2026학년도 6월 모의평가

\(4^{\dfrac{1}{4}} \times 2^{\dfrac{1}{2}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 - x + 1\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은?

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^7 a_k = 8\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^7 (2a_k + 1)\)의 값은?

함수 \( f(x) = \begin{cases} -x^2 + a & \quad \text{if } x < 3 \\ 5x - a & \quad \text{if } x \geq 3 \end{cases} \) 이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

\(\displaystyle\int_{0}^{2} (6x^2 - 2x + 1) d x\)의 값은?

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = a \cos b x + 1\)의 최댓값이 8이고 주기가 \(\pi\)일 때, \(a + b\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \( g(x) = 5x^2 + x f(x) \) 라 하자. \(f(3) = 2\), \(f'(3) = 1\)일 때, \(g'(3)\)의 값은?

\(\sin(\pi - \theta) > 0\)이고 \(2 \cos \theta = \sin \theta\)일 때, \(\cos \theta\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 + a x\)에 대하여 \( \displaystyle\int_{-3}^3 (x+1) f(x) d x = 36 + \displaystyle\int_{-3}^3 f(x) d x \) 일 때, 상수 \(a\)의 값은?

실수 \(a (a > 1)\)에 대하여 곡선 \(y = \log_a (x+3)\)이 곡선 \(y = \log_a (-x+3)\)과 만나는 점을 A, 곡선 \(y = \log_a (x+3)\)이 \(x\)축과 만나는 점을 B, 곡선 \(y = \log_a (-x+3)\)이 \(x\)축과 만나는 점을 C라 하자. 삼각형 ABC가 정삼각형일 때, \(a\)의 값은?

시각 \(t = 0\)일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P가 있다. 시각이 \(t (t \geq 0)\)일 때 점 P의 위치가 \( x = t^3 - t^2 - t + 1 \) 이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. 시각 \(t = 0\)일 때 점 P의 위치는 \(1\)이다. ㄴ. 시각 \(t = 1\)일 때 점 P의 속도는 \(0\)이다. ㄷ. 출발한 후 점 P의 운동 방향이 바뀌는 시각에 점 P의 가속도는 \(4\)이다.

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_5\)의 최댓값은? (가) \(a_1 = 1\) (나) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \( (a_{n+1} - a_n + 3)(a_{n+1} - 2 a_n) = 0 \) 이다.

그림과 같이 함수 \(f(x) = 3x^2 - 7x + 2\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = \dfrac{1}{3} x - \dfrac{2}{3}\) 및 \(y\)축으로 둘러싸인 영역을 A, 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = \dfrac{1}{3} x - \dfrac{2}{3}\)로 둘러싸인 영역을 B, 곡선 \(y = f(x)\)와 두 직선 \(y = \dfrac{1}{3} x - \dfrac{2}{3}\), \(x = k (k > 2)\)로 둘러싸인 영역을 C라 하자. (A의 넓이) + (C의 넓이) = (B의 넓이) 일 때, 상수 \(k\)의 값은?

\(\overline{A B} = 2 \sqrt{7}\)인 삼각형 ABC에서 선분 BC의 중점을 P, 선분 BC를 5:1로 내분하는 점을 Q라 하자. \(\overline{A Q} = 3 \sqrt{2}\), \(\sin(\angle Q A P) : \sin(\angle A P Q) = \sqrt{2} : 3\) 일 때, 삼각형 ABC의 외접원의 넓이는?

상수 \(k\)와 \(f'(0) = 6\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \( g(x) = \begin{cases} f(x) + k & \quad \text{if } |x| > 1 \\ -f(x) & \quad \text{if } |x| \leq 1 \end{cases} \) 이 다음 조건을 만족시킬 때, \(k + f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)의 값은? (가) 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow a+} \dfrac{g(x) - g(a)}{x - a}\)의 값이 존재하고 그 값은 \(0\) 이하이다. (나) \(x\)에 대한 방정식 \(g(x) = t\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 실수 \(t\)의 최댓값은 \(13\)이다.

방정식 \(\log_5 (x+1) + \log_5 (x-1) = \log_{25} 9\)를 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 3x^2 + 4x\)이고 \(f(0) = 3\)일 때, \(f(1)\)의 값을 구하시오.

\(\displaystyle\sum_{k=1}^6 (k^2 + 2k)\)의 값을 구하시오.

상수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = 3x^3 - 9x^2 + a\)의 극댓값이 \(20\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극솟값을 구하시오.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(0 \leq x < 4\)일 때 \(f(x) = -x^2 + 4x\)이고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x+4) = f(x)\)이다. 방정식 \(f(f(x)) = f(x)\)의 \(0\) 이상인 모든 실근을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, \(n\)번째 수를 \(a_n\)이라 하자. 다음은 \(a_{20} + a_{21} + a_{22}\)의 값을 구하는 과정이다. 방정식 \(f(x) = x\)의 모든 실근이 \(0\), \(3\)이므로 방정식 \(f(f(x)) = f(x)\)의 실근을 구하는 것은 방정식 \(f(x) \times (f(x) - 3) = 0\)의 실근을 구하는 것과 같다. \(0 \leq x < 4\)일 때, 방정식 \(f(x) \times (f(x) - 3) = 0\)의 모든 실근은 \(0\), (가), \(3\)이므로 \(a_1 = 0\), \(a_2 = \)(가), \(a_3 = 3\)이다. 또한 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x+4) = f(x)\)이므로 세 수열 \({a_{3n-2}}\), \({a_{3n-1}}\), \({a_{3n}}\)은 첫째항이 각각 \(0\), (가), \(3\)이고 공차가 모두 (나)인 등차수열이다. 따라서 \(a_{20} + a_{21} + a_{22} = \)(다)이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(p\), \(q\), \(r\)이라 할 때, \(p + q + r\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = (x-1)(x-2)\)와 최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow a} \dfrac{g(x) \times |f(x)|}{f(x)}\)의 값과 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow a} \dfrac{|g(x) - f(x)|}{g(x)}\)의 값이 모두 존재한다. \(g(-1)\)의 값을 구하시오.

\(k > 1\)인 실수 \(k\)에 대하여 두 곡선 \( y = 2^x + \dfrac{k}{2}, \quad y = k \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^x + k - 2 \) 가 만나는 점을 A라 하고, 점 A를 지나고 기울기가 \(-1\)인 직선이 곡선 \(y = 2^{x-2} - 3\)과 만나는 점을 B라 하자. 삼각형 AOB의 넓이가 \(16\)일 때, \(k + \log_2 k = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)