2025년 10월 고3 학력평가 (확률과 통계)

\(\sqrt[3]{3} \times 9^{\dfrac{1}{3}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + 2x + 1\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은?

첫째항이 8이고 공비가 0이 아닌 등비수열 \({a_n}\)이 \(a_1 a_3 = 2 a_2 a_4\)를 만족시킬 때, \(a_5\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \quad \text{if } x < 3 \\ x + 2a & \quad \text{if } x \geq 3 \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x^2 - x)(2x^2 - 5)\)에 대하여 \(f'(2)\)의 값은?

\(\pi < \theta < \dfrac{3}{2} \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\tan(\pi - \theta) = -2\)일 때, \(\cos \theta - \sin \theta\)의 값은?

곡선 \(y = x^3 - 6x + 7\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 \(y\)절편은?

두 실수 \(a\), \(b\)가 \(3a + b = \log_3 45\), \(a + b = \log_9 5\)를 만족시킬 때, \(a - b\)의 값은?

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 위치가 각각 \(x_1 = -t^3 + 7t^2 - 10t\), \(x_2 = t^2 + 2t\)이다. 두 점 P, Q의 속도가 같아지는 순간 두 점 P, Q 사이의 거리는?

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 2a]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 3 \sin \dfrac{\pi x}{a} + b\)의 그래프가 \(x\)축과 오직 한 점 \((2, 0)\)에서 만날 때, \(a + b\)의 값은?

이차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((x + 3) f(x) = \displaystyle\int_{-3}^x (4 f(t) - 2 t^2) d t\)를 만족시킨다. \(f(2)\)의 값은?

모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{30} a_n\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M\), \(m\)이라 할 때, \(M - m\)의 값은? 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(3 a_n^2 + 2n a_n - 8 n^2 = 0\)이다.

상수 \(a (a > 1)\)에 대하여 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f(0) = f(a) = f(a+1) = 0\)을 만족시킨다. 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = 2x\)가 세 점 O, P, Q \((\overline{O P} < \overline{O Q})\)에서 만난다. 두 점 \(R(a, 0)\), \(S(a+1, 0)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 두 선분 OP, OR로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\), 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 RS로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\)라 하자. \(\overline{O Q} = 5 \sqrt{5}\)일 때, \(A - B\)의 값은? (단, O는 원점이다.)

그림과 같이 \(\overline{B C} = 6\)인 삼각형 ABC에서 선분 AC를 4 : 3으로 내분하는 점을 D라 하자. 선분 BD 위의 점 E가 \(\angle D A E = \angle D B C\), \(\sin(\angle D A E) : \sin(\angle E D A) = 1 : 3\)을 만족시킨다. \(\overline{A E} = \sqrt{5}\)일 때, 삼각형 BCD의 외접원의 넓이는?

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} |f(t)| d t + |\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t|\)라 하자. 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(g(x) = 0\)을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 범위는 \(-7 \leq x \leq 0\)이다. (나) 양수 \(p\)에 대하여 \(g(x) = 81\)을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 범위는 \(4p \leq x \leq 7p\)이다. \(f(-10)\)의 값은?

방정식 \(\log_4 (x + 2) + \log_4 2 = \log_2 (x - 2)\)를 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 6 x^2 - 2x\)이고 \(f(1) = 3\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^7 (a_n - 2)(b_n - 2) = 60\), \(\displaystyle\sum_{n=1}^7 (a_n + b_n) = 44\)일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^7 a_n b_n\)의 값을 구하시오.

두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = x^3 - 6 x^2 + a x + b\)라 하자. 함수 \(f(x)\)는 \(x = 3\)에서 극값을 갖고, 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값의 합이 8이다. \(a + b\)의 값을 구하시오.

상수 \(a\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는 함수 \(f(x) = \begin{cases} 2^{x+2} + 7 & \quad \text{if } x < -2 \\ -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-a} + 10 & \quad \text{if } x \geq -2 \end{cases}\)가 있다. 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(x + 2^a y - t = 0\)이 만나는 점의 개수를 \(g(t)\)라 하자. \(g(t) = 2\)를 만족시키는 \(t\)의 최솟값이 함수 \(f(x)\)의 최솟값과 같도록 하는 모든 \(2^a\)의 값의 곱을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow k} \dfrac{2 x^2 f(x) - (f(k))^2}{x - k} = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow k} \dfrac{(f(x))^2 - (f(k))^2}{x - k}\)을 만족시키는 실수 \(k\)는 \(t\), \(-t (t > 1)\)뿐이다. 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 17일 때, \(f(4)\)의 값을 구하시오.

실수 \(k\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 \({a_n}\)이 있다. \(a_1 = 3\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} |a_n + n| & \quad \text{if } a_n < 0 \\ a_n - 10 + k & \quad \text{if } a_n \geq 0 \end{cases}\)이다. \(a_4 \times a_5 = 0\)이 되도록 하는 \(k\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M + m = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

다항식 \((x^4 + 1)^5\)의 전개식에서 \(x^{12}\)의 계수는?

두 사건 \(A\)와 \(B\)는 서로 배반사건이고 \(P(A \cup B) = \dfrac{1}{3}\), \(P(A^C) = P(A) + \dfrac{1}{2}\)일 때, \(P(B)\)의 값은?

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 \(a\), \(b\)라 할 때, \(|a - b| = 1\)일 확률은?

어느 농장에서 수확하는 딸기 1개의 무게는 평균이 \(m\), 표준편차가 \(\sigma\)인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장에서 수확하는 딸기 중에서 100개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 \(m\)에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 \(80a \leq m \leq 82a\)이다. 이 농장에서 수확하는 딸기 중에서 25개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 \(m\)에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 \(78a \leq m \leq 80a + 0.49\)이다. \(\sigma\)의 값은? (단, 무게의 단위는 g이고, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(P(|Z| \leq 1.96) = 0.95\)로 계산한다.)

다음 조건을 만족시키는 자연수 \(a\), \(b\), \(c\)의 모든 순서쌍 \((a, b, c)\)의 개수는? (가) \(a \times b \times c = 144\) (나) \(a\)는 짝수이다.

확률변수 \(X\)가 평균이 \(m\)이고 표준편차가 \(\dfrac{1}{2m}\)인 정규분포를 따른다. 음수 \(a\)에 대하여 \(P(X \leq a) + P(X \leq a^2) = 1\), \(P(X \leq a^2 + a) = 0.9772\)일 때, \(P\left(X \leq -\dfrac{a}{8}\right)\)의 값을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, \(m \neq 0\)) (표: \(z = 0.5\)일 때 \(P(0 \leq Z \leq z) = 0.1915\), \(z = 1.0\)일 때 \(0.3413\), \(z = 1.5\)일 때 \(0.4332\), \(z = 2.0\)일 때 \(0.4779\))

집합과 함수에 대하여 함수의 치역을, 합성함수의 치역을라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 함수의 개수를 구하시오. (가) (나) 집합의 모든 원소의 곱은 집합의 모든 원소의 곱의 배이다.

두 상자 A, B에 각각 개의 공이 들어 있다. 두 상자 A, B와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 의 배수이면 상자 A에서 개의 공을 꺼내어 상자 B에 넣고, 나온 눈의 수가 의 배수가 아니면 상자 B에서 개의 공을 꺼내어 상자 A에 넣는다. 이 시행을 번 반복한 후 상자 A에 들어 있는 공의 개수가 상자 B에 들어 있는 공의 개수보다 많을 때, 주사위의 짝수의 눈이 번 나왔을 확률은 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)