2022년 11월 고2 학력평가

\(8^{-\dfrac{1}{2}} \div \sqrt{2}\)의 값은?

곡선 \(y = x^3 + x^2 - 5\) 위의 점 \((1, -3)\)에서의 접선의 기울기는?

네 수 \(-2, a, b, 14\)가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, \(a+b\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow ...} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow ...} f(x)\)의 값은?

\(0 < x < 5\pi\)에서 함수 \(y = \tan x\)의 그래프와 직선 \(y = 2\)가 만나는 점의 개수는?

함수 \(f(x) = \begin{cases} a x^2 + b x + 1\ \\ & (x < 1) \\ -3 b x - 1\ \\ & (x \geq 1) \end{cases}\) 이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a, b\)는 상수이다.)

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 3 x^2 - 6 x\)이고 \(f(1) = 1\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극솟값은?

곡선 \(y = \dfrac{1}{16} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x - m}\)이 곡선 \(y = 2^x + 1\)과 제1사분면에서 만나도록 하는 자연수 \(m\)의 최솟값은?

\(\theta\)에 대하여 \(2 \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta \times \tan(\pi + \theta)\)일 때, \(\sin^2 \theta\)의 값은?

함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = x + \displaystyle\int_{0}^{2} f(t) d t\) 를 만족시킬 때, \(f(3)\)의 값은?

[OCR 손상] \(a_1 = ...\)이고 공비가 양수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 ... 일 때, ...의 값은?

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = (x^2 - 2 x) f(x)\) 라 하자. \(g'(...) + g'(...)\) 일 때, \(...\)의 값은? [OCR 손상]

두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n + b_n = n\)을 만족시킨다. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (3 a_k + 1) = 40\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} b_k\)의 값은?

자연수 \(n (n \geq 2)\)에 대하여 \(m - 2 n\)의 \(n\)제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(f(2) + f(3) + f(4) = 3\)을 만족시키는 모든 자연수 \(m\)의 값의 합은?

수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, 두 수열 \({a_n}\), \({S_n}\)과 상수 \(k\)가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n + S_n = k\)이다. \(S_6 = 189\)일 때, \(k\)의 값은?

\(0 < t < 3\)인 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = |\dfrac{2}{x} - 3|\)의 그래프와 직선 \(y = t\)가 만나는 두 점 사이의 거리를 \(f(t)\)라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow 0+} \dfrac{f(t)}{t}\)의 값은?

1이 아닌 세 양수 \(a, b, c\)가 \(4 \log_a b = 54 \log_b c = \log_c a\) 를 만족시킨다. \(b \times c\)의 값이 300 이하의 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 \(a\)의 값의 합은?

그림과 같이 \(2 \overline{A B} = \overline{A C}\)인 삼각형 \(A B C\)에 대하여 선분 \(A B\)의 중점을 \(M\), 선분 \(A C\)를 \(3:5\)로 내분하는 점을 \(N\)이라 하자. \(\overline{M N} = \overline{A B}\)이고, 삼각형 \(A M N\)의 외접원의 넓이가 \(16 \pi\)일 때, 삼각형 \(A B C\)의 넓이는?

실수 \(k\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = x^3 - 6 x^2 + 9 x + k\)이다. 자연수 \(n\)에 대하여 직선 \(y = 3 n\)과 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 만나는 점의 개수를 \(a_n\)이라 하자. \(\displaystyle\sum_{n=1}^4 a_n = 7\)을 만족시키는 모든 \(k\)의 값의 합은?

함수 \(f(x) = (x + 1)(x - 6)^2\)과 양의 실수 \(t\)에 대하여 \(g(t)\)를 다음과 같이 정의한다. 두 점 \((0, 0), (t, f(t))\)를 지나는 직선의 기울기와 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((k, f(k))\)에서의 접선의 기울기가 같아지는 양의 실수 \(k\)의 개수가 1이면 \(k\)의 값을 \(g(t)\), 2이면 \(k\)의 값 중 작은 값을 \(g(t)\)라 한다. <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f'(0) = 24\) ㄴ. \(g(6) = \dfrac{4}{3}\) ㄷ. 함수 \(g(t)\)의 치역의 원소가 아닌 모든 자연수의 합은 27이다.

모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_1\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M, m\)이라 할 때, \(M - m\)의 값은? (가) \(a_5 = 63\) (나) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+2} = \begin{cases} a_{n+1} + a_n\ \\ & (a_{n+1} \times a_n 이 홀수인 경우) \\ a_{n+1} + a_n - 2\ \\ & (a_{n+1} \times a_n 이 짝수인 경우) \end{cases}\)

\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 3} \dfrac{x - 3}{\sqrt{x + 1} - 2}\)의 값을 구하시오.

중심각의 크기가 \(\dfrac{4}{5} \pi\)이고 호의 길이가 \(12 \pi\)인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 + 2 x^2 + 2\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{1}{x - 1} \displaystyle\int_{1}^{x} f'(t) d t\)의 값을 구하시오.

방정식 \(\log_2 x - 3 = \log_x 16\)을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 곱을 구하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\)의 시각 \(t (t > 0)\)에서의 위치가 각각 \(x_1(t) = t^3 - 3 t^2 - 24 t\), \(x_2(t) = t^2 - a t\) 이다. 두 점 \(P, Q\)의 운동 방향이 시각 \(t = k\)에서 동시에 바뀔 때, \(a + k\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)와 \(k\)는 상수이다.)

공차가 \(d\)인 등차수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 자연수 \(d\)의 값의 합을 구하시오. (가) \(a_8 = 2 a_5 + 10\) (나) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n \times a_{n+1} \geq 0\)이다.

상수항과 계수가 모두 음이 아닌 정수인 두 다항함수 \(f(x), g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(2) + g(2)\)의 값을 구하시오. (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{{f(x)}^2 g(x)}{x^5} = 4\) (나) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x) {g(x)}^2}{x^5} = 2\)

두 상수 \(a, b (0 \leq b \leq \pi)\)에 대하여 닫힌구간 \([\dfrac{\pi}{2}, a]\)에서 함수 \(f(x) = 2 \cos(3 x + b)\)의 최댓값은 1이고 최솟값은 \(-\sqrt{3}\)이다. \(a \times b = \dfrac{q}{p} \pi^2\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

최고차항의 계수가 양수이고 \(f'(2) < 0\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)가 \(g(x) = \begin{cases} \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t - 4\ \\ & (x < 2) \\ -\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t + 4\ \\ & (x \geq 2) \end{cases}\) 이고 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2-} \dfrac{g(x) - 4}{x - 2} = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2+} \dfrac{g(x) + 4}{x - 2} = g'(0)\) (나) 방정식 \(g(x) = 4\)는 서로 다른 두 실근을 갖는다. \(f(5)\)의 값을 구하시오.