2026학년도 9월 모의평가 (미적분)

\(5^{\sqrt{2}+1} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{\sqrt{2}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 - 4x + 2\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(4+h) - f(4)}{h}\)의 값은?

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^6 (2 a_k - 1) = 30\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^6 a_k\)의 값은?

닫힌구간 \([-2, 2]\)에서 정의된 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1+} f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x^2 + 2)(x^2 + x - 3)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?

\(\cos(\theta - \pi) = \dfrac{3}{5}\)이고 \(\tan \theta < 0\)일 때, \(\sin \theta\)의 값은?

곡선 \(y = x^3 - 5 x^2 + 6 x\) 위의 점 \((3, 0)\)에서의 접선이 점 \((5, a)\)를 지날 때, \(a\)의 값은?

두 양수 \(a, b\)가 \(\log_{\sqrt{2}} a + \log_2 b = 2\), \(\log_2 a + \log_2 b^2 = 7\)을 만족시킬 때, \(a \times b\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)의 한 부정적분을 \(F(x)\)라 하고, 함수 \(2 f(x) + 1\)의 한 부정적분을 \(G(x)\)라 하자. \(G(3) = 2 F(3)\)일 때, \(G(5) - 2 F(5)\)의 값은?

모든 항이 양수인 등비수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(a_2 = 1\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^6 (-1)^k S_k = 21\)일 때, \(S_2 + S_7\)의 값은?

시각 \(t = 0\)일 때 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P가 있다. 시각이 \(t (t \geq 0)\)일 때 점 P의 속도가 \(v(t) = 3 t^2 - 10 t + 7\)이다. <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보 기> ㄱ. 시각 \(t = ?\)일 때 점 P의 운동 방향이 바뀐다. ㄴ. 시각 \(t = ?\)일 때 점 P의 위치는 ?이다. ㄷ. 시각 \(t = ?\)에서 \(t = ?\)까지 점 P가 움직인 거리는 ?이다.

상수와 양수에 대하여 곡선과 두 직선이 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 점 B에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 C라 하자. \(\overline{AB} = \overline{AC}\)이고 삼각형 ACB의 넓이가 ?일 때, ?의 값은? (OCR 누락 — 그림 참조)

함수 \(f(x) = x^2 + 6 x + 12\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 \(k\)의 개수는? 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow a} \dfrac{x^2}{(f(x))^2 - k(x + 2) f(x)}\)의 값이 존재한다.

양수 \(k\)에 대하여 집합 \(\{x | 0 \leq x < \dfrac{3 k \pi}{2}, x \neq \dfrac{k \pi}{2}\}\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \tan \dfrac{x}{k}\)가 있다. 점 \(P(0, p) (p > 0)\)을 지나며 \(x\)축에 평행한 직선이 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 만나는 두 점을 \(A, B\) \((\overline{P A} < \overline{P B})\)라 하고, 직선 \(y = -p\)가 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 만나는 점을 \(C\)라 하자. \(\overline{A B} = 3 \overline{P A}\)이고 삼각형 OCB의 넓이가 \(\dfrac{5 \pi}{3}\)일 때, \(k + p\)의 값은? (단, O는 원점이다.)

최고차항의 계수가 양수이고 ?인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (|f(t)| - |t|) d t\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 \(g'(x) = ?\)의 서로 다른 실근의 개수는 ?이다. (나) 함수 \(g\)는 \(x = ?\), \(x = ?\)에서 극값을 갖는다. ? × ?일 때, ?의 값은? (OCR 일부 누락)

수열 \({a_n}\)은 \(a_1 = ?\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = n a_n + 2\)를 만족시킨다. \(a_?\)의 값을 구하시오. (OCR 일부 누락)

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(?) = ?\)이고 \(f(?) = ?\)일 때, \(f(?)\)의 값을 구하시오. (OCR 일부 누락)

등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_3 = 6\), \(2 a_5 - a_4 = 15\)일 때, \(a_{11}\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = 2 x^3 - 3 a x^2 + 5 a\)의 극솟값이 \(a\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

그림과 같이 사각형 ABCD가 한 원에 내접하고 \(\overline{A B} : \overline{C D} = 1 : 3\), \(\overline{B C} < \overline{A D}\)일 때, 직선 AB와 직선 CD가 만나는 점을 P라 하자. 다음은 \(\overline{P B} : \overline{P C} : \overline{B C} = 7 : 5 : \sqrt{14}\)이고 \(\overline{A D} = 4 \sqrt{13}\)일 때, 삼각형 BPC의 외접원의 반지름의 길이를 구하는 과정이다. \(\angle B P C = \theta\)라 할 때, \(\overline{P B} : \overline{P C} : \overline{B C} = 7 : 5 : \sqrt{14}\)이므로 삼각형 BPC에서 코사인법칙에 의하여 \(\cos \theta = \dfrac{6}{7}\)이다. \(\overline{P B} : \overline{P C} = 7 : 5\)에서 \(\overline{P B} = 7 k\), \(\overline{P C} = 5 k\), \(\overline{A B} : \overline{C D} = 1 : 3\)에서 \(\overline{A B} = l\), \(\overline{C D} = 3 l\)이라 하자. 원의 성질에 의하여 삼각형 BPC와 삼각형 DPA가 서로 닮음이므로 \(\overline{P B} : \overline{P C} = \overline{P D} : \overline{P A}\)이고, \(l = \) (가) \(\times k\)이다. 삼각형 BPC와 삼각형 DPA의 닮음비가 \(1 : \) (나)이므로 \(\overline{B C} = \dfrac{1}{(나)} \times \overline{A D}\)이다. 따라서 삼각형 BPC의 외접원의 반지름의 길이를 \(R\)이라 할 때, 삼각형 BPC에서 사인법칙에 의하여 \(R = \) (다)이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(p, q, r\)이라 할 때, \(p + q + r\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f'(10)\)의 값을 구하시오. 0이 아닌 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{f'(x)}{2} + x^2 - 2 \leq \dfrac{f(2 x) - f(0)}{2 x} \leq x^4\)이다.

곡선 \(y = \log_2 x\) 위에 서로 다른 두 점 A, B가 있다. 점 A에서 직선 \(y = x\)에 내린 수선의 발을 P라 하고, 점 B를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점을 Q라 할 때, 네 점 A, B, P, Q가 다음 조건을 만족시킨다. (가) (직선 AP의 \(y\)절편) - (직선 BQ의 \(y\)절편) \(= \dfrac{13}{2}\) (나) 직선 AB의 기울기는 \(\dfrac{6}{7}\)이다. 사각형 APQB의 넓이가 \(\dfrac{q}{p}\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{e^x - e}{x - 1}\)의 값은?

\(\displaystyle\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{3 \dfrac{\pi}{4}} \cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) e^{\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)} d x\)의 값은?

두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{a n^b}{\sqrt{n^4 + 4 n} - \sqrt{n^4 + n}} = 6\)일 때, \(a + b\)의 값은?

곡선 \(y = \dfrac{3}{x - 1} (x > 1)\)이 두 직선 \(y = 1\), \(y = 3\)과 만나는 점을 각각 A, B라 하자. 곡선 \(y = \dfrac{3}{x - 1} (x > 1)\)과 직선 AB로 둘러싸인 부분의 넓이는?

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) > 0\)이다. 함수 \(f(x^3 + x)\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, \(f(2) = 1\), \(f'(2) = 8 g'(1) - 1\)이다. \(g(1) + g'(1)\)의 값은?

삼차함수 \(f(x)\)와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = g(x) - \tan g(x)\)이고 다음 조건을 만족시킬 때, \(g'(0) \times (g(0))^2\)의 값은? (가) \(f(0) = 0\), \(f''(\pi) = 0\) (나) \(\sin g(\pi) = 0\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} g(x) = \dfrac{3 \pi}{2}\)

첫째항이 양수이고 공비가 유리수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\)이 수렴하고, 수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_1 + a_2 < 10\) (나) 수열 \({a_n}\)의 정수인 항의 개수는 3이고, 이 세 항의 곱은 216이다. \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n = \dfrac{q}{p}\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(g(x)\)는 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = \ln(\dfrac{g(x)}{1 + x f'(x)})\)를 만족시킨다. \(f(1) = 4 \ln 2\)이고 \(\displaystyle\int_{1}^{2} g(x) d x = 34\), \(\displaystyle\int_{1}^{2} x g(x) d x = 53\)일 때, \(\displaystyle\int_{1}^{2} x e^{f(x)} d x\)의 값을 구하시오.