2025년 5월 고3 학력평가

\((3^{1-\sqrt{2}})^2 \times 9^{\sqrt{2}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 - 2x + 5\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은?

첫째항과 공비가 모두 양수 \(k\)인 등비수열 \({a_n}\)이 \( a_2 (k^2 + 1) = 3 a_4 \)를 만족시킬 때, \(a_3\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x) = (2x + 1)(x^2 - 2x + 5)\)에 대하여 \(f'(2)\)의 값은?

\(\dfrac{3}{2} \pi < \theta < 2 \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\sin \theta \tan \theta + \cos \theta = 3\)일 때, \(\sin \theta - \tan \theta\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)가 \(f'(x) = x^2 - k x + k - 1\), \(f(0) = 2\)를 만족시킨다. 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖지 않을 때, \(f(3)\)의 값은? (단, \(k\)는 상수이다.)

부등식 \(2^{|x|} + \dfrac{64}{2^{|x|}} \leq 20\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수는?

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \( x f(x) = a x^3 + 2 x - 3 + \displaystyle\int_{0}^{1} f'(t) d t \)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) d x\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

모든 항이 자연수이고 공차가 같은 두 등차수열 \({a_n}\), \({b_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{a_k \times b_k} = \dfrac{n}{8 n + 4} \)을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 (a_k + b_k)\)의 값은?

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 위치 \(x\)가 \( x = k t^3 - 6 t^2 + t \)이다. 양수 \(k\)에 대하여 시각 \(t = k\)에서 점 P의 속도가 1일 때, 시각 \(t = 2 k\)에서 점 P의 가속도는?

그림과 같이 세 상수 \(a (a > 1)\), \(k\), \(t\)에 대하여 두 곡선 \(y = \log_a x\), \(y = -2 \log_a x + k\)가 만나는 점을 A라 하고, 직선 \(x = t\)가 두 곡선 \(y = \log_a x\), \(y = -2 \log_a x + k\)와 만나는 점을 각각 B, C라 하자. 직선 AB가 원점 O를 지나고 두 삼각형 OCA, ACB의 넓이가 2로 같을 때, \(a \times k \times t\)의 값은? (단, \(k > 0\)이고, \(t\)는 점 A의 \(x\)좌표보다 크다.)

최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x - 3\)이 \(x\)좌표가 양수인 두 점 A, B에서 만난다. 직선 \(y = x - 3\)과 \(y\)축이 만나는 점을 C라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y\)축 및 선분 AC로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_1\), 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 AB로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_2\)라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 AB로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 \(x = 3\)이 이등분하고, \(S_2 - 2 S_1 = 6\)일 때, \(f(-1)\)의 값은? (단, 점 A의 \(x\)좌표는 3보다 작고, 점 B의 \(x\)좌표는 3보다 크다.)

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 \(r_1\), \(r_2\)인 두 원 \(C_1\), \(C_2\)가 만나는 두 점을 A, B라 하자. 원 \(C_1\) 위의 점 C와 원 \(C_2\) 위의 두 점 D, E에 대하여 세 점 C, A, D와 세 점 C, B, E가 각각 한 직선 위에 있다. \(r_1 : r_2 = 1 : 2\), \(\overline{A C} = 3\), \(\overline{A D} = 5\), \(\overline{D E} = 4\)일 때, 선분 CE의 길이는?

최고차항의 계수가 1이고 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{x} = 1\)인 사차함수 \(f(x)\)와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \( {g(x) - x} {g(x) - f(x)} = 0 \)을 만족시킨다. 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 \(\dfrac{g(-2)}{g(3)}\)의 값의 합은? (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{g(x) - g(2)}{x - 2}\)의 값은 존재하지 않는다. (나) \(x \geq a\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(-x) = -g(x)\)를 만족시키는 실수 \(a\)의 최솟값은 4이다.

방정식 \( \log_{\sqrt{3}} (x - 3) = \log_3 (5 x - 1) \)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

\(\displaystyle\int_{0}^{a} (4 x^2 - 3 x) d x = \displaystyle\int_{0}^{a} (x^2 + x) d x\)를 만족시키는 양수 \(a\)의 값을 구하시오.

두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)에 대하여 \( \displaystyle\sum_{k=1}^5 (a_k + 3) = 30, \quad \displaystyle\sum_{k=1}^5 (2 a_k + b_k) = 53 \)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 b_k\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((0, 1)\)에서의 접선이 곡선 \(y = f(x)\)와 점 \((1, 0)\)에서 만난다. \(f(3)\)의 값을 구하시오.

양수 \(t\)에 대하여 닫힌구간 \([0, \dfrac{2}{t}]\)에서 정의된 두 함수 \( f(x) = \sqrt{3} \sin(t \pi x), \quad g(x) = -3 \cos(t \pi x) \)가 있다. \(0 < k < \dfrac{2}{t}\)인 상수 \(k\)에 대하여 \(f(k) = g(k) = 3 k\)일 때, \(60(t + k)\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1이고 \(f(0) = 0\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = t\)가 만나는 점의 개수를 \(g(t)\)라 하자. 양수 \(a\)와 함수 \(g(t)\)가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 \(g(t) + g(t - 4)\)는 \(t = 0\)과 \(t = a\)에서만 불연속이다. \(f(a)\)의 최솟값을 구하시오.

모든 항이 실수인 수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_1 \times a_2 > 0\) (나) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \( a_{n+1} = \begin{cases} a_n^2 \quad (a_n \leq 0) \\ -2 a_n + 3 \quad (a_n > 0) \end{cases} \)이다. \(a_3 = a_5\)가 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합이 \(\dfrac{q}{p}\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)