2026학년도 9월 모의평가 (기하)

\(5^{\sqrt{2}+1} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{\sqrt{2}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 - 4 x + 2\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(4+h) - f(4)}{h}\)의 값은?

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^6 (2 a_k - 1) = 30\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^6 a_k\)의 값은?

닫힌구간 \([-2, 2]\)에서 정의된 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\lim f(x) + \lim f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x^2 + 2)(x^2 + x - 3)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?

\(\cos(\theta - \pi) = \dfrac{3}{5}\)이고 \(\tan \theta < 0\)일 때, \(\sin \theta\)의 값은?

곡선 \(y = x^3 - 5 x^2 + 6 x\) 위의 점 \((3, 0)\)에서의 접선이 점 \((5, a)\)를 지날 때, \(a\)의 값은?

두 양수 \(a\), \(b\)가 \(\log_{\sqrt{2}} a + \log_2 b = 2\), \(\log_2 a + \log_2 b^2 = 7\)을 만족시킬 때, \(a \times b\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)의 한 부정적분을 \(F(x)\)라 하고, 함수 \(2 f(x) + 1\)의 한 부정적분을 \(G(x)\)라 하자. \(G(3) = 2 F(3)\)일 때, \(G(5) - 2 F(5)\)의 값은?

모든 항이 양수인 등비수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(a_2 = 1\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^6 (-1)^k S_k = 21\)일 때, \(S_2 + S_7\)의 값은?

시각이 \(t = 0\)일 때 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P가 있다. 시각이 \(t\) \((t \geq 0)\)일 때 점 P의 속도가 \(v(t) = 3 t^2 - 10 t + 7\)이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 시각 \(t\)일 때 점 P의 운동 방향이 바뀐다. ㄴ. 시각 \(t\)일 때 점 P의 위치는 ...이다. ㄷ. 시각 ...에서 ...까지 점 P가 움직인 거리는 ...이다.

상수 \(a\)와 양수 \(k\)에 대하여 곡선 \(y = ...\)과 두 직선 \(y = ...\), \(y = ...\)이 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 점 B에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 C라 하자. \(\overline{A B} = \overline{A C}\)이고 삼각형 ACB의 넓이가 ...일 때, \(a \times k\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 + 6 x + 12\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 \(k\)의 개수는? 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow a} \dfrac{x^2}{(f(x))^2 - k(x + 2) f(x)}\)의 값이 존재한다.

양수 \(k\)에 대하여 집합 \(\{x | 0 \leq x < \dfrac{3 k \pi}{2}, x \neq \dfrac{k \pi}{2}\}\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \tan\left(\dfrac{x}{k}\right)\)가 있다. 점 \(P(0, p)\) \((p > 0)\)을 지나며 \(x\)축에 평행한 직선이 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 만나는 두 점을 A, B \((\overline{P A} < \overline{P B})\)라 하고, 직선 \(y = -p\)가 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 만나는 점을 C라 하자. \(\overline{A B} = 3 \overline{P A}\)이고 삼각형 OCB의 넓이가 \(\dfrac{5 \pi}{3}\)일 때, \(k + p\)의 값은? (단, O는 원점이다.)

최고차항의 계수가 양수이고 \(f(0) = 0\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (|f(t)| - |t|) d t\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 \(g'(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수는 ...이다. (나) 함수 \(g(x)\)는 \(x = ...\), \(x = ...\)에서 극값을 갖는다. \(... \times ...\)일 때, \(f(...)\)의 값은?

수열 \({a_n}\)은 \(a_1 = ...\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = n a_n + 2\)를 만족시킨다. \(a_...\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(...) = ...\)이고 \(f(...) = ...\)일 때, \(f(...)\)의 값을 구하시오.

등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_3 = 6\), \(2 a_5 - a_4 = 15\)일 때, \(a_{11}\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = 2 x^3 - 3 a x^2 + 5 a\)의 극솟값이 \(a\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

그림과 같이 사각형 ABCD가 한 원에 내접하고 \(\overline{A B} : \overline{C D} = 1 : 3\), \(\overline{B C} < \overline{A D}\)일 때, 직선 AB와 직선 CD가 만나는 점을 P라 하자. 다음은 \(\overline{P B} : \overline{P C} : \overline{B C} = 7 : 5 : \sqrt{14}\)이고 \(\overline{A D} = 4 \sqrt{13}\)일 때, 삼각형 BPC의 외접원의 반지름의 길이를 구하는 과정이다. \(\angle B P C = \theta\)라 할 때, \(\overline{P B} : \overline{P C} : \overline{B C} = 7 : 5 : \sqrt{14}\)이므로 삼각형 BPC에서 코사인법칙에 의하여 \(\cos \theta = \dfrac{6}{7}\)이다. \(\overline{P B} : \overline{P C} = 7 : 5\)에서 \(\overline{P B} = 7 k\), \(\overline{P C} = 5 k\), \(\overline{A B} : \overline{C D} = 1 : 3\)에서 \(\overline{A B} = l\), \(\overline{C D} = 3 l\)이라 하자. 원의 성질에 의하여 삼각형 BPC와 삼각형 DPA가 서로 닮음이므로 \(\overline{P B} : \overline{P C} = \overline{P D} : \overline{P A}\)이고, \(l = (가) \times k\)이다. 삼각형 BPC와 삼각형 DPA의 닮음비가 \(1 : (나)\)이므로 \(\overline{B C} = \dfrac{1}{(나)} \times \overline{A D}\)이다. 따라서 삼각형 BPC의 외접원의 반지름의 길이를 R이라 할 때, 삼각형 BPC에서 사인법칙에 의하여 \(R = (다)\)이다. 위의 (가), (나), (다)의 알맞은 수를 각각 \(p\), \(q\), \(r\)이라 할 때, \(p \times q \times r\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f'(10)\)의 값을 구하시오. 0이 아닌 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{f'(x)}{2} + x^2 - 2 \leq \dfrac{f(2 x) - f(0)}{2 x} \leq x^4\)이다.

곡선 \(y = \log_2 x\) 위에 서로 다른 두 점 A, B가 있다. 점 A에서 직선 \(y = x\)에 내린 수선의 발을 P라 하고, 점 B를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점을 Q라 할 때, 네 점 A, B, P, Q가 다음 조건을 만족시킨다. (가) (직선 AP의 \(y\)절편) - (직선 BQ의 \(y\)절편) \(= \dfrac{13}{2}\) (나) 직선 AB의 기울기는 \(\dfrac{6}{7}\)이다. 사각형 APQB의 넓이가 \(\dfrac{q}{p}\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

포물선 \(y^2 = 8 x\)의 초점의 좌표가 \((p, 0)\)일 때, \(p\)의 값은?

좌표평면에서 두 직선 \(\dfrac{x - 1}{2} = y - 4\), \(\dfrac{x + 2}{8} = \dfrac{y + 5}{a}\)가 서로 평행할 때, 상수 \(a\)의 값은? (단, \(a \neq 0\))

좌표공간의 점 \(A(4, 3, -9)\)를 \(x y\) 평면에 대하여 대칭이동한 점을 B, 점 A를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 C라 할 때, 선분 BC의 길이는?

그림과 같이 \(\overline{A B} = 10\), \(\overline{A D} = 5\), \(\overline{A E} = 1\)인 직육면체 ABCD-EFGH가 있다. 점 A와 직선 FH 사이의 거리는?

두 초점이 \(F(0, c)\), \(F'(0, -c)\) \((c > 0)\)인 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = -1\) 위의 점 P가 제2사분면에 있다. 삼각형 PF'F의 둘레의 길이가 30일 때, 이 쌍곡선 위의 점 P에서의 접선의 기울기는?

좌표공간의 구 \(S : x^2 + y^2 + z^2 = 36\) 위의 점 A에 대하여 구 S 위의 점 B가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 선분 OA 위의 \(\overline{O C} = 4\)인 점 C에 대하여 직선 BC와 \(x y\) 평면이 서로 평행하다. (나) 두 직선 OA, AB와 \(x y\) 평면이 이루는 예각의 크기를 각각 \(\alpha\), \(\beta\)라 하면 \(\sin \alpha = 3 \sin \beta\)이다. 삼각형 OAB의 \(x y\) 평면 위로의 정사영이 직각삼각형일 때, 평면 OAB와 \(x y\) 평면이 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 하자. \(\cos \theta\)의 값은? (단, O는 원점이고, 점 A의 \(z\)좌표는 6이 아닌 양수이다.)

두 점 \(F(0, 6)\), \(F'(0, -6)\)을 초점으로 하는 타원 \(C_1\)에 대하여 점 F를 지나고 \(x\)축과 평행한 직선이 타원 \(C_1\)과 만나는 점 중 제1사분면 위에 있는 점을 P, 선분 PF'과 \(x\)축이 만나는 점을 Q라 하자. 두 점 P, F를 초점으로 하고 점 Q가 꼭짓점인 타원 \(C_2\)에 대하여 두 타원 \(C_1\), \(C_2\)가 만나는 점 중 \(x\)축에 가까운 점을 R이라 하자. \(\overline{F' R} - \overline{P R} = 7 \sqrt{2}\)일 때, 두 타원 \(C_1\), \(C_2\)의 장축의 길이의 곱을 구하시오.

좌표평면에 \(\overline{A B} = \overline{A C} = 8 \sqrt{5}\), \(\overline{B C} = 16\)인 삼각형 ABC가 있다. 선분 AB 위의 점 P, 선분 BC 위의 점 Q, 선분 CA 위의 점 R이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \((\overrightarrow{P B} + \overrightarrow{P Q}) \cdot \overrightarrow{B C} = (\overrightarrow{R C} + \overrightarrow{R Q}) \cdot \overrightarrow{B C} = 0\) (나) \(\overrightarrow{Q P} \cdot \overrightarrow{Q R} = |\overrightarrow{Q P}|^2\) \(|3 \overrightarrow{X P} + \overrightarrow{X R}| = |\overrightarrow{P R}|\)을 만족시키는 점 X에 대하여 \(|\overrightarrow{B X}|\)의 최댓값과 최솟값을 각각 M, m이라 할 때, \(M \times m\)의 값을 구하시오. (단, \(|\overrightarrow{P Q}| > 0\))