2023년 4월 고3 학력평가 (미적분)

\(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} (\sqrt{4n^2 + 3n} - \sqrt{4n^2 + 1})\)의 값은?

함수 \(f(x) = e^x (2 \sin x + \cos x)\)에 대하여 \(f'(0)\)의 값은?

수열 \({a_n}\)에 대하여 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(a_n - \dfrac{2^{n+1}}{2^n + 1}\right)\)이 수렴할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} \dfrac{2^n \times a_n + 5 \times 2^{n+1}}{2^n + 3}\)의 값은?

두 함수 \(f(x) = a^x\), \(g(x) = 2 \log_b x\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow e} \dfrac{f(x) - g(x)}{x - e} = 0\)일 때, \(a \times b\)의 값은? (단, \(a\)와 \(b\)는 \(1\)보다 큰 상수이다.)

그림과 같이 좌표평면 위에 점 \(A(0, 1)\)을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(1\)인 원 \(C\)가 있다. 원점 \(O\)를 지나고 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 \(\theta\)인 직선이 원 \(C\)와 만나는 점 중 \(O\)가 아닌 점을 \(P\)라 하고, 호 \(O P\) 위에 점 \(Q\)를 \(\angle O P Q = \dfrac{\theta}{3}\)가 되도록 잡는다. 삼각형 \(P O Q\)의 넓이를 \(f(\theta)\)라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{\theta\rightarrow 0^+} \dfrac{f(\theta)}{\theta^3}\)의 값은? (단, 점 \(Q\)는 제1사분면 위의 점이고, \(0 < \theta < \pi\)이다.)

그림과 같이 \(\overline{A B_1} = 2\), \(\overline{B_1 C_1} = \sqrt{3}\), \(\overline{C_1 D_1} = 1\)이고 \(\angle C_1 B_1 A = \dfrac{\pi}{2}\)인 사다리꼴 \(A B_1 C_1 D_1\)이 있다. 세 점 \(A\), \(B_1\), \(D_1\)을 지나는 원이 선분 \(B_1 C_1\)과 만나는 점 중 \(B_1\)이 아닌 점을 \(E_1\)이라 할 때, 두 선분 \(C_1 D_1\), \(C_1 E_1\)과 호 \(E_1 D_1\)로 둘러싸인 부분과 선분 \(B_1 E_1\)과 호 \(B_1 E_1\)로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\)이라 하자. 그림 \(R_1\)에서 선분 \(A B_1\) 위의 점 \(B_2\), 호 \(E_1 D_1\) 위의 점 \(C_2\), 선분 \(A D_1\) 위의 점 \(D_2\)와 점 \(A\)를 꼭짓점으로 하고 \(\overline{B_2 C_2} : \overline{C_2 D_2} = \sqrt{3} : 1\)이고 \(\angle C_2 B_2 A = \dfrac{\pi}{2}\)인 사다리꼴 \(A B_2 C_2 D_2\)를 그린다. 그림 \(R_1\)을 얻은 것과 같은 방법으로 점 \(E_2\)를 잡고, 사다리꼴 \(A B_2 C_2 D_2\)에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\)라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} S_n\)의 값은?

그림과 같이 중심이 \(O\), 반지름의 길이가 \(8\)이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\)인 부채꼴 \(O A B\)가 있다. 호 \(A B\) 위의 점 \(C\)에 대하여 점 \(B\)에서 선분 \(O C\)에 내린 수선의 발을 \(D\)라 하고, 두 선분 \(B D\), \(C D\)와 호 \(B C\)에 동시에 접하는 원을 \(C\)라 하자. 점 \(O\)에서 원 \(C\)에 그은 접선 중 점 \(C\)를 지나지 않는 직선이 호 \(A B\)와 만나는 점을 \(E\)라 할 때, \(\cos(\angle C O E) = \dfrac{7}{25}\)이다. \(\sin(\angle A O E) = p + q \sqrt{7}\)일 때, \(200 \times (p + q)\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 유리수이고, 점 \(C\)는 점 \(B\)가 아니다.)

\(x \geq 0\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(x) = \begin{cases} 2^x - 1 & \quad \text{if } 0 \leq x \leq 1 \\ 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^x - 1 & \quad \text{if } 1 < x \leq 2 \end{cases}\) (나) 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = -\dfrac{1}{2} f(x)\)이다. \(x > 0\)에서 정의된 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \operatorname*{lim}\limits_{h\rightarrow 0^+} \dfrac{f(x + h) - f(x - h)}{h}\)라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow 0^+} {g(n + t) - g(n - t)} + 2 g(n) = \dfrac{\ln 2}{2^{24}}\)를 만족시키는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하시오.