2025학년도 수능 (수학 영역) (미적분)

\(\sqrt[3]{5} \times 25^{\dfrac{1}{3}}\)의 값은? [2점]

함수 \(f(x) = x^3 - 8x + 7\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}\)의 값은? [2점]

첫째항과 공비가 모두 양수 \(k\)인 등비수열 \({a_n}\)이 \( \dfrac{a_4}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_1} = 30 \) 을 만족시킬 때, \(k\)의 값은? [3점]

함수 \( f(x) = \begin{cases} 5x + a \quad (x < -2) \\ x^2 - a \quad (x \geq -2) \end{cases} \) 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은? [3점]

함수 \(f(x) = (x^2 + 1)(3x^2 - x)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은? [3점]

\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = -\dfrac{1}{5}\)일 때, \(\dfrac{\sin \theta}{1 - \cos^2 \theta}\)의 값은? [3점]

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \( \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t = 3x^3 + 2x \) 를 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값은? [3점]

두 실수 \(a = 2 \log \dfrac{1}{\sqrt{10}} + \log_2 20\), \(b = \log 2\)에 대하여 \(a \times b\)의 값은? [3점]

함수 \(f(x) = 3x^2 - 16x - 20\)에 대하여 \( \displaystyle\int_{-2}^a f(x) d x = \displaystyle\int_{-2}^0 f(x) d x \) 일 때, 양수 \(a\)의 값은? [4점]

\(\sqrt[3]{5} \times 25^{\dfrac{1}{3}}\)의 값은?

닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = a \cos b x + 3\)이 \(x = \dfrac{\pi}{3}\)에서 최댓값 \(13\)을 갖도록 하는 두 자연수 \(a\), \(b\)의 순서쌍 \((a, b)\)에 대하여 \(a + b\)의 최솟값은? [4점]

시각 \(t = 0\)일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 위치 \(x\)가 \( x = t^3 - \dfrac{3}{2} t^2 - 6t \) 이다. 출발한 후 점 \(P\)의 운동 방향이 바뀌는 시각에서의 점 \(P\)의 가속도는? [4점]

\(a_1 = 2\)인 수열 \({a_n}\)과 \(b_1 = 2\)인 등차수열 \({b_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{b_{k+1}} = \dfrac{1}{2} n^2 \) 을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k\)의 값은? [4점]

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 \( f(1) = f(2) = 0, \quad f'(0) = -7 \) 을 만족시킨다. 원점 \(O\)와 점 \(P(3, f(3))\)에 대하여 선분 \(O P\)가 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점 중 \(P\)가 아닌 점을 \(Q\)라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y\)축 및 선분 \(O Q\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\), 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 \(P Q\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\)라 할 때, \(B - A\)의 값은? [4점]

그림과 같이 삼각형 \(A B C\)에서 선분 \(A B\) 위에 \(\overline{A D} : \overline{D B} = 3 : 2\)인 점 \(D\)를 잡고, 점 \(A\)를 중심으로 하고 점 \(D\)를 지나는 원을 \(O\), 원 \(O\)와 선분 \(A C\)가 만나는 점을 \(E\)라 하자. \(\sin A : \sin C = 8 : 5\)이고, 삼각형 \(A D E\)와 삼각형 \(A B C\)의 넓이의 비가 \(9 : 35\)이다. 삼각형 \(A B C\)의 외접원의 반지름의 길이가 \(7\)일 때, 원 \(O\) 위의 점 \(P\)에 대하여 삼각형 \(P B C\)의 넓이의 최댓값은? (단, \(\overline{A B} < \overline{A C}\)) [4점]

상수 \(a\) \((a \neq 3 \sqrt{5})\)와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \( g(x) = \begin{cases} x^3 + a x^2 + 15 x + 7 \quad (x \leq 0) \\ f(x) \quad (x > 0) \end{cases} \) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (나) \(x\)에 대한 방정식 \(g'(x) \times g'(x - 4) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수는 \(4\)이다. \(g(-2) + g(2)\)의 값은? [4점]

방정식 \( \log_2 (x - 3) = \log_4 (3x - 5) \) 를 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오. [3점]

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 9x^2 + 4x\)이고 \(f(1) = 6\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오. [3점]

수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \( a_n + a_{n+4} = 12 \) 를 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{16} a_n\)의 값을 구하시오. [3점]

양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \( f(x) = 2x^3 - 3a x^2 - 12 a^2 x \) 라 하자. 함수 \(f(x)\)의 극댓값이 \(\dfrac{7}{27}\)일 때, \(f(3)\)의 값을 구하시오. [3점]

함수 \(f(x) = x^3 - 8x + 7\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}\)의 값은?

곡선 \(y = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-3}\)과 직선 \(y = x\)가 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(k\)라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(x > k\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-3}\)이고 \(f(f(x)) = 3x\)이다. \(f\left(\dfrac{1}{k^3 \times 5^{3k}}\right)\)의 값을 구하시오. [4점]

함수 \(f(x) = x^3 + a x^2 + b x + 4\)가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(f(1)\)의 최댓값을 구하시오. [4점] 모든 실수 \(\alpha\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \alpha} \dfrac{f(2x+1)}{f(x)}\)의 값이 존재한다.

모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(|a_1|\)의 값의 합을 구하시오. [4점] (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \( a_{n+1} = \begin{cases} a_n - 3 \quad (|a_n| \text{이 홀수인 경우}) \\ \dfrac{1}{2} a_n \quad (|a_n| \text{이 0 또는 짝수인 경우}) \end{cases} \) 이다. (나) \(|a_m| = |a_{m+2}|\)인 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(3\)이다.

\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{3x^2}{\sin^2 x}\)의 값은? [2점]

\(\displaystyle\int_{0}^{10} \dfrac{x+2}{x+1} d x\)의 값은? [3점]

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n a_n}{n^2 + 3} = 1\)일 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{a_n^2 + n} - a_n)\)의 값은? [3점]

그림과 같이 곡선 \(y = \sqrt{\dfrac{x + 1}{x(x + \ln x)}}\)과 \(x\)축 및 두 직선 \(x = 1\), \(x = e\)로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \( g(x) = f(e^x) + e^x \) 이라 하자. 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((0, g(0))\)에서의 접선이 \(x\)축이고 함수 \(g(x)\)가 역함수 \(h(x)\)를 가질 때, \(h'(8)\)의 값은? [3점]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)가 \( f'(x) = -x + e^{1 - x^2} \) 이다. 양수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선과 곡선 \(y = f(x)\) 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(g(t)\)라 하자. \(g(1) + g'(1)\)의 값은? [4점]

등비수열 \({a_n}\)이 \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (|a_n| + a_n) = \dfrac{40}{3}, \quad \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (|a_n| - a_n) = \dfrac{20}{3} \) 을 만족시킨다. 부등식 \( \operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} ((-1)^{\dfrac{k(k+1)}{2}} \times a_{m+k}) > \dfrac{1}{700} \) 을 만족시키는 모든 자연수 \(m\)의 값의 합을 구하시오. [4점]

첫째항과 공비가 모두 양수 \(k\)인 등비수열 \({a_n}\)이 \(\dfrac{a_4}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_1} = 30\)을 만족시킬 때, \(k\)의 값은?

두 상수 \(a\) \((1 \leq a \leq 2)\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = \sin(a x + b + \sin x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(0) = 0\), \(f(2 \pi) = 2 \pi a + b\) (나) \(f'(0) = f'(t)\)인 양수 \(t\)의 최솟값은 \(4 \pi\)이다. 함수 \(f(x)\)가 \(x = \alpha\)에서 극대인 \(\alpha\)의 값 중 열린구간 \((0, 4 \pi)\)에 속하는 모든 값의 집합을 \(A\)라 하자. 집합 \(A\)의 원소의 개수를 \(n\), 집합 \(A\)의 원소 중 가장 작은 값을 \(\alpha_1\)이라 하면, \(n \alpha_1 - a b = \dfrac{q}{p} \pi\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

함수 \(f(x) = \begin{cases} 5x + a & \quad \text{if } x < -2 \\ x^2 - a & \quad \text{if } x \geq -2 \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x^2 + 1)(3x^2 - x)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?

\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = -\dfrac{1}{5}\)일 때, \(\dfrac{\sin \theta}{1 - \cos^2 \theta}\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t = 3x^3 + 2x\)를 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값은?

두 실수 \(a = 2 \log \dfrac{1}{\sqrt{10}} + \log_2 20\), \(b = \log 2\)에 대하여 \(a \times b\)의 값은?

함수 \(f(x) = 3x^2 - 16x - 20\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{-2}^a f(x) d x = \displaystyle\int_{-2}^0 f(x) d x\)일 때, 양수 \(a\)의 값은?

닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = a \cos b x + 3\)이 \(x = \dfrac{\pi}{3}\)에서 최댓값 \(13\)을 갖도록 하는 두 자연수 \(a\), \(b\)의 순서쌍 \((a, b)\)에 대하여 \(a + b\)의 최솟값은?

시각 \(t=0\)일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 위치 \(x\)가 \(x = t^3 - \dfrac{3}{2} t^2 - 6t\)이다. 출발한 후 점 \(P\)의 운동 방향이 바뀌는 시각에서의 점 \(P\)의 가속도는?

\(a_1 = 2\)인 수열 \({a_n}\)과 \(b_1 = 2\)인 등차수열 \({b_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{b_{k+1}} = \dfrac{1}{2} n^2\)을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f(1) = f(2) = 0\), \(f'(0) = -7\)을 만족시킨다. 원점 \(O\)와 점 \(P(3, f(3))\)에 대하여 선분 \(O P\)가 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점 중 \(P\)가 아닌 점을 \(Q\)라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y\)축 및 선분 \(O Q\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\), 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 \(P Q\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\)라 할 때, \(B - A\)의 값은?

그림과 같이 삼각형 \(A B C\)에서 선분 \(A B\) 위에 \(\overline{A D} : \overline{D B} = 3 : 2\)인 점 \(D\)를 잡고, 점 \(A\)를 중심으로 하고 점 \(D\)를 지나는 원을 \(O\), 원 \(O\)와 선분 \(A C\)가 만나는 점을 \(E\)라 하자. \(\sin A : \sin C = 8 : 5\)이고, 삼각형 \(A D E\)와 삼각형 \(A B C\)의 넓이의 비가 \(9 : 35\)이다. 삼각형 \(A B C\)의 외접원의 반지름의 길이가 \(7\)일 때, 원 \(O\) 위의 점 \(P\)에 대하여 삼각형 \(P B C\)의 넓이의 최댓값은? (단, \(\overline{A B} < \overline{A C}\))

상수 \(a (a \neq 3 \sqrt{5})\)와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} x^3 + a x^2 + 15 x + 7 & \quad \text{if } x \leq 0 \\ f(x) & \quad \text{if } x > 0 \end{cases}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (나) \(x\)에 대한 방정식 \(g'(x) \times g'(x - 4) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수는 \(4\)이다. \(g(-2) + g(2)\)의 값은?

방정식 \(\log_2 (x - 3) = \log_4 (3x - 5)\)를 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 9x^2 + 4x\)이고 \(f(1) = 6\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n + a_{n+4} = 12\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{16} a_n\)의 값을 구하시오.

양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = 2x^3 - 3a x^2 - 12 a^2 x\)라 하자. 함수 \(f(x)\)의 극댓값이 \(\dfrac{7}{27}\)일 때, \(f(3)\)의 값을 구하시오.

곡선 \(y = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-3}\)과 직선 \(y = x\)가 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(k\)라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(x > k\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-3}\)이고 \(f(f(x)) = 3x\)이다. \(f\left(\dfrac{1}{k^3 \times 5^{3k}}\right)\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 + a x^2 + b x + 4\)가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(f(1)\)의 최댓값을 구하시오. 모든 실수 \(\alpha\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \alpha} \dfrac{f(2x + 1)}{f(x)}\)의 값이 존재한다.

모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(|a_1|\)의 값의 합을 구하시오. (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} a_n - 3 & \quad \text{if } |a_n| \text{이 짝수} \\ 2 a_n & \quad \text{if } |a_n| \text{이 홀수} \end{cases}\)이다. (나) \(|a_m| = |a_{m+2}|\)인 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(3\)이다.

\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{3x^2}{\sin^2 x}\)의 값은?

\(\displaystyle\int_{0}^{10} \dfrac{x + 2}{x + 1} d x\)의 값은?

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n a_n}{n^2 + 3} = 1\)일 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{a_n^2 + n} - a_n)\)의 값은?

그림과 같이 곡선 \(y = \sqrt{\dfrac{x + 1}{x(x + \ln x)}}\)과 \(x\)축 및 두 직선 \(x = 1\), \(x = e\)로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = f(e^x) + e^x\)이라 하자. 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((0, g(0))\)에서의 접선이 \(x\)축이고 함수 \(g(x)\)가 역함수 \(h(x)\)를 가질 때, \(h'(8)\)의 값은?

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)가 \(f'(x) = -x + e^{1 - x^2}\)이다. 양수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선과 곡선 \(y = f(x)\) 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(g(t)\)라 하자. \(g(1) + g'(1)\)의 값은?

등비수열 \({a_n}\)이 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (|a_n| + a_n) = \dfrac{40}{3}\), \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (|a_n| - a_n) = \dfrac{20}{3}\)을 만족시킨다. 부등식 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} ((-1)^{\dfrac{k(k+1)}{2}} \times a_{m+k}) > \dfrac{1}{700}\)을 만족시키는 모든 자연수 \(m\)의 값의 합을 구하시오.

두 상수 \(a (1 \leq a \leq 2)\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = \sin(a x + b + \sin x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(0) = 0\), \(f(2\pi) = 2\pi a + b\) (나) \(f'(0) = f'(t)\)인 양수 \(t\)의 최솟값은 \(4\pi\)이다. 함수 \(f(x)\)가 \(x = \alpha\)에서 극대인 \(\alpha\)의 값 중 열린구간 \((0, 4\pi)\)에 속하는 모든 값의 집합을 \(A\)라 하자. 집합 \(A\)의 원소의 개수를 \(n\), 집합 \(A\)의 원소 중 가장 작은 값을 \(\alpha_1\)이라 하면, \(n \alpha_1 - a b = \dfrac{q}{p} \pi\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)