2022년 7월 고3 학력평가 (기하)

두 벡터 \(\overrightarrow{a} = (2m-1, 3m+1)\), \(\overrightarrow{b} = (3, 12)\)가 서로 평행할 때, 실수 \(m\)의 값은?

포물선 \(y^2 = 4x\) 위의 점 \((9, 6)\)에서의 접선과 포물선의 준선이 만나는 점이 \((a, b)\)일 때, \(a+b\)의 값은?

좌표평면에서 두 점 \(A(-2, 0)\), \(B(3, 3)\)에 대하여 \((\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OP} - 2 \overrightarrow{OB}) = 0\)을 만족시키는 점 \(P\)가 나타내는 도형의 길이는? (단, \(O\)는 원점이다.)

두 초점이 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\) \((c > 0)\)인 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{k} = 1\) 위의 제1사분면에 있는 점 \(P\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점의 \(x\)좌표가 \(\dfrac{4}{3}\)이다. \(\overline{P F'} = \overline{F F'}\)일 때, 양수 \(k\)의 값은?

공간에서 수직으로 만나는 두 평면 \(\alpha\), \(\beta\)의 교선 위에 두 점 \(A\), \(B\)가 있다. 평면 \(\alpha\) 위에 \(\overline{A C} = 2 \sqrt{29}\), \(\overline{B C} = 6\)인 점 \(C\)와 평면 \(\beta\) 위에 \(\overline{A D} = \overline{B D} = 6\)인 점 \(D\)가 있다. \(\angle A B C = \dfrac{\pi}{2}\)일 때, 직선 \(C D\)와 평면 \(\alpha\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 하자. \(\cos \theta\)의 값은?

그림과 같이 \(F(6, 0)\), \(F'(-6, 0)\)을 두 초점으로 하는 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)이 있다. 점 \(A\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)\)에 대하여 \(\angle F P A = \angle F' P A\)를 만족시키는 타원의 제1사분면 위의 점을 \(P\)라 할 때, 점 \(F\)에서 직선 \(A P\)에 내린 수선의 발을 \(B\)라 하자. \(\overline{O B} = \sqrt{3}\)일 때, \(a \times b\)의 값은? (단, \(a > 0\), \(b > 0\)이고 \(O\)는 원점이다.)

평면 위에 한 변의 길이가 \(6\)인 정삼각형 \(A B C\)의 무게중심 \(O\)에 대하여 \(\overrightarrow{O D} = \dfrac{3}{2} \overrightarrow{O B} - \dfrac{1}{2} \overrightarrow{O C}\)를 만족시키는 점을 \(D\)라 하자. 선분 \(C D\) 위의 점 \(P\)에 대하여 \(|2 \overrightarrow{P A} + \overrightarrow{P D}|\)의 값이 최소가 되도록 하는 점 \(P\)를 \(Q\)라 하자. \(|\overrightarrow{O R}| = |\overrightarrow{O A}|\)를 만족시키는 점 \(R\)에 대하여 \(\overrightarrow{Q A} \cdot \overrightarrow{Q R}\)의 최댓값이 \(p + q \sqrt{93}\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\), \(q\)는 유리수이다.)

공간에서 중심이 \(O\)이고 반지름의 길이가 \(4\)인 구와 점 \(O\)를 지나는 평면 \(\alpha\)가 있다. 평면 \(\alpha\)와 구가 만나서 생기는 원 위의 서로 다른 세 점 \(A\), \(B\), \(C\)에 대하여 두 직선 \(O A\), \(B C\)가 서로 수직일 때, 구 위의 점 \(P\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\angle P A O = \dfrac{\pi}{3}\) (나) 점 \(P\)의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영은 선분 \(O A\) 위에 있다. \(\cos(\angle P A B) = \dfrac{\sqrt{10}}{8}\)일 때, 삼각형 \(P A B\)의 평면 \(P A C\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\)라 하자. \(30 \times S^2\)의 값을 구하시오. (단, \(0 < \angle B A C < \dfrac{\pi}{2}\))