2025년 6월 고2 학력평가

\((2^{\sqrt{2}+1})^{-1} \times 2^{\sqrt{2}}\)의 값은?

\(\log_5 \dfrac{25}{2} + \log_5 10\)의 값은?

반지름의 길이가 2이고 넓이가 \(\dfrac{\pi}{3}\)인 부채꼴의 중심각의 크기는?

\(\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{3}{2}\pi\)일 때, 방정식 \(\sqrt{3} \tan x = 1\)의 해는?

다음은 상용로그표의 일부이다. 위의 표를 이용하여 \(\log 0.183\)의 값을 구한 것은?

삼각형 ABC에서 \(\overline{BC} = 5\), \(\angle A = \dfrac{\pi}{6}\), \(\angle B = \dfrac{\pi}{4}\)일 때, 선분 AC의 길이는?

\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\dfrac{\cos \theta}{\tan \theta} + \sin \theta = \sqrt{3}\)일 때, \(\cos \theta\)의 값은?

함수 \(y = \log_{-a^2 - a + 7} x\)가 \(x\)의 값이 증가할 때 \(y\)의 값도 증가하도록 하는 모든 정수 \(a\)의 값의 합은?

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(y = a \sin b x + 1\)의 그래프가 그림과 같을 때, \(a+b\)의 값은?

함수 \(y = 2^{-x+a} + a\)의 역함수의 그래프가 점 \((a+1, 1)\)을 지날 때, 상수 \(a\)의 값은?

\(x \leq 3\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 2^{2x} - 2^{x+2} + 6\)의 최댓값과 최솟값의 합은?

\(\overline{AB} : \overline{BC} = 3:2\), \(\angle ABC = \dfrac{\pi}{3}\)인 삼각형 ABC가 있다. 삼각형 ABC의 외접원의 넓이가 \(7\pi\)일 때, 삼각형 ABC의 넓이는?

\(\dfrac{\pi}{2} < t < \pi\)인 실수 \(t\)에 대하여 이차방정식 \(5x^2 + x + k = 0\) (\(k\)는 상수)가 두 실근 \(\sin t\), \(\cos t\)를 가질 때, \(k \times \tan t\)의 값은?

곡선 \(y = 2^x\) 위의 두 점 A, B에 대하여 선분 AB의 중점을 M, 점 M을 지나고 \(x\)축에 수직인 직선이 곡선 \(y = 2^x\)과 만나는 점을 N이라 하자. 두 점 A, B의 \(x\)좌표가 각각 \(\dfrac{1}{2} \log_2 \dfrac{3}{2}\), \(\dfrac{5}{2} \log_2 \dfrac{3}{2}\)일 때, 선분 MN의 길이는?

\(\log_{|x+1|} {(n-x)(n+1+x)}\)가 정의되도록 하는 정수 \(x\)의 개수가 25일 때, 자연수 \(n\)의 값은?

두 실수 \(a\), \(b\) (\(a < 0\), \(b > 0\))에 대하여 \(0 \leq x \leq b\)에서 정의된 함수 \(f(x) = a \sin \dfrac{\pi}{b} x + a^2\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 차는 2이다. (나) \(x\)에 대한 방정식 \(\log{(f(x))^2 - 5} = \log{5 f(x) - 11}\)의 서로 다른 모든 실근의 합은 6이다. \(a+b\)의 값은?

\(0 \leq x < 24\)에서 부등식 \(\left(\sin \dfrac{\pi}{12} x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\cos \dfrac{\pi}{12} x - \dfrac{1}{2}\right) < 0\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 개수는?

그림과 같이 상수 \(a\) \((a > 1)\)에 대하여 두 곡선 \(y = a^{a x}\)과 \(y = \dfrac{1}{a} \log_a \left(x - \dfrac{1}{a}\right) - \dfrac{1}{a}\)이 있다. 곡선 \(y = a^{a x}\) 위의 점 중 \(x\)좌표가 \(\dfrac{1}{a}\)보다 큰 점 A에 대하여 점 A를 지나고 기울기가 \(-1\)인 직선이 곡선 \(y = \dfrac{1}{a} \log_a \left(x - \dfrac{1}{a}\right) - \dfrac{1}{a}\)과 만나는 점을 B라 하자. 곡선 \(y = \dfrac{1}{a} \log_a \left(x - \dfrac{1}{a}\right) - \dfrac{1}{a}\)이 \(x\)축과 만나는 점을 C라 하고, 점 C를 지나고 기울기가 \(-1\)인 직선이 곡선 \(y = a^{a x}\)과 만나는 점을 D라 하자. 점 A의 \(x\)좌표와 점 D의 \(x\)좌표의 차가 \(\dfrac{1}{a}\)이고 직선 AD가 원점을 지날 때, 사각형 ABCD의 넓이는?

7 이하의 두 자연수 \(m\), \(n\)에 대하여 함수 \(f(x) = |2^m \cos x - 2^n|\)이 있다. \(0 \leq x \leq 2\pi\)에서 방정식 \({f(x)}^2 - (2^5 + 2^4) f(x) + 2^9 = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 6이 되도록 하는 \(m\), \(n\)의 모든 순서쌍 \((m, n)\)의 개수는?

\(t > 4\)인 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(|2^{-x+3} - 2| = -x^2 + t x - 4\)의 서로 다른 두 실근을 \(\alpha\), \(\beta\) \((\alpha < \beta)\)라 하자. 함수 \(f(x) = \begin{cases} |2^{-x+3} - 2| & \quad \text{if } x < \alpha \text{or} x > \beta \\ -x^2 + t x - 4 & \quad \text{if } \alpha \leq x \leq \beta \end{cases}\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) = f\left(\dfrac{t}{2}\right)\)의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되도록 하는 \(t\)의 최솟값은?

그림과 같이 길이가 6인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위에 점 C를 \(\cos(\angle CAB) = \dfrac{1}{3}\)이 되도록 잡고, 선분 AB 위에 점 D를 \(\overline{AC} = \overline{DB}\)가 되도록 잡는다. 점 B를 지나고 선분 CD와 평행한 직선이 호 AB와 만나는 점 중 B가 아닌 점을 E라 할 때, 선분 CE의 길이는?

\(\sqrt[6]{25^2} \times \sqrt[3]{5^4}\)의 값을 구하시오.

방정식 \(3^{4-x} = 9^{x-7}\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

부등식 \(\log_2 (x-1) < 5\)를 만족시키는 모든 자연수 \(x\)의 개수를 구하시오.

양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = 6 \cos a x + 10\)의 주기가 \(4\pi\)일 때, \(f\left(\dfrac{4}{3}\pi\right)\)의 값을 구하시오.

양수 \(k\)에 대하여 좌표평면에서 \(A\left(-\dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}}, \dfrac{k}{\sqrt{k^2+1}}\right)\)를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점을 B라 하고, 두 동경 OA, OB가 나타내는 각의 크기를 각각 \(\alpha\), \(\beta\)라 하자. \(\cos \alpha - \sin \beta = \dfrac{1}{3}\)일 때, \(k^2\)의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, \(x\)축의 양의 방향을 시초선으로 한다.)

다음 조건을 만족시키는 두 자연수 \(m\), \(n\)에 대하여 모든 \(m\)의 값의 합을 구하시오. (가) \(m\)의 양의 제곱근은 \(n\)의 양의 네제곱근의 2배이다. (나) \(\dfrac{3m}{n}\)은 자연수이다.

자연수 \(k\)에 대하여 두 곡선 \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-k-2}\), \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-k} - 2\)와 직선 \(y = k\)가 있다. 자연수 \(n\)에 대하여 직선 \(x = n\)이 두 곡선 \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-k-2}\), \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-k} - 2\)와 만나는 점을 각각 A, B라 할 때 선분 AB가 직선 \(y = k\)와 만나도록 하는 \(n\)의 최댓값과 최솟값의 합을 \(f(k)\)라 하자. \(f(k) = 15\)를 만족시키는 \(k\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 \(\overline{AB} = 4\), \(\overline{AC} = 5\), \(\cos(\angle BAC) = \dfrac{1}{8}\)인 삼각형 ABC가 있다. 선분 BC를 1:2로 내분하는 점을 D, 직선 AD가 삼각형 ABC의 외접원과 만나는 점 중 A가 아닌 점을 E라 하자. 점 D에서 선분 CE에 내린 수선의 발을 F라 할 때, 선분 FC의 길이는 \(\dfrac{q}{p}\sqrt{11}\)이다. \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\), \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

함수 \(f(x) = -x^2 + 2x - 1\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 0이 아닌 모든 정수 \(k\)의 값의 합을 구하시오. (가) \(\log_{2^k} {f(2) + |k|} \leq \log_{2^k} 8\) (나) 부등식 \(\log_{2^k} {f(x) + |k|(x-1)} \leq \log_{2^k} 4x\)를 만족시키는 자연수 \(x\)의 개수는 6이다.