2025학년도 9월 모의평가 (미적분)

\(\dfrac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[8]{4}}\) 의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 5\) 에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\) 의 값은?

모든 항이 실수인 등비수열 \({a_n}\) 에 대하여 \(a_2 a_3 = 2\), \(a_4 = 4\) 일 때, \(a_6\) 의 값은?

함수 \(y = f(x)\) 의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0^-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1^+} f(x)\) 의 값은?

함수 \(f(x) = (x+1)(x^2+x-5)\) 에 대하여 \(f'(2)\) 의 값은?

\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\) 인 \(\theta\) 에 대하여 \(\cos(\pi + \theta) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) 일 때, \(\sin \theta + \cos \theta\) 의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} (x-a)^2 \ & \quad \text{if } x < 4 \\ 2x - 4 \ & \quad \text{if } x \geq 4 \end{cases}\) 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 \(a\) 의 값의 곱은?

\(a > 2\) 인 상수 \(a\) 에 대하여 두 수 \(\log_2 a\), \(\log_a 8\) 의 합과 곱이 각각 \(4\), \(k\) 일 때, \(a + k\) 의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 + x\) 에 대하여 \(5 \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x - \displaystyle\int_{0}^{1} (5x + f(x)) d x\) 의 값은?

\(\angle A > \dfrac{\pi}{2}\) 인 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라 하자. \(\overline{A B} : \overline{A C} = \sqrt{2} : 1\), \(\overline{A H} = 2\) 이고, 삼각형 ABC의 외접원의 넓이가 \(50\pi\) 일 때, 선분 BH의 길이는?

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\) 에서의 위치가 각각 \(x_1 = t^2 + t - 6\), \(x_2 = -t^3 + 7t^2\) 이다. 두 점 P, Q의 위치가 같아지는 순간 두 점 P, Q의 가속도를 각각 \(p\), \(q\) 라 할 때, \(p - q\) 의 값은?

수열 \({a_n}\) 은 등차수열이고, 수열 \({b_n}\) 은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(b_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_k\) 를 만족시킨다. \(b_2 = -2\), \(b_3 + b_7 = 0\) 일 때, 수열 \({b_n}\) 의 첫째항부터 제9항까지의 합은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2x + 6 \ & \quad \text{if } x < 0 \\ -x^2 + 2x + 6 \ & \quad \text{if } x \geq 0 \end{cases}\) 의 그래프가 \(x\) 축과 만나는 서로 다른 두 점을 P, Q라 하고, 상수 \(k\) \((k > 4)\) 에 대하여 직선 \(x = k\) 가 \(x\) 축과 만나는 점을 R이라 하자. 곡선 \(y = f(x)\) 와 선분 PQ로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\), 곡선 \(y = f(x)\) 와 직선 \(x = k\) 및 선분 QR로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\) 라 하자. \(A = 2B\) 일 때, \(k\) 의 값은? (단, 점 P의 \(x\) 좌표는 음수이다.)

자연수 \(n\) 에 대하여 곡선 \(y = 2^x\) 위의 두 점 \(A_n\), \(B_n\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 \(A_n B_n\) 의 기울기는 3이다. (나) \(\overline{A_n B_n} = n \times \sqrt{10}\) 중심이 직선 \(y = x\) 위에 있고 두 점 \(A_n\), \(B_n\) 을 지나는 원이 곡선 \(y = \log_2 x\) 와 만나는 두 점의 \(x\) 좌표 중 큰 값을 \(x_n\) 이라 하자. \(x_1 + x_2 + x_3\) 의 값은?

두 다항함수 \(f(x)\), \(g(x)\) 는 모든 실수 \(x\) 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\displaystyle\int_{1}^{x} t f(t) d t + \displaystyle\int_{-1}^x t g(t) d t = 3x^4 + 8x^3 - 3x^2\) (나) \(f(x) = x g'(x)\) \(\displaystyle\int_{0}^{3} g(x) d x\) 의 값은?

방정식 \(\log_3 (x+2) - \log_{\dfrac{1}{3}} (x-4) = 3\) 을 만족시키는 실수 \(x\) 의 값을 구하시오.

함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f'(x) = 4x^3 - 2x\) 이고 \(f(0) = 3\) 일 때, \(f(2)\) 의 값을 구하시오.

수열 \({a_n}\) 에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k a_k = 36\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^9 k a_{k+1} = 7\) 일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k\) 의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 + a x^2 - 9x + b\) 는 \(x = 1\) 에서 극소이다. 함수 \(f(x)\) 의 극댓값이 28일 때, \(a + b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a\) 와 \(b\) 는 상수이다.)

닫힌구간 \([0, 2\pi]\) 에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} \sin x - 1 \ & \quad \text{if } 0 \leq x < \pi \\ -\sqrt{2} \sin x - 1 \ & \quad \text{if } \pi \leq x \leq 2\pi \end{cases}\) 가 있다. \(0 \leq t \leq 2\pi\) 인 실수 \(t\) 에 대하여 \(x\) 에 대한 방정식 \(f(x) = f(t)\) 의 서로 다른 실근의 개수가 3이 되도록 하는 모든 \(t\) 의 값의 합은 \(\dfrac{q}{p} \pi\) 이다. \(p + q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.)

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\) 가 모든 정수 \(k\) 에 대하여 \(2k - 8 \leq \dfrac{f(k+2) - f(k)}{2} \leq 4k^2 + 14k\) 를 만족시킬 때, \(f'(3)\) 의 값을 구하시오.

양수 \(k\) 에 대하여 \(a_1 = k\) 인 수열 \({a_n}\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_2 \times a_3 < 0\) (나) 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(\left(a_{n+1} - a_n + \dfrac{2}{3} k\right)(a_{n+1} + k a_n) = 0\) 이다. \(a_5 = 0\) 이 되도록 하는 서로 다른 모든 양수 \(k\) 에 대하여 \(k^2\) 의 값의 합을 구하시오.

\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 5x}{x}\) 의 값은?

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 있다. 양수 \(t\) 에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\) 에서의 접선의 기울기는 \(\dfrac{1}{t} + 4 e^{2t}\) 이다. \(f(1) = 2 e^2 + 1\) 일 때, \(f(e)\) 의 값은?

등비수열 \({a_n}\) 에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{4^n \times a_n - 1}{3 \times 2^{n+1}} = 1\) 일 때, \(a_1 + a_2\) 의 값은?

그림과 같이 곡선 \(y = 2x \sqrt{x \sin x^2}\) \((0 \leq x \leq \sqrt{\pi})\) 와 \(x\) 축 및 두 직선 \(x = \sqrt{\dfrac{\pi}{6}}\), \(x = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\) 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\) 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 반원일 때, 이 입체도형의 부피는?

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x) + f\left(\dfrac{1}{2} \sin x\right) = \sin x\) 를 만족시킬 때, \(f'(\pi)\) 의 값은?

함수 \(f(x)\) 는 실수 전체의 집합에서 연속인 이계도함수를 갖고, 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(g(x)\) 를 \(g(x) = f'(2x) \sin \pi x + x\) 라 하자. 함수 \(g(x)\) 는 역함수 \(g^{-1}(x)\) 를 갖고, \(\displaystyle\int_{0}^{1} g^{-1}(x) d x = 2 \displaystyle\int_{0}^{1} f'(2x) \sin \pi x d x + \dfrac{1}{4}\) 을 만족시킬 때, \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \cos \dfrac{\pi}{2} x d x\) 의 값은?

수열 \({a_n}\) 의 첫째항부터 제 \(m\) 항까지의 합을 \(S_m\) 이라 하자. 모든 자연수 \(m\) 에 대하여 \(S_m = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{m+1}{n(n+m+1)}\) 일 때, \(a_1 + a_{10} = \dfrac{q}{p}\) 이다. \(p + q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.)

양수 \(k\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 를 \(f(x) = (k - |x|) e^{-x}\) 이라 하자. 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 \(F(x)\) 에 대하여 \(F(0)\) 의 최솟값을 \(g(k)\) 라 하자. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(F'(x) = f(x)\) 이고 \(F(x) \geq f(x)\) 이다. \(g\left(\dfrac{1}{4}\right) + g\left(\dfrac{3}{2}\right) = p e + q\) 일 때, \(100(p + q)\) 의 값을 구하시오. (단, \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} x e^{-x} = 0\) 이고, \(p\) 와 \(q\) 는 유리수이다.)