2026학년도 수능 (수학 영역) (확률과 통계)

\(9^{\dfrac{1}{4}} \times 3^{-\dfrac{1}{2}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = 3 x^3 + 4 x + 1\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h}\)의 값은?

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^4 (2 a_k - k) = 0\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^4 a_k\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} 3 x - 2 & \quad \text{if } x < 1 \\ x^2 - 3 x + a & \quad \text{if } x \geq 1 \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x + 2)(2 x^2 - x - 2)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?

\(1\)보다 큰 두 실수 \(a\), \(b\)가 \(\log_a b = 3\), \(\log_3 \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}\)를 만족시킬 때, \(\log_9 a b\)의 값은?

두 곡선 \(y = x^2 + 3\), \(y = -\dfrac{1}{5} x^2 + 3\)과 직선 \(x = 2\)로 둘러싸인 부분의 넓이는?

\(\sin \theta + 3 \cos \theta = 0\)이고 \(\cos(\pi - \theta) > 0\)일 때, \(\sin \theta\)의 값은?

양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = x^3 + 3 a x^2 - 9 a^2 x + 4\)라 하자. 직선 \(y = 5\)가 곡선 \(y = f(x)\)에 접할 때, \(f(2)\)의 값은?

상수 \(a\) \((a > 1)\)에 대하여 곡선 \(y = a^x - 2\) 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \(A\)를 지나고 \(y\)축에 평행한 직선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(B\), 곡선 \(y = a^x - 2\)의 점근선과 만나는 점을 \(C\)라 하자. \(\overline{A B} = \overline{B C}\)이고 삼각형 \(A O C\)의 넓이가 \(8\)일 때, \(a \times \overline{O B}\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.)

시각 \(t = 0\)일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)가 있다. 실수 \(k\)에 대하여 시각이 \(t\) \((t \geq 0)\)일 때 점 \(P\)의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = t^2 - k t + 4\)이다. <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(k = 0\)이면, 시각 \(t = 1\)일 때 점 \(P\)의 위치는 \(\dfrac{13}{3}\)이다. ㄴ. \(k = 3\)이면, 출발한 후 점 \(P\)의 운동 방향이 한 번 바뀐다. ㄷ. \(k = 5\)이면, 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 2\)까지 점 \(P\)가 움직인 거리는 \(3\)이다.

등비수열 \({a_n}\)이 \(2(a_1 + a_4 + a_7) = a_4 + a_7 + a_{10} = 6\)을 만족시킬 때, \(a_{10}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 - 4 x - 3\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, -6)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하고, 함수 \(g(x) = (x^3 - 2 x) f(x)\)에 대하여 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((1, 6)\)에서의 접선을 \(m\)이라 하자. 두 직선 \(l\), \(m\)과 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

그림과 같이 \(\overline{A B} = 3\), \(\overline{B C} = 4\)이고 \(\angle B = \dfrac{\pi}{2}\)인 직각삼각형 \(A B C\)가 있다. 선분 \(A B\)를 \(2 : 1\)로 내분하는 점을 \(D\), 점 \(A\)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(\overline{A D}\)인 원이 선분 \(A C\)와 만나는 점을 \(E\), 직선 \(A B\)가 이 원과 만나는 점 중 \(D\)가 아닌 점을 \(F\)라 하고, 호 \(E F\) 위의 점 \(G\)를 \(\overline{C G} = 2 \sqrt{6}\)이 되도록 잡는다. 세 점 \(C\), \(E\), \(G\)를 지나는 원 위의 점 \(H\)가 \(\angle H C G = \angle B A C\)를 만족시킬 때, 선분 \(G H\)의 길이는?

함수 \(f(x) = \begin{cases} -x^2 & \quad \text{if } x < 0 \\ x^2 - x & \quad \text{if } x \geq 0 \end{cases}\)이고, 양수 \(a\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} a x + a & \quad \text{if } x < -1 \\ 0 & \quad \text{if } -1 \leq x < 1 \\ a x - a & \quad \text{if } x \geq 1 \end{cases}\)이라 하자. 함수 \(h(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (g(t) - f(t)) d t\)가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 \(a\)의 최댓값을 \(k\)라 하자. \(a = k\)일 때, \(k + h(3)\)의 값은?

수열 \({a_n}\)은 \(a_1 = 1\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = n^2 a_n + 1\)을 만족시킨다. \(a_3\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = 4 x^3 - 2 x\)의 한 부정적분 \(F(x)\)에 대하여 \(F(0) = 4\)일 때, \(F(2)\)의 값을 구하시오.

\(\overline{A B} = 5\), \(\overline{A C} = 6\)이고 \(\cos(\angle B A C) = -\dfrac{3}{5}\)인 삼각형 \(A B C\)의 넓이를 구하시오.

\(-2 \leq x \leq 2\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(-k \leq 2 x^3 + 3 x^2 - 12 x - 8 \leq k\)가 성립하도록 하는 양수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.

수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. \(a_1 = 7\)이고, 2 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \dfrac{2}{3} a_n + \dfrac{1}{6} n^2 - \dfrac{1}{6} n + 10\)이다. 다음은 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} a_k + \displaystyle\sum_{k=1}^5 a_{2 k + 1}\)의 값을 구하는 과정이다. 2 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} a_k - \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\)이므로 \(a_{n+1} = \dfrac{2}{3}(a_{n+1} - a_n) + (가)\)이고, 이 식을 정리하면 \(2 a_n + a_{n+1} = 3 \times (가)\) ⋯ ㉠ 이다. \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \dfrac{2}{3} a_n + \dfrac{1}{6} n^2 - \dfrac{1}{6} n + 10\) \((n \geq 2)\)에서 양변에 \(n = 2\)를 대입하면 \(a_2 = (나)\) ⋯ ㉡ 이다. ㉠과 ㉡에 의하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} a_k + \displaystyle\sum_{k=1}^5 a_{2 k + 1} = a_1 + a_2 + \displaystyle\sum_{k=1}^5 (2 a_{2 k + 1} + a_{2 k + 2}) = (다)\)이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 \(f(n)\)이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(p\), \(q\)라 할 때, \(\dfrac{p \times q}{f(12)}\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} -f(x) & \quad \text{if } x < t \\ f(x) & \quad \text{if } x \geq t \end{cases}\)는 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow a+} \dfrac{g(x)}{x(x - 2)}\)의 값이 존재한다. (나) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow m+} \dfrac{g(x)}{x(x - 2)}\)의 값이 음수가 되도록 하는 자연수 \(m\)의 집합은 \({g(-1), -\dfrac{7}{2} g(1)}\)이다. \(g(-5)\)의 값을 구하시오. (단, \(g(-1) \neq -\dfrac{7}{2} g(1)\))

곡선 \(y = \log_{16}(8 x + 2)\) 위의 점 \(A(a, b)\)와 곡선 \(y = 4^{x - 1} - \dfrac{1}{2}\) 위의 점 \(B\)가 제1사분면에 있다. 점 \(A\)를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점이 직선 \(O B\) 위에 있고 선분 \(A B\)의 중점의 좌표가 \(\left(\dfrac{77}{8}, \dfrac{133}{8}\right)\)일 때, \(a \times b = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(O\)는 원점이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

네 문자 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) 중에서 중복을 허락하여 \(3\)개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는?

두 사건 \(A\), \(B\)에 대하여 \(P(A) = \dfrac{2}{5}\), \(P(B | A) = \dfrac{1}{4}\), \(P(A \cup B) = 1\)일 때, \(P(B)\)의 값은?

주머니에 숫자 \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\)가 하나씩 적혀 있는 흰 공 \(5\)개와 숫자 \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\)이 하나씩 적혀 있는 검은 공 \(5\)개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 \(2\)개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 \(2\)개의 공이 서로 같은 색이거나 꺼낸 \(2\)개의 공에 적힌 수가 서로 같을 확률은?

평균이 \(m\)이고 표준편차가 \(5\)인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 \(36\)인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 모평균 \(m\)에 대한 신뢰도 \(99 %\)의 신뢰구간이 \(1.2 \leq m \leq a\)이다. \(a\)의 값은? (단, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(P(|Z| \leq 2.58) = 0.99\)로 계산한다.)

이산확률변수 \(X\)가 가지는 값이 \(0\)부터 \(4\)까지의 정수이고 \(P(X = x) = \begin{cases} \dfrac{|2 x - 1|}{12} & \quad \text{if } x = 0\ \\ 1\ \\ 2\ \\ 3 \\ a & \quad \text{if } x = 4 \end{cases}\)일 때, \(V\left(\dfrac{1}{a} X\right)\)의 값은? (단, \(a\)는 \(0\)이 아닌 상수이다.)

\(16\)개의 공과 \(1\)부터 \(6\)까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 여섯 개의 빈 상자가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 \(k\)일 때, \(k\)가 홀수이면 \(1\), \(3\), \(5\)가 적힌 상자에 공을 각각 \(1\)개씩 넣고, \(k\)가 짝수이면 \(k\)의 약수가 적힌 상자에 공을 각각 \(1\)개씩 넣는다. 이 시행을 \(4\)번 반복한 후 여섯 개의 상자에 들어 있는 모든 공의 개수의 합이 홀수일 때, \(3\)이 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수가 \(2\)가 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수보다 \(1\)개 더 많을 확률은?

(OCR 결과 숫자 누락) 이하의 자연수 \(n\)에 대하여 한 개의 주사위와 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 \(n\)보다 작거나 같으면 동전을 (?)번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록하고, 나온 눈의 수가 \(n\)보다 크면 동전을 (?)번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록한다. 이 시행을 (?)번 반복하여 기록한 수가 (?)인 횟수를 확률변수 \(X\)라 하자. \(E(X) = (?)\)일 때, \(P(X \leq ?)\)의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 (?)이다. \(? \times ?\)의 값을 구하시오. (원본 OCR에서 다수 숫자가 누락됨 — 원본 PDF 재확인 필요)

(OCR 결과 숫자 누락) 비어 있는 주머니 (?)개가 일렬로 놓여 있고, 공 (?)개가 있다. 각 주머니에 들어 있는 공의 개수가 (?) 이하가 되도록 공을 주머니에 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) (가) 들어 있는 공의 개수가 (?)인 주머니는 (?)개 또는 (?)개이다. (나) 들어 있는 공의 개수가 (?)인 주머니와 이웃한 주머니에는 공이 들어 있지 않다. (원본 OCR에서 다수 숫자가 누락됨 — 원본 PDF 재확인 필요)