2024년 6월 고1 학력평가

\((1-3i)+2i\)의 값은? (단, \(i=\sqrt{-1}\)) [2점]

두 다항식 \(A = 3x^2 - 5x + 1\), \(B = 2x^2 + x + 3\)에 대하여 \(A-B\)를 간단히 하면? [2점]

다항식 \(2x^3 - x^2 - x + 4\)를 \(x - 1\)로 나눈 나머지는? [2점]

\(x\)에 대한 이차부등식 \(x^2 + a x + 6 < 0\)의 해가 \(2 < x < 3\)일 때, 상수 \(a\)의 값은? [3점]

등식 \(2x^2 + a x + b = x(x-3) + (x+1)(x+3)\)이 \(x\)에 대한 항등식일 때, \(a b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.) [3점]

\(x+y-z=5\), \(x y - y z - z x = 4\)일 때, \(x^2 + y^2 + z^2\)의 값은? [3점]

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 2 k x + k^2 + 3k - 22 = 0\)이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 자연수 \(k\)의 최솟값은? [3점]

\(2024^4 + 2024^2 + 1\)을 \(2022\)로 나눈 나머지는? [3점]

\(x\)에 대한 부등식 \(|x-1| < n\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(9\)가 되도록 하는 자연수 \(n\)의 값은? [3점]

사차방정식 \((x^2 - 3x)(x^2 - 3x + 6) + 5 = 0\)의 서로 다른 두 실근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \(\alpha \beta\)의 값은? [3점]

\(x\)에 대한 두 다항식 \(x^3 + 2x^2 + 3x + 6\)과 \(x^3 + x + a\)가 모두 \(x + b\)로 나누어떨어질 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 실수이다.) [3점]

삼차방정식 \(x^3 + x^2 + x - 3 = 0\)의 서로 다른 두 허근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \((\alpha^2 + 2 \alpha + 6)(\beta^2 + 2 \beta + 8)\)의 값은? [3점]

\(x\), \(y\)에 대한 연립방정식 \(\begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 - x y - y^2 = k \end{cases}\)의 해를 \(\begin{cases} x = \alpha \\ y = \alpha - 3 \end{cases}\) 또는 \(\begin{cases} x = \beta \\ y = \beta - 3 \end{cases}\)이라 하자. \(\alpha\), \(\beta\)가 서로 다른 두 실수가 되도록 하는 자연수 \(k\)의 최댓값은? [3점]

그림과 같이 이차함수 \(y = -x^2 + 4x + 5\)의 그래프와 직선 \(y = 2x + a\)가 한 점 \(A\)에서만 만난다. 이차함수 \(y = -x^2 + 4x + 5\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 두 점 \(B\), \(C\)에 대하여 삼각형 \(A B C\)의 넓이는? (단, \(a\)는 상수이다.) [4점]

\(x\)에 대한 다항식 \((x+2)(x+3)(x+4)(x+5) + k\)가 \((x^2 + a x + b)^2\)으로 인수분해되도록 하는 세 실수 \(a\), \(b\), \(k\)에 대하여 \(a + b + k\)의 값은? [4점]

\(x\)에 대한 다항식 \(x^3 + a x^2 + b x - 4\)를 \(x + 1\)로 나누었을 때의 몫은 \(Q(x)\)이고 나머지는 \(3\)이다. \((x^2 + a) Q(x - 2)\)가 \(x - 2\)로 나누어떨어질 때, \(Q(1)\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.) [4점]

실수 \(a\)에 대하여 복소수 \(z\)를 \(z = a^2 - 1 + (a - 1) i\)라 하자. \(z^2\)이 음의 실수일 때, \(\left(\dfrac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^n = \dfrac{(z - \overline{z}) i}{4}\)가 되도록 하는 \(100\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수는? (단, \(\overline{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수이고, \(i = \sqrt{-1}\)이다.) [4점]

\(-2 \leq x \leq 2\)에서 이차함수 \(f(x) = x^2 - (2a - b) x + a^2 - 4b\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(f(x)\)는 \(x = 1\)에서 최솟값을 가진다. (나) 함수 \(f(x)\)의 최댓값은 \(0\)이다. \(a + b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.) [4점]

그림과 같이 길이가 \(2a\)인 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 \(A B\) 위의 두 점 \(C\), \(D\)가 \(\overline{A C} = \overline{C D} = a - 1\), \(\overline{B D} = 8\)을 만족시킬 때, \(a^3 - \dfrac{1}{a^3}\)의 값은? (단, \(a\)는 \(a > 4\)인 상수이다.) [4점]

\(x\)에 대한 삼차방정식 \(x^3 - (a^2 + a - 1) x^2 - a(a - 3) x + 4a = 0\)이 서로 다른 세 실근 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) \((\alpha < \beta < \gamma)\)를 가질 때, \(\alpha \times \gamma = -4\)가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 합은? [4점]

최고차항의 계수가 \(2\)인 이차함수 \(f(x)\)와 최고차항의 계수가 \(-1\)인 이차함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 직선 \(y = x\)와 원점이 아닌 서로 다른 두 점 \(P\), \(Q\)에서 만난다. (나) 함수 \(y = g(x)\)의 그래프가 직선 \(y = x\)와 한 점 \(P\)에서만 만난다. (다) 점 \(P\)의 \(x\)좌표는 점 \(Q\)의 \(x\)좌표보다 작고, \(\overline{O P} = \overline{P Q}\)이다. 부등식 \(f(x) + g(x) \geq 0\)의 해가 모든 실수일 때, 점 \(P\)의 \(x\)좌표의 최댓값은? (단, \(O\)는 원점이다.) [4점]

다항식 \((2x + y)^3\)의 전개식에서 \(x y^2\)의 계수를 구하시오. [3점]

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 3x + a = 0\)의 두 근이 \(1\), \(b\)일 때, \(a b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.) [3점]

복소수 \(z\)에 대하여 등식 \(3z - 2 \overline{z} = 5 + 10 i\)가 성립할 때, \(z \overline{z}\)의 값을 구하시오. (단, \(\overline{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수이고, \(i = \sqrt{-1}\)이다.) [3점]

다항식 \(x^4 + 2x^3 + 11 x - 4\)를 \(x^2 + 2x + 3\)으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 하자. \(Q(2) + R(1)\)의 값을 구하시오. [3점]

\(x\)에 대한 이차방정식 \(3x^2 - 5x + k = 0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \((3 \alpha - k)(\alpha - 1) + (3 \beta - k)(\beta - 1) = -10\)을 만족시키는 실수 \(k\)의 값을 구하시오. [4점]

\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} x^2 - 11 x + 24 < 0 \\ x^2 - 2 k x + k^2 - 9 > 0 \end{cases}\)의 해가 \(\alpha < x < \beta\)일 때, \(\beta - \alpha = 2\)를 만족시키는 모든 실수 \(k\)의 값의 합을 구하시오. [4점]

이차다항식 \(f(x)\)와 일차다항식 \(g(x)\)에 대하여 \(f(x) g(x)\)를 \(f(x) - 2x^2\)으로 나누었을 때의 몫은 \(x^2 - 3x + 3\)이고 나머지는 \(f(x) + x g(x)\)이다. \(f(-2)\)의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\)이고 중심각의 크기가 \(90^{\circ}\)인 부채꼴 \(O A B\)가 있다. 호 \(A B\) 위의 점 \(C\)에 대하여 선분 \(B C\)를 지름으로 하는 원을 그린다. 선분 \(B C\)의 중점을 지나고 직선 \(O B\)에 평행한 직선이 원과 만나는 점 중 점 \(B\)에 가까운 점을 \(P\)라 하자. \(\overline{B C} = x\)일 때, 삼각형 \(O A P\)의 넓이를 \(S(x)\)라 하자. \(S(x)\)의 최댓값이 \(\dfrac{q}{p}\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(0 < x < \sqrt{2}\)이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

두 이차함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \leq 0 \leq g(x)\)이다. (나) \(k - 2 \leq x \leq k + 2\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 \(k - 2 \leq x \leq k + 2\)에서 함수 \(g(x)\)의 최솟값이 같게 되도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값은 \(0\), 최댓값은 \(1\)이다. (다) 방정식 \(f(x) = f(0)\)의 모든 실근의 합은 음수이다. \(f(1) = -2\), \(g(1) = 2\)일 때, \(f(3) + g(11)\)의 값을 구하시오. [4점]