(\overline{A P} + \overline{B P}\)의 값이 최소가 되도록 하는 점 \(P\)를 \(P_0\)이라 하자. 직선 \(A P_0\)을 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 직선이 점 \((9, a)\)를 지날 때, \(a\)의 값은?

실수 \(x\)에 대한 두 조건 \(p: (x + 1)(x + 2)(x - 3) = 0\), \(q: x^2 + k x + k - 1 = 0\)에 대하여 \(p\)가 \(q\)이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 곱은?

원 \(C: x^2 + y^2 - 2x - a y - b = 0\)에 대하여 좌표평면에서 원 \(C\)의 중심이 직선 \(y = 2x - 1\) 위에 있다. 원 \(C\)와 직선 \(y = 2x - 1\)이 만나는 서로 다른 두 점을 \(A\), \(B\)라 하자. 원 \(C\) 위의 점 \(P\)에 대하여 삼각형 \(A B P\)의 넓이의 최댓값이 \(4\)일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이고, 점 \(P\)는 점 \(A\)도 아니고 점 \(B\)도 아니다.)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 역함수를 갖는다. 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = f^{-1}(x)\), \(f(x^2 + 1) = -2x^2 + 1\)일 때, \(f(-2)\)의 값은?

유리함수 \(f(x) = \dfrac{4}{x - a} - 4 \quad (a > 1)\)에 대하여 좌표평면에서 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고 함수 \(y = f(x)\)의 그래프의 두 점근선이 만나는 점을 \(C\)라 하자. 사각형 \(O B C A\)의 넓이가 \(24\)일 때, 상수 \(a\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.)

양수 \(k\)에 대하여 이차함수 \(f(x) = -x^2 + 4x + k + 3\)의 그래프와 직선 \(y = 2x + 3\)이 서로 다른 두 점 \((\alpha, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\)에서 만난다. \(\alpha \leq x \leq \beta\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값이 \(10\)일 때, \(\alpha \leq x \leq \beta\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값은? (단, \(\alpha < \beta\))

다항식 \(f(x)\)와 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차다항식 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. 다항식 \(f(x) + g(x)\)를 \(x\)로 나누었을 때의 나머지와 다항식 \(f(x) + g(x)\)를 \(x^2 + 2x - 2\)로 나누었을 때의 나머지가 \(x^2 + 2x - \dfrac{1}{2} f(x)\)로 같다. \(g(1) = 7\)일 때, \(f(3)\)의 값은?

그림과 같이 함수 \(f(x) = \sqrt{x - 2}\)와 그 역함수 \(f^{-1}(x)\)에 대하여 기울기가 \(-1\)인 직선 \(l\)이 곡선 \(y = f(x)\)와 점 \(P\)에서 만나고 직선 \(l\)이 곡선 \(y = f^{-1}(x)\)와 점 \(Q\)에서 만난다. 다음은 삼각형 \(O P Q\)의 외접원의 넓이가 \(\dfrac{25}{2} \pi\)일 때, 점 \(P\)의 \(y\)좌표를 구하는 과정이다. (단, \(O\)는 원점이다.) 점 \(P\)의 \(y\)좌표를 \(a (a \geq 0)\)이라 하면 점 \(P\)의 좌표는 \((boxed(\text{가}), a)\)이다. 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = f^{-1}(x)\)는 직선 \(y = x\)에 대하여 서로 대칭이고 두 직선 \(l\)과 \(y = x\)는 서로 수직이므로 두 점 \(P\)와 \(Q\)는 직선 \(y = x\)에 대하여 서로 대칭이다. 그러므로 삼각형 \(O P Q\)의 외접원의 중심을 \(C\)라 하면 점 \(C\)는 직선 \(y = x\) 위에 있다. 삼각형 \(O P Q\)의 외접원의 넓이가 \(\dfrac{25}{2} \pi\)일 때, 점 \(C\)의 좌표는 \((boxed(\text{나}), boxed(\text{나}))\)이고, \(\overline{C P} = \overline{C O}\)에서 \(a = boxed(\text{다})\). 따라서 점 \(P\)의 \(y\)좌표는 \(boxed(\text{다})\)이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 \(g(a)\)라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(m\), \(n\)이라 할 때, \(m + g(n)\)의 값은?

실수 \(t (t > 0)\)에 대하여 좌표평면 위에 네 점 \(A(1, 4)\), \(B(5, 4)\), \(C(2t, 0)\), \(D(0, t)\)가 있다. 선분 \(C D\) 위에 \(\angle A P B = 90^{\circ}\)인 점 \(P\)가 존재하도록 하는 \(t\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M - m\)의 값은?

\(n(U) = 5\)인 전체집합 \(U\)의 세 부분집합 \(A\), \(B\), \(C\)에 대하여 \(n(B \cap C) = 2\), \(n(B - A) = 1\), \(n(C - A) = 2\)일 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(n(A \cap B \cap C) \neq 0\) ㄴ. \(n(A \cap B \cap C) = 2\)이면 \(n(C) = 4\)이다. ㄷ. \(n(A) \times n(B) \times n(C)\)의 최댓값과 최솟값의 합은 \(42\)이다.

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 + 10x + a = 0\)이 중근을 갖도록 하는 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

다항식 \(x^3 + a x^2 - 7\)을 \(x - 2\)로 나눈 나머지가 \(17\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

연립방정식 \(\begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 - 3 x y + 2 y^2 = 6 \end{cases}\)의 해가 \(x = \alpha\), \(y = \beta\)일 때, \(\alpha + \beta\)의 값을 구하시오.

정수 \(k\)에 대한 두 조건 \(p\), \(q\)가 모두 참인 명제가 되도록 하는 모든 \(k\)의 값의 합을 구하시오. \(p\): 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2 + 2 k x + 4 k + 5 > 0\)이다. \(q\): 어떤 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2 = k - 2\)이다.

좌표평면에서 점 \((a, a)\)를 지나고 곡선 \(y = x^2 - 4x + 10\)에 접하는 두 직선이 서로 수직일 때, 이 두 직선의 기울기의 합을 구하시오.

삼차방정식 \(x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0\)의 한 허근을 \(\omega\)라 할 때, \({\omega (\overline{\omega} - 1)}^n = 256\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오. (단, \(\overline{\omega}\)는 \(\omega\)의 켤레복소수이다.)

그림과 같이 직육면체 \(A B C D - E F G H\)에서 단면 \(A F C\)가 생기도록 사면체 \(F - A B C\)를 잘라내었다. 입체도형 \(A C D - E F G H\)의 모든 모서리의 길이의 합을 \(l_1\), 겉넓이를 \(S_1\)이라 하고, 사면체 \(F - A B C\)의 모든 모서리의 길이의 합을 \(l_2\), 겉넓이를 \(S_2\)라 하자. \(l_1 - l_2 = 28\), \(S_1 - S_2 = 61\)일 때, \(\overline{A C}^2 + \overline{C F}^2 + \overline{F A}^2\)의 값을 구하시오.

집합 \(X = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}\)에서 실수 전체의 집합으로의 일대일함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합 \(X\)의 모든 원소 \(x\)에 대하여 \({f(x) + x^2 - 5} \times {f(x) + 4x} = 0\)이다. (나) \(f(0) \times f(1) \times f(2) < 0\). \(f(-3) + f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2)\)의 값을 구하시오.

양수 \(m\)에 대하여 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)는 \(f(x) = x^2 + 2x\), \(g(x) = (x - m)^2 + m\)이다. 실수 \(t (t > -1)\)에 대하여 집합 \(\{x | f(x) = t \text{ 또는 } g(x) = t, x \text{ 는 실수 }\}\)의 모든 원소의 합을 \(h(t)\)라 하자. 함수 \(h(t)\)의 치역의 모든 원소의 합이 \(19\)일 때, \(m\)의 값을 구하시오.