2024년 9월 고1 학력평가

두 다항식 \(A = x^2 + 3xy + 2y^2\), \(B = 2x^2 - 3xy - y^2\)에 대하여 \(A+B\)를 간단히 하면?

복소수 \(z = 1 - 2i\)에 대하여 \(z + \overline{z}\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\)이고, \(\overline{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수이다.)

등식 \(x^2 + a x + b = x(x+3) + 4\)가 \(x\)에 대한 항등식일 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a \times b\)의 값은?

좌표평면 위의 두 점 \(A(1, 3)\), \(B(2, a)\) 사이의 거리가 \(\sqrt{17}\)일 때, 양수 \(a\)의 값은?

직선 \(y = k x + 1\)을 \(x\)축의 방향으로 \(1\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(-2\)만큼 평행이동한 직선이 점 \((3, 1)\)을 지날 때, 상수 \(k\)의 값은?

좌표평면 위의 두 점 \(A(1, 2)\), \(B(a, b)\)에 대하여 선분 \(A B\)를 \(1:2\)로 내분하는 점의 좌표가 \((2, 3)\)일 때, \(a + b\)의 값은?

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - x + k = 0\)이 서로 다른 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)를 갖는다. \(\alpha^3 + \beta^3 = 10\)일 때, 상수 \(k\)의 값은?

\(x\)에 대한 이차부등식 \(x^2 + a x - 12 \leq 0\)의 해가 \(-4 \leq x \leq b\)일 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a - b\)의 값은?

좌표평면에서 점 \(A(5, 5)\)와 원 \(x^2 + y^2 = 8\) 위의 점 \(P\)에 대하여 선분 \(A P\)의 길이의 최솟값은?

점 \((1, a)\)를 지나고 직선 \(2 x + 3 y + 1 = 0\)에 수직인 직선의 \(y\)절편이 \(\dfrac{5}{2}\)일 때, 상수 \(a\)의 값은?

연립부등식 \(\begin{cases} x^2 - x - 12 \leq 0 \\ x^2 - 3 x + 2 > 0 \end{cases}\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합은?

다항식 \((x^2 + x)(x^2 + x + 2) - 8\)이 \((x - 1)(x + a)(x^2 + x + b)\)로 인수분해될 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a + b\)의 값은?

점 \((1, 3)\)을 지나고 기울기가 \(k\)인 직선 \(l\)이 있다. 원점과 직선 \(l\) 사이의 거리가 \(\sqrt{5}\)일 때, 양수 \(k\)의 값은?

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 2(k - a) x + k^2 - 4 k + b = 0\)이 실수 \(k\)의 값에 관계없이 항상 중근을 가질 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a + b\)의 값은?

\(x\)에 대한 삼차방정식 \(x^3 + 5 x^2 + (a - 6) x - a = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 합은?

그림과 같이 좌표평면 위에 원 \(C : (x - a)^2 + (y - a)^2 = 10\)이 있다. 원 \(C\)의 중심과 직선 \(y = 2 x\) 사이의 거리가 \(\sqrt{5}\)이고 직선 \(y = k x\)가 원 \(C\)에 접할 때, 상수 \(k\)의 값은? (단, \(a > 0\), \(0 < k < 1\))

\(1 \leq k \leq 3\)인 실수 \(k\)에 대하여 직선 \(y = k(x + 4)\) 위에 \(x\)좌표가 \(-k\)인 점 \(P\)가 있다. 두 점 \(Q(-2, 0)\), \(R(0, 1)\)에 대하여 사각형 \(P Q O R\)의 넓이의 최댓값은? (단, \(O\)는 원점이다.)

다항식 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(x)\)를 \(x^3 - 1\)로 나눈 몫과 나머지는 서로 같다. (나) \(f(x) - x\)는 \(x^2 + x + 1\)로 나누어떨어진다. \(f(x)\)를 \(x - 2\)로 나눈 나머지가 \(72\)일 때, \(f(1)\)의 값은?

최고차항의 계수의 절댓값이 같은 두 이차함수 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\)의 그래프가 서로 다른 두 점 \(A, B\)에서 만나고, 직선 \(A B\)의 기울기는 \(-1\)이다. 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(-1) + g(-1)\)의 값은? (가) \(f(x) - g(x) = -4(x + 3)(x - 2)\) (나) \(f(-3) + g(2) = 5\)

그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 \(A(-8, a)\), \(B(7, 3)\), \(C(-6, 0)\)이 있다. 선분 \(A B\)를 \(2:1\)로 내분하는 점을 \(P\)라 할 때, 직선 \(P C\)가 삼각형 \(A O B\)의 넓이를 이등분한다. 양수 \(a\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.)

세 양수 \(a, b, c\)에 대하여 두 이차함수 \(f(x) = (x - a)^2 + b\), \(g(x) = -\dfrac{1}{2}(x - c)^2 + 11\)이 있다. \(x\)에 대한 이차방정식 \(f(x) = g(x)\)는 서로 다른 두 실근 \(\alpha, \beta (\alpha < \beta)\)를 갖는다. 함수 \(h(x)\)가 \(h(x) = \begin{cases} f(x) \text{(} \alpha \leq x \leq \beta \text{)} \\ g(x) \text{(} x < \alpha \text{ 또는 } x > \beta \text{)} \end{cases}\)일 때, 함수 \(h(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다. 함수 \(y = h(x)\)의 그래프와 직선 \(y = k\)가 서로 다른 세 점에서만 만나도록 하는 실수 \(k\)의 값은 \(2\)와 \(3\)이다. 함수 \(y = h(x)\)의 그래프가 직선 \(y = 2\)와 만나는 서로 다른 세 점의 \(x\)좌표의 합을 \(S\)라 하고, 직선 \(y = 3\)과 만나는 서로 다른 세 점의 \(x\)좌표의 합을 \(T\)라 하자. \(T - S = \dfrac{a}{2}\)일 때, \(h(\alpha + \beta)\)의 값은?

\(x\)에 대한 다항식 \(x^3 + 2 x^2 - 9 x + a\)를 \(x - 1\)로 나눈 나머지가 \(7\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

연립부등식 \(\begin{cases} 2 x \leq x + 11 \\ x + 5 < 4 x - 2 \end{cases}\)를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 개수를 구하시오.

직선 \(y = 2 x\)를 \(y\)축의 방향으로 \(m\)만큼 평행이동한 직선이 이차함수 \(y = x^2 - 4 x + 12\)의 그래프에 접할 때, 상수 \(m\)의 값을 구하시오.

연립방정식 \(\begin{cases} x^2 - 4 x y + 4 y^2 = 0 \\ x^2 - 6 x - 12 y + 36 = 0 \end{cases}\)의 해가 \(x = \alpha\), \(y = \beta\)일 때, \(\alpha \times \beta\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 좌표평면 위에 직선 \(l_1 : x - 2 y - 2 = 0\)과 평행하고 \(y\)절편이 양수인 직선 \(l_2\)가 있다. 직선 \(l_1\)이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(A, B\)라 하고 직선 \(l_2\)가 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(C, D\)라 할 때, 사각형 \(A D C B\)의 넓이가 \(25\)이다. 두 직선 \(l_1\)과 \(l_2\) 사이의 거리를 \(d\)라 할 때, \(d^2\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 좌표평면 위의 점 \(A(a, 2) (a > 2)\)를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점을 \(B\), 점 \(B\)를 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 점을 \(C\)라 하자. 두 삼각형 \(A B C\), \(A O C\)의 외접원의 반지름의 길이를 각각 \(r_1, r_2\)라 할 때, \(r_1 \times r_2 = 18 \sqrt{2}\)이다. 상수 \(a\)에 대하여 \(a^2\)의 값을 구하시오. (단, \(O\)는 원점이다.)

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 \(x\)축과 두 점 \(A(2, 0)\), \(B(a, 0) (a > 2)\)에서 만나고 \(y\)축과 점 \(C\)에서 만난다. 이차함수 \(y = f(x)\)의 그래프의 꼭짓점을 \(P\), 두 점 \(A, P\)에서 직선 \(B C\)에 내린 수선의 발을 각각 \(Q, R\)이라 하자. 사각형 \(A P R Q\)가 정사각형일 때, \(f(12)\)의 값을 구하시오.

두 양수 \(p, q\)에 대하여 이차함수 \(f(x) = (x - p)^2 + q\)와 자연수 \(m\)이 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(10)\)의 값을 구하시오. (가) \(0 \leq x \leq 3\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값은 \(m\)이고 최댓값은 \(m + 4\)이다. (나) \(0 \leq x \leq 5\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값은 \(m\)이고 최댓값은 \(4 m\)이다.

두 실수 \(a, b\)에 대하여 이차함수 \(f(x) = a(x - b)^2\)이 있다. 중심이 함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위에 있고 직선 \(y = \dfrac{4}{3} x\)와 \(x\)축에 동시에 접하는 서로 다른 원의 개수는 \(3\)이다. 이 세 원의 중심의 \(x\)좌표를 각각 \(x_1, x_2, x_3\)이라 할 때, 세 실수 \(x_1, x_2, x_3\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(x_1 \times x_2 \times x_3 > 0\) (나) 세 점 \((x_1, f(x_1))\), \((x_2, f(x_2))\), \((x_3, f(x_3))\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 \(y\)좌표는 \(-\dfrac{7}{3}\)이다. \(f(4) \times f(6)\)의 값을 구하시오.