2022년 6월 고2 학력평가

\(\sqrt[4]{3} \times \sqrt[4]{27}\)의 값은?

\(\log_3 36 - \log_3 4\)의 값은?

반지름의 길이가 6이고 호의 길이가 \(4 \pi\)인 부채꼴의 중심각의 크기는?

\(\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{3}{2} \pi\)일 때, 방정식 \(\tan x = 1\)의 해는?

다음은 상용로그표의 일부이다. (수 5.0~5.2 행과 6, 7, 8 열의 값이 주어짐: 5.0행 .7042 .7050 .7059, 5.1행 .7126 .7135 .7143, 5.2행 .7210 .7218 .7226) \(\log 517\)의 값을 위의 표를 이용하여 구한 것은?

\(-3 \leq x \leq -1\)에서 함수 \(f(x) = 2^{-x} + 5\)의 최솟값은?

함수 \(y = \log_3 x\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 2만큼, \(y\)축의 방향으로 5만큼 평행이동한 그래프가 점 \((5, a)\)를 지날 때, 상수 \(a\)의 값은?

\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\cos \theta = -\dfrac{2}{3}\)일 때, \(\sin \theta\)의 값은?

두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(y = 3^x + a\)의 그래프가 점 \((2, b)\)를 지나고 점근선이 직선 \(y = 5\)일 때, \(a + b\)의 값은?

세 상수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 함수 \(y = a \cos b x + c\)의 그래프가 그림과 같을 때, \(a \times b \times c\)의 값은? (단, \(a > 0\), \(b > 0\))

81의 세제곱근 중 실수인 것을 \(a\)라 할 때, \(\log_9 a\)의 값은?

부등식 \(\log_3(x + 5) < 8 \log_9 2\)를 만족시키는 정수 \(x\)의 최댓값과 최솟값의 합은?

방정식 \(4^x - 2^{x+3} + 15 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha\), \(\beta\) \((\alpha < \beta)\)라 할 때, \(2^\alpha \times \beta\)의 값은?

함수 \(y = 3^x\)의 그래프 위의 \(x\)좌표가 양수인 점 \(A\)와 함수 \(y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x - 6\)의 그래프 위의 점 \(B\)에 대하여 선분 \(A B\)의 중점의 좌표가 \((0, 2)\)일 때, 점 \(A\)의 \(y\)좌표는?

좌표평면 위의 원점 \(O\)에서 \(x\)축의 양의 방향으로 시초선을 잡을 때, 원점 \(O\)와 점 \(P(5, a)\)를 지나는 동경 \(O P\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\), 선분 \(O P\)의 길이를 \(r\)라 하자. \(\sin \theta + 2 \cos \theta = 1\)일 때, \(a + r\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

그림과 같이 반지름의 길이가 2이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\)인 부채꼴 \(O A B\)가 있다. 호 \(A B\) 위에 점 \(C\)를 \(\overline{A C} = 1\)이 되도록 잡는다. 선분 \(O C\) 위의 점 \(O\)가 아닌 점 \(D\)에 대하여 삼각형 \(B O D\)의 넓이가 \(\dfrac{7}{6}\)일 때, 선분 \(O D\)의 길이는?

\(0 < t < 1\)인 실수 \(t\)에 대하여 직선 \(y = t\)가 함수 \(y = |2^x - 1|\)의 그래프와 제1사분면에서 만나는 점을 \(A\), 제2사분면에서 만나는 점을 \(B\)라 하자. 양수 \(a\)에 대하여 점 \(A\)를 지나고 \(x\)축에 수직인 직선이 함수 \(y = -a |2^x - 1|\)의 그래프와 만나는 점을 \(C\)라 하자. \(\overline{A B} = \overline{A C} = 1\)일 때, \(a + t\)의 값은?

자연수 \(n\)에 대하여 \(-\dfrac{\pi}{2 n} < x < \dfrac{\pi}{2 n}\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 3 \sin 2 n x\)가 있다. 원점 \(O\)를 지나고 기울기가 양수인 직선과 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 서로 다른 세 점 \(O\), \(A\), \(B\)에서 만날 때, 점 \(C\left(\dfrac{\pi}{2 n}, 0\right)\)에 대하여 넓이가 \(\dfrac{\pi}{12}\)인 삼각형 \(A B C\)가 존재하도록 하는 \(n\)의 최댓값은?

그림과 같이 중심이 \(O\), 반지름의 길이가 1이고 중심각의 크기가 \(\theta\)인 부채꼴 \(O A B\)가 있다. 호 \(A B\)의 삼등분점 중 점 \(A\)에 가까운 점을 \(C\)라 하고, 직선 \(O A\)와 직선 \(B C\)가 만나는 점을 \(D\)라 하자. 다음은 두 선분 \(A D\), \(C D\)와 호 \(A C\)로 둘러싸인 부분의 넓이 \(S(\theta)\)를 구하는 과정이다. (단, \(0 < \theta < \dfrac{3}{4} \pi\)) 점 \(C\)가 호 \(A B\)의 삼등분점 중 점 \(A\)에 가까운 점이므로 \(\angle B O C = \) (가) 이다. 또한, 삼각형 \(B O C\)에서 \(\angle O B C = \angle O C B = \dfrac{1}{2}(\pi - \text{(가)})\)이다. 한편, 삼각형 \(B O D\)에서 사인법칙에 의하여 \(\overline{O D} = \dfrac{\cos \dfrac{\theta}{3}}{\text{(나)}}\)이다. \(S(\theta)\)는 삼각형 \(C O D\)의 넓이에서 부채꼴 \(O A C\)의 넓이를 뺀 값이므로 \(S(\theta) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\cos \dfrac{\theta}{3}}{\text{(나)}} \times \sin \dfrac{\theta}{3} - \) (다) 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 \(f(\theta)\), \(g(\theta)\), \(h(\theta)\)라 할 때, \(\dfrac{f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \times g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{h\left(\dfrac{\pi}{8}\right)}\)의 값은?

\(1 < a < 4\)인 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(y = \log_a x\)의 그래프와 함수 \(y = \dfrac{1}{x}\)의 그래프가 만나는 점을 \(A(p, q)\)라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. \(p q = 1\). ㄴ. \(a = 2\)일 때, \(p > \sqrt{2}\)이다. ㄷ. 원점 \(O\)와 점 \(B(p + q, 0)\)에 대하여 삼각형 \(A O B\)의 넓이를 \(S(p)\)라 할 때, \(S(p) < \dfrac{a + 1}{2 a}\)이다.

자연수 \(k\) \((1 < k < 12)\)에 대하여 \(0 \leq x \leq 12\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2} \sin \pi x & \quad \text{if } 0 \leq x < k \\ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{x - k} - 1 & \quad \text{if } k \leq x \leq 12 \end{cases}\)라 하자. 실수 \(a\) \(\left(0 < a \leq \dfrac{1}{2}\right)\)에 대하여 방정식 \(f(x) + a = 0\)의 모든 실근의 합이 46일 때, \(\dfrac{k}{a}\)의 값은?

\(4^{\dfrac{3}{2}} \times 2^2\)의 값을 구하시오.

방정식 \(\log_5(x + 1) = 2\)의 해를 구하시오.

부등식 \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x - 1} \leq 5^{7 - 2 x}\)을 만족시키는 모든 자연수 \(x\)의 개수를 구하시오.

함수 \(y = 3 \sin(x + \pi) + k\)의 그래프가 점 \(\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5}{2}\right)\)를 지날 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.

1보다 큰 두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(\log_{16} a = \dfrac{1}{\log_b 4}\), \(\log_6 a b = 3\)이 성립할 때, \(a + b\)의 값을 구하시오.

\(a > 2\)인 실수 \(a\)에 대하여 그림과 같이 직선 \(y = -x + 5\)가 세 곡선 \(y = a^x\), \(y = \log_a x\), \(y = \log_a(x - 1) - 1\)과 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\), \(C\)라 하자. \(\overline{A B} : \overline{B C} = 2 : 1\)일 때, \(4 a^3\)의 값을 구하시오.

\(\angle A B C = \dfrac{\pi}{3}\), \(\overline{B C} = 6\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. 선분 \(B C\) 위에 점 \(B\)와 점 \(C\)가 아닌 점 \(D\)를 잡고, 삼각형 \(A B D\)의 외접원의 반지름의 길이를 \(r_1\), 삼각형 \(A C D\)의 외접원의 반지름의 길이를 \(r_2\)라 하자. \(\dfrac{r_2}{r_1} = \dfrac{\sqrt{13}}{3}\)일 때, 선분 \(A B\)의 길이는 \(\dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

자연수 \(m\) \((m \geq 2)\)에 대하여 집합 \(A_m\)을 \(A_m = \{\log_m x | x 는 100 이하의 자연수\}\)라 하고, 집합 \(B\)를 \(B = \{2^k | k 는 10 이하의 자연수\}\)라 하자. 집합 \(B\)의 원소 \(b\)에 대하여 \(n(A_4 \cap A_b) = 4\)가 되도록 하는 모든 \(b\)의 값의 합을 구하시오.

두 실수 \(a\), \(b\)와 두 함수 \(f(x) = \sin x\), \(g(x) = a \cos x + b\)에 대하여 \(0 \leq x \leq 2 \pi\)에서 정의된 함수 \(h(x) = \dfrac{|f(x) - g(x)| + f(x) + g(x)}{2}\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(h(x)\)의 최솟값은 \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이다. (나) \(0 < c < \dfrac{\pi}{2}\)인 어떤 실수 \(c\)에 대하여 \(h(c) = h(c + \pi) = \dfrac{1}{2}\)이다. 상수 \(k\) \(\left(k > \dfrac{1}{2}\right)\)에 대하여 방정식 \(h(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 가질 때, \(a + 20\left(\dfrac{k}{b}\right)^2\)의 값을 구하시오.