2024년 10월 고1 학력평가

두 다항식 \(A = 2x^2 + x + 3\), \(B = x^2 + x + 2\)에 대하여 \(A - B\)는?

좌표평면 위의 두 점 \((1, 3)\), \((2, 5)\) 사이의 거리는?

전체집합 \(U = {1, 2, 3, 4, 5}\)의 부분집합 \(A = {1, 3, 5}\)에 대하여 집합 \(A^C\)의 모든 원소의 곱은?

직선 \(y = 2x + 4\)를 \(x\)축의 방향으로 \(1\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(3\)만큼 평행이동한 직선의 \(y\)절편은?

등식 \((x+2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + (a-3) x + 4 b\)가 \(x\)에 대한 항등식일 때, \(a \times b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

연립방정식 \(\begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 + 8 x + y^2 = 2 \end{cases}\)의 해를 \(x = \alpha\), \(y = \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta\)의 값은?

다항식 \(P(x)\)는 \(x + 2\)로 나누어떨어지고, \(P(x)\)를 \(x - 4\)로 나누었을 때의 나머지가 \(12\)이다. \(P(x)\)를 \(x^2 - 2x - 8\)로 나누었을 때의 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(R(1)\)의 값은?

실수가 아닌 복소수 \(z\)에 대하여 \(z - 3 \overline{z} = z^2\)일 때, \(z \overline{z}\)의 값은? (단, \(\overline{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수이다.)

좌표평면 위의 두 점 \(A(3, 0)\), \(B(0, a)\)에 대하여 선분 \(A B\)를 \(2 : 3\)으로 외분하는 점이 원 \((x-3)^2 + (y+8)^2 = 36\) 위에 있을 때, \(a\)의 값은?

중심이 원점이고 직선 \(y = -2x + k\)와 만나는 원 중에서 넓이가 최소인 원을 \(C\)라 하자. 원 \(C\)의 넓이가 \(45 \pi\)일 때, 양의 상수 \(k\)의 값은?

좌표평면 위의 세 점 \(A\), \(B\), \(C\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(A B C\)가 있다. 선분 \(A B\)의 중점의 좌표, 선분 \(A C\)의 중점의 좌표, 그리고 삼각형 \(A B C\)의 무게중심의 좌표가 주어질 때 (OCR 누락) 값을 구하는 문제.

세 집합에 대한 조건 (가), (나)가 주어졌을 때 합집합의 원소 개수를 구하는 문제. (OCR 누락)

두 집합 \(A = {1, 3, 4}\), \(B = \{(x + k)/2 | x \in A\}\)에 대하여 \((A \cap B) \subset X \subset A\)를 만족시키는 집합 \(X\)의 개수가 \(2\)일 때, 상수 \(k\)의 값은?

\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} (x + 9)(x - a^2 + 6 a) \leq 0 \\ (x - 2 a)(x - 2 a + 16) \leq 0 \end{cases}\)을 만족시키는 실수 \(x\)가 오직 하나 존재하도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 합은?

원 \(C : x^2 + y^2 = 4\) 위에 서로 다른 두 점 \(A(a, b)\), \(B(b, a)\)가 있다. 원 \(C\) 위의 점 중 \(\overline{A P} = \overline{B P}\), \(\overline{A Q} = \overline{B Q}\)를 만족시키는 서로 다른 두 점 \(P\), \(Q\)에 대하여 사각형 \(A P B Q\)의 넓이가 \(2 \sqrt{2}\)일 때, \(a \times b\)의 값은?

두 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여 실수 \(x\)에 대한 두 조건 \(p : x^2 - 4 x + a + 2 \leq 0\), \(q : 0 < |x - b| \leq 4\)의 진리집합을 각각 \(P\), \(Q\)라 하자. \(P \neq \emptyset\), \(P \subset Q\)가 되도록 하는 \(a\), \(b\)의 모든 순서쌍 \((a, b)\)의 개수는?

최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(p) = f(q)\)인 서로 다른 두 정수 \(p\), \(q\)가 존재한다. (나) \(n \leq x \leq n + 3\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 곱이 \(f(n) \times f(n + 3)\)의 값과 같지 않도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 값은 \(4\), \(5\), \(6\)이다. 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 \(1\)일 때, \(f(8)\)의 값은?

\(2\)가 아닌 양수 \(a\)에 대하여 직선 \(x = a\)가 두 함수 \(f(x) = x^2 - 3 x + 3\), \(g(x) = 2 x^2 - 4 x\)의 그래프와 만나는 점을 각각 \(P\), \(Q\)라 하고, 직선 \(x = a\)가 \(x\)축과 만나는 점을 \(R\)이라 하자. \(\overline{P R} + \overline{Q R} \leq 3\)을 만족시키는 \(a\)의 최댓값과 최솟값의 합은?

곡선 \(y = -x^2 + 6 x\) 위의 서로 다른 두 점 \(A\), \(B\)에 대하여 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 원을 \(C\)라 하자. 원 \(C\)의 넓이가 \(8 \pi\)이고, 점 \(A\)를 지나고 기울기가 \(1\)인 직선이 원 \(C\)에 접할 때, 직선 \(A B\)의 \(y\)절편은?

양수 \(a\)에 대하여 \(\overline{A B} = 3 a^2 + 10 a + 7\), \(\overline{A D} = \overline{A E} = a\)인 직육면체 \(A B C D - E F G H\)가 있다. 선분 \(A B\)를 \(1 : a\)로 내분하는 점을 \(P\), 선분 \(D C\)를 \(1 : a\)로 내분하는 점을 \(Q\)라 하자. 직육면체 \(A B C D - E F G H\)에서 단면 \(P F G Q\)가 생기도록 삼각기둥 \(P F B - Q G C\)를 잘라 내었다. 사각기둥 \(A E F P - D H G Q\)의 부피를 \(V_1\), 삼각기둥 \(P F B - Q G C\)의 부피를 \(V_2\)라 하자. \(V_1 - V_2 = 4\)일 때, 선분 \(A P\)의 길이는?

좌표평면 위의 두 원 \(C_1 : (x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 1\), \(C_2 : (x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 9\)에 대하여 원 \(C_1\) 위를 움직이는 점 \(P\), 원 \(C_2\) 위를 움직이는 점 \(Q\), \(y\)축 위를 움직이는 두 점 \(R\), \(S\)가 있다. 두 점 \(R\), \(S\)를 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 \(R'\), \(S'\)이라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(O\)는 원점이다.) ㄱ. 두 점 \(A(4, 2)\), \(A'(4, -2)\)에 대하여 \(\overline{A R} = \overline{A' R'}\)이다. ㄴ. 점 \(A(4, 2)\)에 대하여 \(\overline{A R} + \overline{P R'}\)의 최솟값은 \(9\)이다. ㄷ. 점 \(B(a, 6 a + 1)\) (\(a\)는 양의 상수)에 대하여 \((\overline{B R} + \overline{P R'} \text{의 최솟값}) = (\overline{B S} + \overline{Q S'} \text{의 최솟값}) + 2\)일 때, \(\overline{O B}\)의 값은 \(\dfrac{\sqrt{65}}{2}\)이다.

좌표평면 위의 두 점 \((0, a)\), \((2, 2 a + 1)\)을 지나는 직선과 직선 \(y = 2 x + 7\)이 서로 평행할 때, \(a\)의 값을 구하시오.

\(x\)에 대한 방정식 \(x^3 + 3 x^2 + (16 - a) x + a - 20 = 0\)이 허근을 갖도록 하는 자연수 \(a\)의 개수를 구하시오.

실수 \(x\)에 대한 두 조건 \(p : x + 5 \leq k\), \(q : x^2 - 8 x + 12 = 0\)에 대하여 \(p\)가 \(q\)이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.

다항식 \((x^2 + 2 x)(2 x^2 + 4 x + 5) + 3\)이 \((x + a)^2 (2 x^2 + b x + c)\)로 인수분해될 때, \(a + b + c\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\), \(c\)는 상수이다.)

좌표평면에서 두 직선 \(y = 2 x + 6\), \(y = -2 x + 6\)에 모두 접하고 점 \((2, 0)\)을 지나는 서로 다른 두 원의 중심을 각각 \(O_1\), \(O_2\)라 할 때, 선분 \(O_1 O_2\)의 길이를 구하시오.

두 자연수 \(a\), \(b\) \((b \leq 20)\)에 대하여 전체집합 \(U = \{x | x \text{는 20 이하의 자연수}\}\)의 두 부분집합 \(A = \{x | x \text{는 } a \text{의 배수}, x \in U\}\), \(B = \{x | x \text{는 } b \text{의 약수}, x \in U\}\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \({3, 6} \subset A \cap B\) (나) \(n(B - A) = 2\) 집합 \(A - B\)의 모든 원소의 합의 최솟값을 구하시오.

두 이차다항식 \(P(x)\), \(Q(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \({P(x)}^2 - {Q(x)}^2 = x^2 (x - 1)(x - 2)\)이다. (나) \(|P(2) - Q(2)| < |P(1) - Q(1)|\) \(P(3) + Q(3) = 24\)일 때, \(P(4)\)의 값을 구하시오.

중심이 \(O_1\)인 원 \(C_1\) 위에 두 점 \(A\), \(B\)를 \(\angle B O_1 A = 90^{\circ}\)가 되도록 잡는다. 선분 \(O_1 A\) 위의 점 \(C\)에 대하여 선분 \(A C\)를 지름으로 하는 원을 \(C_2\), 선분 \(O_1 B\) 위의 점 \(D\)에 대하여 선분 \(B D\)를 지름으로 하는 원을 \(C_3\)이라 하고, 두 원 \(C_2\), \(C_3\)의 중심을 각각 \(O_2\), \(O_3\)이라 하자. 사각형 \(A O_2 O_3 B\)의 넓이가 \(34\)이고 \(\overline{O_1 C} + \overline{O_1 D} = 6 \sqrt{2}\)일 때, 세 원 \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\)의 넓이의 합이 \(p \pi\)이다. \(p\)의 값을 구하시오. (단, 점 \(C\)는 점 \(A\)도 아니고 점 \(O_1\)도 아니며, 점 \(D\)는 점 \(B\)도 아니고 점 \(O_1\)도 아니다.)

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(f(x)\)와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 \(g(x)\)에 대하여 두 집합 \(X = \{x | |f(x)| = 1, x \text{는 실수}\}\), \(Y = \{x | |g(x)| = 1, x \text{는 실수}\}\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(n(X \cap Y) = 3\), \(n(X \cup Y) = 4\) (나) 집합 \(X \cap Y\)의 모든 원소의 합은 \(3\)이고 집합 \(X \cup Y\)의 모든 원소의 합은 \(8\)이다. \(f(2) < f(1)\)일 때, \(f(7) - g(9)\)의 값을 구하시오.